Feuille d'exercices sur la récurrence

Exercice 1 : Vrai ou faux

1. Si une propriété est héréditaire, alors elle est vraie pour tout entier naturel \(n\).

2. Si une propriété est vraie pour \(n = 0\) et est héréditaire, alors elle est vraie pour \(n = 1\).

3. Si une propriété est vraie pour \(n = 1\) et est héréditaire, alors elle est vraie pour \(n = 0\).

4. Si une propriété est vraie pour \(n = 0\) et \(n = 1\), alors elle est héréditaire.

5. Si une propriété est vraie pour \(n = 5\) et héréditaire à partir de \(n = 3\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3.

6. Si une propriété est vraie pour \(n = 5\) et héréditaire à partir de \(n = 3\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 5.

7. Si une propriété est vraie pour \(n = 3\) et héréditaire à partir de \(n = 5\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à 3.

8. Si une propriété est vraie pour \(n = 3\) et héréditaire à partir de \(n = 5\), alors elle est vraie pour tout \(n\) supérieur ou égal à \(5\).

Exercice 2

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) non nul,

\[{\sum\limits_{k = 1}^{n}{({ {2k} - 1})}} = n^{2}\]

Exercice 3

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(\text{I}\) telle que pour tout \(x \in \text{I}\), on a \(f{ {(x)} \in \text{I}}\).

\((u_{n})\) est une suite définie par \(u_{o} \in \text{I}\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = {f{(u_{n})}}\).

1. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} \in \text{I}\).

2. On suppose que \(f\) est croissante sur I. Discuter, suivant les valeurs de \(u_{0}\) et \(u_{1}\), du sens de variation de la suite \((u_{n})\).

3. Que peut-on dire du sens de variation de la suite \((u_{n})\) lorsque \(f\) est décroissante sur I ?

Exercice 4

1. Soit \(n\) entier naturel tel que \(10^{n} + 1\) soit divisible par \(9\). Démontrer que \(9\) divise \(10^{n + 1} + 1\). Que venons-nous de faire ?

2. Existe-t-il un entier naturel \(n_{0}\) tel que \(10^{n_{0}} + 1\) soit divisible par \(9\)? Que pouvons-nous en conclure ?

Exercice 5

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 4\),

\[2^{n} \geqslant n^{2}\]

Exercice 6

Montrer que la suite \((u_n)\) définie par récurrence pour \(n \in \mathbb{N}\) par \(\left\{ \begin{matrix}{ \phantom{''''}{ u_{0} = 0\phantom{aaaa ' }}} \\ { {u_{n + 1} = \dfrac{1}{2-u_n}}} \end{matrix} \right.\) admet pour expression explicite \(u_n=\dfrac{n}{n+1}\).

Exercice 7

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 2\),

\[3{n^{2} \geqslant {({n + 1})}^{2}}\]

Exercice 8

Démontrez que pour tout entier naturel \(n \geqslant 5\),

\[{3^{n} \geqslant {2^{n} + 5}}n^{2}\]

Exercice 9

Démontrez que pour tout entier naturel \(n\), \(4^{n} + 5\) est un multiple de \(3\).

Exercice 10

La suite \((u_{n})\) est définie par \(u_{0} = 3\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = { {- u_{n}} + 4}\).

1. Déterminez \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\), \(u_{4}\), \(u_{5}\) et conjecturez l\'expression de \(u_{n}\) en fonction de \(n\).

2. Démontrez cette conjecture par récurrence.

Exercice 11

La suite \((u_{n})\) est définie par \(u_{0} = 2\) et pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1} = 5}{u_{n} - 8}\).

Démontrez par récurrence que la suite \((u_{n})\) est constante.

Exercice 12

Pour tout entier naturel \(n\) non nul, on pose:

\(\text{S}_{n} = {1 + 3 + 5 + \ldots + {({2{n - 1}})}}\).

1. Calculez \(\text{S}_{1}\), \(\text{S}_{2}\), \(\text{S}_{3}\) et \(\text{S}_{4}\). Conjecturez l'expression de \(\text{S}_{n}\) en fonction de \(n\).

2. Démontrez cette conjecture par récurrence.

Exercice 13

La suite \((u_{n})\) est définie par \({u_{0} \in \rbrack}0;1\lbrack\) et pour tout entier naturel \(n\), \({u_{n + 1} = u_{n}}{({2 - u_{n}})}\).

Démontrez par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(0 < u_{n} < 1\).

indice: utiliser la fonction \(f\) définie sur \(\rbrack 0;1\lbrack\) par \(f{ {(x)} = x}{({2 - x})}\).