LOI BINOMIALE ET RAPPELS SUR LES PROBABILITÉS
1. Vocabulaire
L'Univers, noté \(\Omega\), est l'ensemble des évènements élémentaires (résultats possibles) d'une expérience aléatoire.
Exemple: On lance 2 fois de suite un dé non truqué et on note, dans chaque cas, le chiffre apparu. On s'intéresse à la somme obtenue.
Décrire l'univers \(\Omega\)
Corrigé
\(\Omega=\left\{(1,1);(1,2);(1,3);\ldots;(6,5);(6,6)\right\}\)
En général, on note \(e_1, e_2, \ldots, e_n\), les évènements élémentaires. Lorsqu'on associe à chaque évènement élémentaire un nombre \(P(e_i)\), appelé probabilité de \(e_i\), tel que pour tout \(i\), \(0 \leqslant P(e_i)\leqslant 1\) , et \(P{ {(e_{1})} + P}{(e_{2})} + \ldots + P(e_{n}) = 1\), on dit qu'on définit une loi de probabilité sur \(\Omega\).
Un événement \(\text{A}\) est un sous-ensemble de \(\Omega\). La probabilité d'un événement \(\text{A}\) est la somme des probabilités des événements élémentaires \(e_i\) qui le constituent. ( \(P(\emptyset)=0\) et \(P{ {(\Omega)} = 1}\)).
Si E est un ensemble fini, on appelle cardinal de E, noté \(card(E)\), le nombre d'éléments de E.
Exemple: Donner le cardinal de \(\text{A}\) et le cardinal de \(\Omega\), en déduire la probabilité de l'évènement \(\text{A}\) « obtenir un résultat égal à 4 » :
Corrigé
On a \(card(\Omega)=36\)
Et il y a 3 évènements élémentaires qui permettent d'obtenir 4: (1,3);(3,1) et (2,2)
D'où \(P(\text{A})=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12}\)
Propriété
Soit \(\text{A}\) et \(\text{B}\) deux parties d'un ensemble fini E. Si \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont disjoints, alors \(card (A \cup B) = card(A)+card(B)\)
De manière plus générale, \(card(A \cup B)=card(A)+card(B)-card(A \cap B)\)
Définition
Des évènements peuvent être liés par «la relation logique et notée \(\cap\) » ou «la relation logique ou notée: \(\cup\) ».
\(A \cap B\) désigne l'événement ( \(\text{A}\) et \(\text{B}\) ) qui est réalisé lorsqu'à la fois \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont réalisés.
\(A \cup B\) désigne l'événement ( \(\text{A}\) ou \(\text{B}\) ) qui est réalisé lorsque l'un au moins des deux événements est réalisé.
2. Probabilités Conditionnelles
Définition
Si \(\text{P}{ {(\text{A})} \neq 0}\), on appelle probabilité conditionnelle de B sachant A le nombre, noté \(\text{P}_{\text{A} }{(\text{B})}\), défini par \(\text{P}_{\text{A} }{ {(\text{B})} = \dfrac{\text{P}{({\text{A}{\cap \text{B} } })} }{\text{P}{(\text{A})} } }\).
Cette égalité s'écrit également :
Remarque
-
Lorsque \(\text{P}{ {(\text{B})} \neq 0}\), on a aussi \(\text{P}_{\text{B} }{ {(\text{A})} = \dfrac{\text{P}{({\text{A}{\cap \text{B} } })} }{\text{P}{(\text{B})} } }\), ce que l'on peut écrire \(\text{P}{ {({\text{A}{\cap \text{B} } })} = \text{P} }{ {(\text{B})} \times \text{P}_{\text{B} } }{(\text{A})}\).
Ainsi, si \(\text{P}{ {(\text{A})} \neq 0}\) et \(\text{P}{ {(\text{B})} \neq 0}\), on a \(\text{P}{ {({\text{A}{\cap \text{B} } })} = \text{P} }{ {(\text{A})} \times \text{P}_{\text{A} } }{ {(\text{B})} = \text{P} }{ {(\text{B})} \times \text{P}_{\text{B} } }{(\text{A})}\).
-
Si \(\text{P}{ {({\text{A}{\cap \text{B} } })} = \text{P} }{ {(\text{A})} \times \text{P} }{(\text{B})}\) alors \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont dits indépendants.
