Feuille d'exercices sur les probabilités

Exercice 1 : Expériences aléatoires indépendantes ou non

Pour chacune des propositions suivantes, dire si les deux expériences aléatoires sont indépendantes ou non.

1. On lance deux fois un dé non truqué.

2. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes que l'on met de côté, puis on tire une seconde carte.

3. On tire une carte d'un jeu de 32 cartes que l'on remet dans le paquet, puis on tire une seconde carte.

4. Pour payer sa baguette de pain, une cliente sort au hasard une première pièce de son porte-monnaie puis une seconde.

Exercice 2 : Produit cartésien

Une urne contient 6 boules blanches et deux boules vertes indiscernables au toucher. On tire successivement et au hasard trois boules avec remise.

1. En utilisant le produit cartésien, lister les issues possibles.

2. Déterminer la probabilité d'obtenir exactement 2 boules blanches.

Exercice 3 : Vrai ou faux

On effectue, dans une urne contenant dix jetons noirs et vingt jetons blancs, deux tirages successifs avec remise du jeton tiré dans l'urne.

1. La probabilité d'obtenir deux jetons noirs est égale à \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3}\).

2. La probabilité d'obtenir deux jetons blancs est égale à \(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{19}{29}\).

3. La probabilité d'obtenir deux jetons de la même couleur est égale à \({\left(\dfrac{1}{3}\right)}^{2} + {\left(\dfrac{2}{3}\right)}^{2}\).

4. La probabilité d'obtenir deux jetons de couleur différente est égale à \(\dfrac{4}{9}\).

Exercice 4 : Arbre pondéré

1. Dans une crèche, un jeu de construction en bois de 50 pièces comporte 20 cubes, 10 cylindres et 20 parallélépipèdes droits.

   Un enfant choisit au hasard une pièce du jeu puis la repose dans le baril où est rangé le jeu. Il recommence l'opération.

   Représenter les deux expériences à l'aide d'un arbre pondéré.

2. Sur les pièces cubes est gravé le chiffre 5, sur les cylindres le chiffre 2 et sur les pavés le chiffre 3.

3. Déterminer la loi de la variable aléatoire \(\text{X}\) égale à la somme des deux chiffres obtenus.

Exercice 5 : Probabilités conditionnelles

On considère une urne \(\text{A}\) contenant trois boules jaunes et sept boules bleues et une urne \(\text{B}\) contenant quatre boules vertes, deux boules rouges et deux boules jaunes. Les boules sont toutes indiscernables au toucher.

On choisit au hasard de manière équiprobable une urne, puis on tire une boule dans cette urne. On s'intéresse à la couleur de la boule tirée.

1. Représenter la situation à l'aide d'un arbre de probabilités.

2. Cette expérience est-elle une succession d'épreuves indépendantes ?

3. Déterminer la probabilité de l'événement \(\text{J}\) : «Obtenir une boule Jaune »

4. Sachant que l'on a obtenu une boule jaune, quelle est la probabilité que la boule provienne de l'urne \(\text{A}\) ?

Exercice 6 : Simuler une succession d'épreuves indépendantes

On aimerait simuler l'expérience aléatoire consistant à tirer 10 fois de manière successive et avec remise une boule dans une urne contenant 1 boule portant le numéro 1, 4 boules portant le numéro 3 et 5 boules portant le numéro 2.

Compléter le programme ci-dessous qui permet de simuler et d'afficher 20 fois cette expérience.

from random import random
def simul():
    b=[]
    for i in range(10):
        a=...
        if a<=...:
            b.append(...)
        else:
            if (a>=...):
                b.append(...)
            else:
                b.append(...)
                return ...
    for i in range(...):
        print(...)

Épreuve de Bernoulli

Exercice 7 : Vrai ou faux

Les expériences suivantes correspondent-elles à des épreuves de Bernoulli.

