Feuille d'exercices sur les suites - Rappels

1. Définition de suites

Pour toutes les suites \((u_{n})\) définies ci-dessous, on demande de calculer \(u_{1}\), \(u_{2}\), \(u_{3}\) et \(u_{6}\).

1. \(u_{n} = \dfrac{7n-2}{n + 4}\)

2. \(\left\{ \begin{matrix} { { u_{0} = 2}} \phantom{1111} \\ { {u_{n + 1} = {2{u_{n} + 3}}}} & \phantom{1} \end{matrix} \right.\)

3. \(u_{n}\) est le \(n\)-ième nombre premier.

4. \(u_{n}\) est la somme des \(n\) premiers nombres pairs strictement positifs.

5. \(u_{n}\) est le nombre de diviseurs positifs de \(n\).

6. Je place 1 000€ sur mon livret A au taux de 2.5% par an.

   \(u_{n}\) est la somme dont je dispose la \(n\)-ième année.

7. \(u_{n}\) est la \(n\)-ième décimale du nombre \(\pi\).

2. Sens de variation d'une suite

étudier le sens de variation des suites \((u_{n})\) définies ci-dessous :

1. \({u_{n} = 3}n-5\)

2. \({u_{n} = -}{n^{2} + 5}n-2\)

3. \(u_{n} = \dfrac{n + 1}{n + 2}\)

4. \(u_{n} = \dfrac{3^{n}}{2}\)

5. \(u_{n} = \sqrt{n^{2} + 3}\)

6. \(u_{n} = \left( {-\dfrac{1}{2}} \right)^{n}\)

7. \(\left\{ \begin{matrix} { u_{0} = 0 \phantom{111}} \\ { {u_{n + 1} = {u_{n} + 3}}} \end{matrix} \right.\).

8. \(\left\{ \begin{matrix} { u_{0} = 1} \phantom{1} \\ { {u_{n + 1} = {\dfrac{1}{2}u_{n}}}} \end{matrix} \right.\)

9. \(u_{n} = {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\) (plus difficile)

3. Majoration, minoration

1. Soit la suite \((u_{n})\) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), par \({u_{n} = 5}-\dfrac{1}{n}\).

   Montrer que la suite \((u_{n})\) est bornée.

2. Soit la suite \((u_{n})\) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), par \(u_{n} = \dfrac{2{n + 1}}{n + 2}\).

   a) Montrer que la suite \((u_{n})\) est majorée par 2

   b) Montrer que la suite \((u_{n})\) est minorée par \(\dfrac{1}{2}\)

3. Soit la suite \((u_{n})\) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), par \({u_{n} = -}{n^{2} + 8}{n + 1}\).

   Montrer que \((u_{n})\) est majorée par 17.

4. Soit la suite (un) définie pour tout \(n\in \mathbb{N}^*\), par \(u_{n} = {\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}}\).

   Montrer que \((u_{n})\) est majorée et minorée.

4. Représenter graphiquement une suite définie par récurrence

Dans chaque cas, on considère la fonction \(f\) telle que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n + 1} = {f{(u_{n})}}\) . À l'aide de la droite \({d:y} = x\), représenter les premiers termes de la suite sur les axes, puis conjecturer le comportement de la suite (variations et limites éventuelles).

1. \(u_{0} = { {- 1},5}\) et \(u_{n + 1} = \sqrt{u_{n} + 2}\)

   

2. \(u_{0} = {1.5}\) et \(u_{n + 1} = { {2u_{n}} - 1}\)

   

3. \(u_{0} = 2\) et \(u_{n + 1} = \dfrac{1}{u_{n} + 0.5}\)

   

5. Suites arithmétiques

Les questions sont indépendantes.

1. On définit pour tout \(n\) la suite \((u_{n})\) par \({u_{n} = 3}n-2\).

   Montrer que \((u_{n})\) est une suite arithmétique.