Cette relation implique alors que \(\text{P}_{\text{B} }{ {(\text{A})} = \text{P}(\text{A})}\)
-
Etant donnés deux événements quelconques, \(\text{A}\) et \(\text{B}\), relatifs à une même épreuve :
Exemple : Dans un lycée de 1000 élèves, 45% des élèves sont des filles, 55% des garçons. Parmi les filles, 30% sont internes et 70% externes. Parmi les garçons, 60% sont internes et 40% externes.
Soient :
- F l'évènement : « l'élève est une fille » ;
- G l'évènement : « l'élève est un garçon » ;
- E l'évènement : « l'élève est externe » ;
- I l'évènement : « l'élève est interne » ;
En tirant au hasard une fiche dans le fichier des élèves, quelle est la probabilité que ce soit la fiche d'une fille externe ?
Remarque : Dans certains cas, il s'avère utile de traduire une situation ou de modéliser une expérience aléatoire par un arbre. On peut y indiquer les évènements considérés, on parle alors d'un arbre pondéré ou arbre de probabilités.
Règles d'utilisation
-
La somme des probabilités affectées aux branches issues d'un même noeud est égale à 1.
-
Lorsqu'une situation est représentée par un arbre pondéré, la probabilité d'un événement correspondant à un chemin est égale au produit des probabilités inscrites sur chaque branche de ce chemin.
Exercice : On choisit au hasard une personne de la population décrite ci-dessous :
| Malades | Sains | |
|---|---|---|
| Fumeurs | 400 | 4600 |
| Non fumeurs | 600 | 14400 |
\(\text{A}\) est l'évènement : « la personne fume » ; \(\text{B}\) est l'évènement : « la personne est malade ».
À l'aide d'un arbre pondéré, calculer la probabilité de choisir une personne qui ne fume pas et n'est pas malade.
Corrigé
à venir
3. Formule des probabilités totales
Partition de l'univers
Définition
Soit \(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\) \(A_n\), \(n\) événements de l'univers.
\(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\) \(A_n\) forment une partition de l'univers si et seulement si ces événements sont incompatibles deux à deux et leur réunion est \(\Omega\).
Exemple: On lance un dé cubique.
A = {1 ; 2} B = {3 ; 5 ; 6} C = {4}
A, B et C forment une partition de l'univers.
Remarque : Deux événements contraires forment une partition de l'univers.
Théorème des probabilités totales
Propriété
\(A_1\), \(A_2\), \(\ldots\) \(A_n\) forment une partition de \(\Omega\).
La probabilité d'un événement quelconque \(B\) est donnée par :
c'est à dire, lorsque \(\text{P}{ {(\text{A}_{\text{i} })} \neq 0}\) pour tout \(i\):
Exercice : Dans une usine d'automobiles, trois chaînes « a », « b » et « c » fournissent respectivement 25%, 35% et 40% de la production de moteurs.
Certains de ces moteurs sont écartés comme défectueux, dans les proportions suivantes :
5% pour la chaîne « a », 4% pour la chaîne « b » et 1% pour la chaîne « c ».
On prend un moteur au hasard et on définit les évènements suivants :
A : « Le moteur est issu de la chaîne « a » » ; B : « Le moteur est issu de la chaîne « b » » ; C : « Le moteur est issu de la chaîne « c » » ; D : « Le moteur est défectueux ».
Les résultats sont donnés à \(10^{-4}\) près.
-
Traduire les données de l'énoncé en utilisant les notations des probabilités et tracer un arbre pondéré illustrant la situation.
-
Calculer \(P(D)\).
-
Quelle est la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne « a » sachant qu'il est défectueux ?
-
Calculer la probabilité qu'un moteur sorte de la chaîne « c » sachant qu'il n'est pas défectueux ?
Corrigé
work in progress
-
Les renseignements donnés par le texte sont les suivants :
\(\text{P}{ {(\text{A})} = 0,25}\);
\(\text{P}{ {(\text{B})} = 0,35}\);
\(\text{P}{ {(\text{C})} = 0,4}\);
\(\text{P}_{\text{A} }{ {(\text{D})} = 0,05}\);
\(\text{P}_{\text{B} }{ {(\text{D})} = 0,04}\);
\(\text{P}_{\text{C} }{ {(\text{D})} = 0,01}\).