1. On lance un dé cubique numéroté de 1 à 6 et on note le résultat obtenu.

2. On lance un dé cubique numéroté de 1 à 6 et on s'intéresse à la parité du résultat obtenu.

3. Pour jouer à « pile ou face », on lance deux pièces de monnaie et on note le nombre de « pile » obtenu .

4. On effectue un tirage dans une urne contenant des boules noires, rouges et blanches et on note la couleur de la boule obtenue.

5. On effectue un tirage dans une urne contenant des boules noires, rouges et blanches et on note si la couleur de la boule obtenue se retrouve dans le drapeau français.

Loi binomiale

Exercice 8 : Reconnaître un schéma de Bernoulli et une loi binomiale

Dire lesquelles des expériences 1 et 2 correspondent à des schémas de Bernoulli et lesquelles des variables aléatoires \(\text{X}\) et \(\text{Y}\) suivent une loi binomiale.

Expérience 1 :

On lance dix fois un dé à 6 faces, dont les faces sont numérotées de 1 à 6. Lors d'un lancer, si le numéro qui apparaît est 1 alors c'est un succès, sinon c'est un échec.

On note \(\text{X}\) la variable aléatoire qui compte le nombre de succès de ces séries de 10 lancers et \(\text{Y}\) la variable aléatoire telle que si le lanceur a eu plus de 7 succès il gagne 10€ sinon il perd 5€.

Expérience 2 :

On lance une pièce, on note F si face apparaît et P si pile apparaît.

• Si le résultat du lancer est F alors on tire une boule de l'urne 1 contenant une boule rouge et une boule noire

• Si le résultat du lancer est P alors on tire une boule de l'urne 2 contenant une boule blanche et une boule bleue.

Exercice 9 : Définir les paramètres de la loi binomiale

Dans chacun des cas, justifier que la situation correspond à un schéma de Bernoulli et donner les paramètres de la loi binomiale suivie par \(\text{X}\).

1. À Genève en 2008, l'institut de recherche sur les allergies et l'asthme a annoncé qu'un vaccin contre l'allergie aux chats a été testé avec succès sur des souris. En effet le vaccin guérit l'allergie chez les souris dans 88% des cas. Un laboratoire a testé le vaccin sur une population de 30 souris allergiques. Chaque matin un laborantin prélève trois souris de l'échantillon pour effectuer des analyses, prélèvement que l'on considère comme étant avec remise.

   On appelle \(\text{X}\) la variable aléatoire égale au nombre de souris saines prélevées par le laborantin.

2. Alexandre joue à la roulette (numérotée de 0 à 36). Il mise 15 fois de suite sur le numéro « 12 ».

   On appelle \(\text{X}\) le nombre de parties remportées par Alexandre.

Exercice 10 : Vrai ou faux - loi binomiale - coefficients binomiaux

Soit \(k\) et \(n\) deux entiers naturels.

1. Dans un schéma de \(k\) épreuves de Bernoulli, \(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\) est le nombre de chemins réalisant \(n\) succès.

2. Le coefficient \(\begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\) n'existe pas.

3. \(\begin{pmatrix}4 \\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7\\7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7 \\ 0 \end{pmatrix}\)

4. \(\begin{pmatrix}{n + 1} \\ 1 \end{pmatrix} = {\begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} + 1}\)

5. \(\begin{pmatrix}10 \\ 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}10 \\ 3\end{pmatrix}\)

6. L'équation \({\begin{pmatrix}8 \\4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}8 \\5\end{pmatrix}} = \begin{pmatrix}k \\ 5 \end{pmatrix}\) a pour solution 8.

Exercice 11 : Coefficient binomiaux - sans calculatrice - triangle de Pascal

1. Calculer sans calculatrice :

   \(\begin{pmatrix}111 \\ 0 \end{pmatrix}\)= \(\begin{pmatrix} 15 \\ 15 \end{pmatrix}\)=

   \(\begin{pmatrix}412 \\ 1\end{pmatrix}\)= \(\begin{pmatrix} 15 \\ 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 15 \\ 10 \end{pmatrix}\)=

   \(\begin{pmatrix} 85 \\ 84\end{pmatrix}\)= \(\begin{pmatrix} 86 \\ 80 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 85 \\ 80 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 85 \\ 79 \end{pmatrix}\)=

2. À l'aide du triangle de Pascal, donner les valeurs des coefficients binomiaux de la forme \(\begin{pmatrix}6\\k\end{pmatrix}\) où \(k\) est un entier compris entre 0 et 6.

