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Feuille d'exercices sur la récurrence

Exercice 1 : Vrai ou faux

  1. Si une propriété est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

  2. Si une propriété est vraie pour \(n = 0\) et est héréditaire, alors elle est vraie pour \(n = 1\).

  3. Si une propriété est vraie pour \(n = 1\) et est héréditaire, alors elle est vraie pour \(n = 0\).

  4. Si une propriété est vraie pour \(n = 0\) et \(n = 1\), alors elle est héréditaire.

  5. Si une propriété est vraie pour \(n = 5\) et héréditaire à partir de \(n = 3\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3.

  6. Si une propriété est vraie pour \(n = 5\) et héréditaire à partir de \(n = 3\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 5.

  7. Si une propriété est vraie pour \(n = 3\) et héréditaire à partir de \(n = 5\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3.

  8. Si une propriété est vraie pour \(n = 3\) et héréditaire à partir de \(n = 5\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(5\).

Exercice 2

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\[{\sum\limits_{k = 1}^{n} (2k - 1)} = n^{2}\]

Exercice 3

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(\text{I}\) telle que pour tout \(x \in \text{I}\), on a \(f(x) \in \text{I}\).

\((u_{n})\) est une suite définie par \(u_{o} \in \text{I}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = f(u_{n})\).

  1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} \in \text{I}\).

  2. On suppose que \(f\) est croissante sur I. Discuter, suivant les valeurs de \(u_{0}\) et \(u_{1}\), du sens de variation de la suite \((u_{n})\).

  3. Que peut-on dire du sens de variation de la suite \((u_{n})\) lorsque \(f\) est décroissante sur I ?

Exercice 4

  1. Soit \(n\) entier naturel tel que \(10^{n} + 1\) soit divisible par \(9\). Démontrer que \(9\) divise \(10^{n + 1} + 1\). Que venons-nous de faire ?

  2. Existe-t-il un entier naturel \(n_{0}\) tel que \(10^{n_0} + 1\) soit divisible par \(9\)? Que pouvons-nous en conclure ?

Exercice 5

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 4\), \(2^n \geqslant n^2\)

Exercice 6

Montrer que la suite \((u_n)\) définie par récurrence pour \(n \in \mathbb{N}\) par \(\left\{ \begin{matrix} \phantom{''''}{ u_{0} = 0\phantom{aaaa '}} \\ {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2-u_n}} \end{matrix} \right.\) admet pour expression explicite \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\).

Exercice 7

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 2\), \(3n^{2} \geqslant (n + 1)^2\)

Exercice 8

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 5\), \(3^{n} \geqslant 2^n + 5n^2\)

Exercice 9

Démontrez que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n} + 5\) est un multiple de \(3\).

Exercice 10

La suite \((u_{n})\) est définie par \(u_{0} = 3\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = - u_n + 4\).

  1. Déterminez \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\), \(u_{4}\), \(u_{5}\) et conjecturez l\'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).

  2. Démontrez cette conjecture par récurrence.

Exercice 11

La suite \((u_{n})\) est définie par \(u_{0} = 2\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = 5u_{n} - 8\).

Démontrez par récurrence que la suite \((u_{n})\) est constante.

Exercice 12 : sur les sommes

Démontrer, par récurrence, les propriétés suivantes:

  1. \({\sum\limits_{k = 1}^{n} k} = \dfrac{n(n+1)}{2}\)

  2. \({\sum\limits_{k = 1}^{n} k^2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

  3. \({\sum\limits_{k = 1}^{n} k^3} = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2\) (Théorème de Nicomaque)

Exercice 13

La suite \((u_{n})\) est définie par \({u_{0} \in \rbrack}0;1\lbrack\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = u_{n}(2 - u_{n})\).

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_{n} < 1\).

indice: utiliser la fonction \(f\) définie sur \(\rbrack 0;1\lbrack\) par \(f(x) = x(2 - x)\).

Exercice 14

Soit la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0 ; 2]\) par :

\[f (x) = \dfrac{2x + 1}{x + 1}\]

Soit la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(v_0 = 2\) et \(v_{n+1} = f(v_n)\) pour tout entier naturel \(n\).

Montrer à l’aide d'un raisonnement par récurrence que :

  1. Pour tout entier naturel \(n\), \(1 \leqslant v_n \leqslant 2\).

  2. Pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1} \leqslant v_n\).