-
Utilisons la formule des probabilités totales pour calculer P(D) :
\(\text{P}{ {(\text{D})} = \text{P} }{ {({\text{D}{\cap \text{A} } })} + \text{P} }{ {({\text{D}{\cap \text{B} } })} + \text{P} }{({\text{D}{\cap \text{C} } })}\)
=\(\text{P}{ {(\text{A})} \times \text{P}_{\text{A} } }{ {(\text{D})} + \text{P} }{ {(\text{B})} \times \text{P}_{\text{B} } }{ {(\text{D})} + \text{P} }{ {(\text{C})} \times \text{P}_{\text{C} } }{(\text{D})}\)
= \({ {0,25 \times 0,05} + {0,35 \times 0,04} + {0,4 \times 0,01} } = {0,0125 + 0,014 + 0,0004}\)
4. Variable aléatoire
Définition
Définition
Définir une variable aléatoire \(\text{X}\), c'est associer à chaque évènement élémentaire \(\left\{a_i\right\}\) d'une épreuve un nombre réel \(x_i\).
Exemple : Une roue est partagée en quinze secteurs de même dimension. Trois secteurs sont de couleur rouge six de couleur verte, cinq sont bleu-clair et un de couleur bleu foncé. Quand on fait tourner la roue elle s'arête de façon aléatoire et la flèche ne peut indiquer qu'un seul secteur.
On complète la situation précédente par la règle suivante:
On mise d'aborde 5€ pour une partie ;
Si la flèche désigne un secteur rouge on gagne 25 €;
Si la flèche désigne un secteur vert on ne gagne rien;
Si la flèche désigne un secteur bleu-clair on récupère sa mise ;
Si la flèche désigne le secteur bleu foncé on perd 25€ »
à chacune des quatre couleurs on associe le gain algébrique obtenu à la fin de la partie. On dit que l'on définit ainsi une variable aléatoire notée \(\text{X}\).
-
Quel est l'ensemble des gains possibles ?
-
Compléter le tableau suivant:
\(\text{Gain } x_i\) \(P{({\text{X} = x_{\text{i} } })}\) -
Quel est le gain moyen qu'un joueur obtiendrait s'il jouait un très grand nombre de fois ?
- Quelle est la probabilité de l'évènement \(G\) « Gagner de l'argent » ?
- Quelle est la probabilité de l'évènement \(\overline{G}\) ?
Espérance et Variance d'une variable aléatoire
Au lieu de parler de gain moyen on définit l'espérance mathématique de la variable \(\text{X}\).
Définition
L'espérance mathématique de la variable aléatoire \(\text{X}\) est le nombre :
La variance de la variable aléatoire \(\text{X}\) est le nombre :
ou
(Formule de Koenig)
L'écart type est la racine carrée de la variance :
Exercice : Un joueur lance deux fois une pièce supposée équilibrée : il gagne 1€ par Pile (P) obtenu et perd 2€ par Face obtenue. On note \(\text{X}\) la variable aléatoire qui donne le gain du joueur.
-
Déterminer la loi de probabilité de \(\text{X}\).
-
Simuler 1600 parties sur un logiciel ou tableur et calculer le gain moyen du joueur sur ces 1600 parties.
-
a) Calculer l'espérance, la variance et l'écart-type de \(\text{X}\).
b) Interpréter l'espérance. Ce jeu est-il favorable ?
Corrigé
On peut remarquer que le gain moyen obtenu sur le tableur pour 1600 lancers est très proche de l'espérance de \(\text{X}\). Dire que \(\text{E}{ {(\text{X})} = {- 1} }\) signifie que sur un grand nombre de parties le joueur peut espérer en moyenne un gain de -1€ par partie.
Comme \(E(X)< 0\), le jeu est défavorable au joueur.
5. Loi binomiale de paramètres n et p
Définition
Dans un schéma de Bernoulli caractérisé par \(p\) la probabilité de succès à chaque épreuve et \(n\) le nombre d'épreuves. La loi de probabilité de la variable aléatoire \(\text{X}\) comptant le nombre de succès est appelée la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\). On la note \(\text{B}{({n,p})}\).
Exemple: Dire si la variable aléatoire \(\text{X}\) suit une loi binomiale et, dans l'affirmative, donner ses paramètres.
On considère un jeu de 32 cartes . On tire deux cartes de ce jeu et \(\text{X}\) est la variable aléatoire associée au nombre de trèfles obtenus.
a) On tire les deux cartes successivement et on ne remet pas la première carte tirée dans le jeu.
b) On tire les deux cartes successivement et on remet la première carte tirée dans le jeu.
Coefficients binomiaux
Définition
Le nombre de chemins de l'arbre associé à un schéma de Bernoulli d'ordre n conduisant à k succès pour n répétitions est noté \(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\). Les nombres entiers \(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}\) sont appelés coefficients binomiaux.