Exercice 12 : Utilisation de la calculatrice

1. Une variable aléatoire \(\text{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(n = 30\) et \(p = {0,7}\).

   Calculer à \(10^{-3}\) près avec la calculatrice les probabilités suivantes.

   a. \(\text{P}{({\text{X} = 20})}\)

   b. \(\text{P}{({\text{X} < 20})}\)

   c. \(\text{P}{({\text{X} \leqslant 20})}\)

   d. \(\text{P}{({\text{X} > 20})}\)

2. \(\text{X}\) est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale telle que \(\text{P}{({\text{X} = 3})}=\begin{pmatrix} 40 \\ 3 \end{pmatrix}0.2^{3}{0.8}^{37}\)

   Déterminer \(\text{P}{({\text{X} = 5})}\)

Exercice 13 : Choisir la bonne représentation

Associer chaque représentation à la loi binomiale qu'il représente.

B(20 ; 0,7)	B(20 ; 0,3)	B(20 ; 0,5)

Exercice 14 : Propriété géométrique

On considère une variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres \(n = 30\) et \(p = {0,5}\).

On a tracé la représentation graphique de \(\text{X}\) avec GéoGébra:

1. Quelle propriété géométrique observe-t-on ?

2. Justifier cette propriété.

Problèmes : loi binomiale, espérance, écart type

Exercice 15 : Burj Khalifa

Burj Khalifa, gratte ciel le plus haut du monde (en 2010) situé à Dubaï, compte 57 ascenseurs. La probabilité qu'un ascenseur tombe en panne un jour donné est de 0,006.

On considère que les pannes sont indépendantes les unes des autres. On appelle \(\text{X}\) la variable aléatoire égale au nombre d'ascenseurs en panne un jour donné. \(\text{X}\) suit la loi binomiale de paramètres 57 et 0,006.

Calculer et interpréter :

1. \(\text{P}{({\text{X} = 2})}\)

2. \(\text{P}{({\text{X} \leqslant 2})}\)

3. \(\text{E}{(\text{X})}\)

Exercice 16 : Singe et clavier

Un singe tape 300 fois sur un clavier alphanumérique comportant 40 touches. On appelle \(\text{X}\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où le singe a tapé sur la lettre « Z ».

1. Justifier que la situation correspond au modèle binomial et donner les paramètres de la loi binomiale suivie par \(\text{X}\).

2. Calculer et interpréter :

   a. \(\text{P}{({\text{X} = 20})}\)

   b. \(\text{P}{({\text{X} \leqslant 20})}\)

   c. \(\text{E}{(\text{X})}\)

Exercice 17 : Composants électroniques

Un constructeur de composants électroniques produit des résistances. On admet que la probabilité qu'une résistance produite soit défectueuse est de \(5 \times 10^{-3}\).

On prélève un lot de 1000 résistances dans la production et on suppose que le stock de résistances est suffisamment important pour assimiler le prélèvement à un tirage avec remise de 1000 résistances.

On considère la variable aléatoire \(\text{X}\) qui, à tout prélèvement de 1000 résistances, associe le nombre de résistances défectueuses.

1. Justifier que la variable aléatoire \(\text{X}\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité des événements suivants arrondis au millième.

   a. « le lot contient exactement deux résistances défectueuses »

   b. « le lot contient au plus strictement quatre résistances défectueuses »

   c. « le lot contient au moins quatre résistances défectueuses »

3. Calculer l'espérance et l'écart type de la variable aléatoire \(\text{X}\). Interpréter l'espérance dans le cadre de l'énoncé.