2. Soit \((u_{n})\) une suite arithmétique de premier terme \(u_{0} = 5\) et de raison \(\dfrac{1}{3}\).

   Calculer le 9-ième terme, puis la somme \(\text{S} = {u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{8}}\).

3. Soit \((v_{n})\) une suite arithmétique de premier terme \(u_{1} = 2\) et de raison \(-2\).

   Calculer \(u_{15}\), puis la somme \(\Sigma = {u_{7} + u_{8} + \ldots + u_{15}}\).

4. Calculer : \(\text{S} = {11 + 14 + 17 + \ldots + 170 + 173}\).

6. Suites géométriques

Les questions sont indépendantes

1. Soit la suite \((u_{n})\) définie pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) par \(u_{n} = \dfrac{7^{n+1}}{5}\).

   Montrer que \((u_{n})\) est une suite géométrique et déterminer sa raison et son premier terme.

2. Soit \((u_{n})\) une suite géométrique de premier terme \(u_{1} = \dfrac{1}{81}\) et de raison \(-3\).

   Calculer \(u_{7}\), puis \(\text{S} = {u_{1} + u_{2} + \ldots + u_{7}}\).

3. Calculer \(\Sigma = 1 + 2 + 4 + 8 + \ldots + 4096\)

Les exercices qui suivent sont des extraits d'annales de bac. Il est assez fréquent d'avoir des suites le jour du bac et une grande partie de leur étude a été faite en première, vous êtes donc déjà des ninjas.

7. Suite "arithmético-géométrique"

Exercice très (très) classique que vous avez de fortes chances de retrouver (encore!) dans l'année.

On considère la suite \((u_{n})\) de nombres réels, définie pour tout entier \(n \geqslant 0\) par la relation de récurrence :

\({u_{n + 1} = \dfrac{1}{2}}{u_{n} + 3}\) et la relation initiale \(u_{0} = 2\).

1. Calculer \(u_{1}\),\(u_{2}\) et \(u_{3}\).

2. \((v_{n})\) est la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par: \({v_{n} = u_{n}}-6\).

   Démontrer que \((v_{n})\) est une suite géométrique et déterminer sa raison.

3. Pour tout entier naturel \(n\), exprimer \(v_{n}\) puis \(u_{n}\) en fonction de \(n\).

4. Calculer \(\text{S} = {v_{0} + v_{1} + \ldots + v_{9}}\) puis \(\text{S'} = {u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{9}}\).

8. Augmentation de loyer

Une personne loue une maison à partir du premier janvier 1991. Elle a le choix entre deux formules de contrat. Dans les deux cas, le loyer annuel initial est de 4 800 € et le locataire s'engage à occuper la maison pendant 9 années complètes. Les valeurs décimales seront arrondies, si nécessaire, au centime près.

1. Contrat n°1 :

   Le locataire accepte une augmentation annuelle de 5% du loyer de l'année précédente.

   (a) Calculer le loyer \(u_{1}\) payé lors de la deuxième année.

   (b) Exprimer \(u_{n}\) (loyer payé lors de la \(({n + 1})\)-ième année) en fonction de \(n\).

   (c) Calculer \(u_{8}\).

   (d) Calculer la somme payée à l'issue des 9 années de contrat.

2. Contrat n°2 :

   Le locataire accepte une augmentation annuelle forfaitaire de 300 € du loyer de l'année précédente.

   (a) Calculer le loyer \(v_{1}\) payé lors de la deuxième année.

   (b) Exprimer \(v_{n}\) (loyer payé lors de la \(({n + 1})\)-ième année) en fonction de \(n\).

   (c) Calculer la somme payée à l'issue des 9 années de contrat. Quel est le contrat le plus avantageux ?

9. Héritage

Bob a reçu \(200000\)€ en héritage. Il décide de placer cette somme et trouve un placement au taux de 6%. Mais chaque année il doit retirer \(9000\)€ pour payer les impôts dus à ce placement. On appelle \(\text{C}_{n}\) le capital acquis au bout de \(n\) années de placement.