Propriété
Pour \(0 \leqslant k \leqslant n\), on a:
-
\(\begin{pmatrix}n \\ 0 \end{pmatrix} = 1\); \(\begin{pmatrix}n\\n \end{pmatrix} = 1\);\(\begin{pmatrix}n \\ 1 \end{pmatrix} = n\).
-
Si \(0 \leqslant k \leqslant n\), \(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n \\ n-k \end{pmatrix}\)
-
Si \(0 \leqslant k \leqslant n-1\) alors \(\begin{pmatrix}n \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}n \\ k+1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n+1 \\ k+1 \end{pmatrix}\) (Formule de Pascal)
Triangle de Pascal
Grâce à la Formule de Pascal, on peut construire le tableau suivant, en forme de triangle:
| \(n^{\text{ }\normalsize{k} }\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) | \(5\) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | |||||
| \(1\) | \(1\) | \(1\) | ||||
| \(2\) | \(1\) | \(2\) | \(1\) | |||
| \(3\) | \(1\) | \(3\) | \(3\) | \(1\) | ||
| \(4\) | \(1\) | \(4\) | \(6\) | \(4\) | \(1\) | |
| \(5\) | \(1\) | \(5\) | \(10\) | \(10\) | \(5\) | \(1\) |
Remarque
Pour de grandes valeurs de \(n\) et de \(k\), on utilise la calculatrice.
Théorème de la loi binomiale
Propriété
Soit \(n\) un entier tel que \(n \geqslant 1\) et soit \(p \in [0, 1]\).
Par définition la variable aléatoire \(\text{X}\) qui compte le nombre de succès de probabilité commune \(p\) dans un schéma de Bernoulli suit une loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\), notée \(\text{B}{({n;p})}\).
La probabilité d'obtenir \(k\) succès est :
Espérance, variance et écart-type de la loi binomiale
Propriété
\(\text{X}\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\).
L'espérance mathématique est \(E(X)= np\).
La variance est \(\text{V}{ {(\text{X})} = \mathit{np} }{({1–p})}\), et l'écart-type \(\sigma{ {(\text{X})} = \sqrt{\mathit{np}{({1 - p})} } }\).
Exemple :
Un QCM comporte 3 questions. Pour chacune d'elles, quatre réponses sont proposées dont une seule est correcte. Un élève donne au hasard une réponse à chaque question. On note \(\text{X}\) le nombre de réponses correctes données par l'élève.
a) Déterminer la loi de probabilité.
b) Calculer \(\text{E}{(\text{X})}\) et \(\sigma{(\text{X})}\). Donner une interprétation de \(\text{E}{(\text{X})}\).
Corrigé
a) On a une expérience à deux issues possibles, donc une expérience de Bernoulli. On appelle succès le choix de la réponse correcte. Il y a une répétition de 3 épreuves identiques et indépendantes. \(\text{X}\) suit donc une loi binomiale de paramètres \(n = 3\) et \(p = \dfrac{1}{4}\).
\(P{ {({X = 0})} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix} }\left( \dfrac{1}{4} \right)^{0}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{3} = \dfrac{27}{64} }\)
\(P{ {({X = 1})} = \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix} }\left( \dfrac{1}{4} \right)^{1}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{2} = \dfrac{27}{64} }\)
\(P{ {({X = 2})} = \begin{pmatrix}3 \\2\end{pmatrix} }\left( \dfrac{1}{4} \right)^{2}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{1} = \dfrac{9}{64} }\)
\(P{ {({X = 3})} = \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} }\left( \dfrac{1}{4} \right)^{3}{\left( \dfrac{3}{4} \right)^{0} = \dfrac{1}{64} }\)
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X=k) | \(\dfrac{27}{64}\) | \(\dfrac{27}{64}\) | \(\dfrac{9}{64}\) | \(\dfrac{1}{64}\) |
b) \(\text{E}{ {(\text{X})} = {3 \times \dfrac{1}{4} } = \dfrac{3}{4} }\)
\(\text{V}{ {(\text{X})} = {3 \times \dfrac{1}{4} \times \dfrac{3}{4} } = \dfrac{9}{16} }\)
\(\Rightarrow \sigma(\text{X}) = \sqrt{\text{V}{ {(\text{X})}}=\sqrt{\dfrac{9}{16}}=\dfrac{3}{4}\)