Exercice 18 : Lecteurs MP3 - Gain algébrique (D'après Bac S - Polynésie juin 2009)

Après fabrication, les lecteurs MP3 d'une entreprise (dont 6 % sont défectueux) subissent quatre contrôles successifs indépendants pour savoir si un lecteur MP3 peut être commercialisé.

Un lecteur MP3 est :

• commercialisé avec le logo de l'entreprise s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs,

• détruit s'il est rejeté au moins deux fois,

• commercialisé sans le logo sinon.

Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50 euros.

Son prix de vente est de 120 euros pour un lecteur avec logo et 60 euros pour un lecteur sans logo.

On désigne par \(\text{G}\) la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqué, associe le gain algébrique en euros (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(\text{G}\).

   Aide : Utiliser la variable aléatoire Y égale au nombre de contrôles où un lecteur MP3 est rejeté.

2. Calculer à \(10^{-2}\) près l'espérance mathématique de \(\text{G}\).

   Donner une interprétation de ce résultat.

Exercice 19 : Parc de centrales nucléaires

Un défenseur du nucléaire informe que le risque qu'une panne se produise dans une centrale nucléaire est de l'ordre de \(10^{- 4}\).

La réponse de son interlocuteur est la suivante : « Mais pour un parc de 100 centrales, la probabilité qu'une centrale du parc tombe en panne est d'environ \(10^{- 2}\)». Cette réponse est-elle correcte ?

Exercice 20 : QCM

Un QCM est composé de 8 questions indépendantes.

Pour chaque question quatre réponses sont proposées et une seule de ces quatre réponses est juste.

Un candidat répond au hasard aux 8 questions de ce QCM.

On appelle \(\text{N}\) le nombre de réponses justes qu'il obtient.

1. Montrer que la loi de probabilité de \(\text{N}\) est une loi binomiale dont on donnera les paramètres.

2. Calculer \(\text{P}{({\text{N} = 8})}\) et \(\text{P}{({\text{N} = 4})}\) à \(10^{- 4}\)près.

3. Donner la loi de probabilité de \(\text{N}\).

4. Calculer l'espérance mathématique de \(\text{N}\).

5. Que dire d'un QCM noté +1 pour une bonne réponse et 0 pour une mauvaise réponse ?

6. On fait la supposition qu'une note négative est possible.

   On note le QCM de la manière suivante :

   \(-a\) pour une mauvaise réponse et \(+b\) pour une bonnenréponse

   On note \(\text{G}\) la variable aléatoire correspondant à la note obtenue.

   Comment doit-on noter ce QCM pour qu'un candidat qui répond au hasard ait en moyenne 0 ?

Exercice 21 : Jeu de grattage

Dans un jeu de grattage, un joueur à 5 % de chance de gagner.

Un joueur décide de jouer \(n\) fois (où \(n \in \mathbb{N}^*\)) de façon indépendante.

1. Déterminer la probabilité \(p_{n}\) de gagner au moins une fois.

2. Écrire en python un programme qui renvoie la plus petite valeur de \(n\) telle que \(p_{n} > {0,7}\).

3. Déterminer cette valeur.

Exercice 22 : Amérique du Nord 2024 J1

Un jeu vidéo récompense par un objet tiré au sort les joueurs ayant remporté un défi. L'objet tiré peut être commun ou rare . Deux types d'objets communs ou rares sont disponibles, des épées et des boucliers.

Les concepteurs du jeu vidéo ont prévu que :

• la probabilité de tirer un objet rare est de 7%;

• si on tire un objet rare, la probabilité que ce soit une épée est de 80%;

• si on tire un objet commun, la probabilité que ce soit une épée est de 40%.

Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

Un joueur vient de remporter un défi et tire au sort un objet. On note :

• \(R\) l'évènement le joueur tire un objet rare ;

• \(E\) l'évènement le joueur tire une épée ;

• \(\overline{R}\) et \(\overline{E}\) les évènements contraires des évènements \(R\) et \(E\).