1. Expliquer pourquoi \((\text{C}_{n})\) vérifie la relation de récurrence suivante : \({\text{C}_{n + 1} = 1.06}\text{C}_{n}-9000\)

2. Calculer à la calculatrice les premiers termes de cette suite. Est-elle arithmétique ? Géométrique ?

3. On considère la suite auxiliaire \((\text{U}_{n})\) définie par :

   \[{\text{U}_{n} = \text{C}_{n}}-150000\]

4. a) Montrer que \((\text{U}_{n})\) est une suite géométrique dont on précisera les caractéristiques.

   b) Exprimer \(\text{U}_{n}\) puis \(\text{C}_{n}\) en fonction de \(n\).

   c) De quelle somme, Bob disposera t-il au bout de 5 ans ?

   d) Bob veut acheter une maison à \(280000\)€.

   Combien d'années devra t-il attendre avant de disposer de cette somme ?

10. Suite auxiliaire

On considère la suite \(w_{n}\) définie par :

\(w_{n + 1} = \dfrac{w_{n}}{ {1 + 3}w_{n}}\) avec \(w_{0} = 1\)

1. Calculer \(w_{1}\), \(w_{2}\) et \(w_{3}\)

2. On considère la suite \((u_{n})\) définie pour tout \(n\) par :

   \[u_{n} = \dfrac{1}{w_{n}}\]

   a) Démontrer que la suite \((u_{n})\) est arithmétique. Donner sa raison et son premier terme.

   b) En déduire \(u_{n}\) en fonction de \(n\) puis \(w_{n}\) en fonction de \(n\).

   c) Calculer alors \(w_{20}\).

11. Gros exo de bac

L'objet de cet exercice est l'étude de la suite \((u_{n})\) définie par son premier terme \(u_{1} = \dfrac{3}{2}\) et la relation de récurrence:

\[{u_{n + 1} = \dfrac{n{u_{n} + 1}}{2{({n + 1})}}}\]

Partie A - Algorithmique et conjectures

Pour calculer et afficher le terme \(u_9\) de la suite, un élève propose le programme en Python ci-dessous.

    n=1
    u=1.5
    while n<9:
        u=...
        n=...
    print(u)

1. Recopier et compléter les deux lignes de l'algorithme où figurent des points de suspension.

2. Comment faudrait-il modifier cet algorithme pour qu'il calcule et affiche tous les termes de la suite de \(u_{2}\) jusqu'à \(u_{9}\) ?

3. Avec cet algorithme modifié, on a obtenu les résultats suivants, arrondis au dix-millième :

   \(n\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)	\(5\)	\(6\)	\(\ldots\)	\(99\)	\(100\)
   \(u_{n}\)	1,5	0,625	0,375	0,2656	0,2063	0,1693	\(\ldots\)	0,0102	0,0101

   Au vu de ces résultats, conjecturer le sens de variation et la convergence de la suite \((u_{n})\).

Partie B - Étude mathématique

On définit une suite auxiliaire \((v_{n})\) par : pour tout entier \(n \geqslant 1\), \({v_{n} = n}{u_{n} - 1}\).

1. Montrer que la suite \((v_{n})\) est géométrique; préciser sa raison et son premier terme.

2. En déduire que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a:

   \[u_{n} = \dfrac{1 + {(0,5)}^{n}}{n}\]

3. Déterminer la limite de la suite \((u_{n})\).

4. Justifier que, pour tout entier \(n \geqslant 1\), on a:

   \[{u_{n + 1} - u_{n}} = {- \dfrac{ {1 + {({ {1 + 0,5}n})}}{(0,5)}^{n}}{n{({n + 1})}}}\]

   En déduire le sens de variation de la suite \((u_{n})\).

Partie C - Retour à l'algorithmique

En s'inspirant de la partie A, écrire un algorithme permettant de déterminer et d'afficher le plus petit entier \(n\) tel que \(u_{n} < 0.001\).