• Dresser un arbre pondéré modélisant la situation, puis calculer \(P(R \cap E)\).

• Calculer la probabilité de tirer une épée.

• Le joueur a tiré une épée. Déterminer la probabilité que ce soit un objet rare. Arrondir le résultat au millième.

Partie B

Un joueur remporte \(30\) défis.

On note \(X\) la variable aléatoire correspondant au nombre d'objets rares que le joueur obtient après avoir remporté \(30\) défis. Les tirages successifs sont considérés comme indépendants.

1. Déterminer, en justifiant, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire \(X\). Préciser ses paramètres, ainsi que son espérance.

2. Déterminer \(P(X < 6)\). Arrondir le résultat au millième.

3. Déterminer la plus grande valeur de \(k\) telle que \(P(X \geqslant k) \geqslant 0,5\). Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

4. Les développeurs du jeu vidéo veulent proposer aux joueurs d'acheter un ticket d'or qui permet de tirer \(N\) objets. La probabilité de tirer un objet rare reste de 7 %.

   Les développeurs aimeraient qu'en achetant un ticket d'or, la probabilité qu'un joueur obtienne au moins un objet rare lors de ces \(N\) tirages soit supérieure ou égale à \(0,95\).

   Déterminer le nombre minimum d'objets à tirer pour atteindre cet objectif. On veillera à détailler la démarche mise en oeuvre.

Exercice 23 : Amérique du Nord 2024 J2

Les données publiées le 1 mars 2023 par le ministère de la transition écologique sur les immatriculations de véhicules particuliers en France en 2022 contiennent les informations suivantes :

• \(22,86\,\%\) des véhicules étaient des véhicules neufs ;

• \(8,08\,\%\) des véhicules neufs étaient des hybrides rechargeables;

• \(1,27\,\%\) des véhicules d'occasion (c'est-à-dire qui ne sont pas neufs) étaient des hybrides rechargeables.

Dans tout l'exercice, les probabilités seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Dans cette partie, on considère un véhicule particulier immatriculé en France en 2022.

On note :

• \(N\) l'évènement le véhicule est neuf ;

• \(R\) l'évènement le véhicule est hybride rechargeable;

• \(\overline{N}\) et \(\overline{R}\) les évènements contraires des évènements contraires de \(N\) et \(R\).

• Représenter la situation par un arbre pondéré.

• Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf et hybride rechargeable.

• Démontrer que la valeur arrondie au dix-millième de la probabilité que ce véhicule soit hybride rechargeable est \(0,0283\).

• Calculer la probabilité que ce véhicule soit neuf sachant qu'il est hybride rechargeable.

Partie B

Dans cette partie, on choisit \(500\) véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022.

Dans la suite, on admettra que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à \(0,65\).

On assimile le choix de ces 500 véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

On appelle \(X\) la variable aléatoire représentant le nombre de véhicules neufs parmi les \(500\) véhicules choisis.

1. On admet que la variable aléatoire \(X\) suit une loi binomiale.

   Préciser la valeur de ses paramètres.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement \(325\) de ces véhicules soient neufs.

3. Déterminer la probabilité \(p(X \geq 325)\) puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Partie C

On choisit désormais \(n\) véhicules particuliers hybrides rechargeables immatriculés en France en 2022, où \(n\) désigne un entier naturel strictement positif.

On rappelle que la probabilité qu'un tel véhicule soit neuf est égale à \(0,65\).

On assimile le choix de ces \(n\) véhicules à un tirage aléatoire avec remise.

1. Donner l'expression en fonction de \(n\) de la probabilité \(p_{n}\) que tous ces véhicules soient d'occasion.

2. On note \(q_{n}\) la probabilité qu'au moins un de ces véhicules soit neuf. En résolvant une inéquation, déterminer la plus petite valeur de \(n\) telle que \(q_{n} \geqslant 0,9999\).