SUITES : RAPPELS

1. Définition d'une suite

Définition

Une suite numérique est une fonction définie sur \(\mathbb{N}\) (ou une partie de \(\mathbb{N}\)) à valeurs réelles.

Remarques

Généralement une suite se note avec les lettres \(u\), \(v\), \(w\), ...

On utilise différentes notations \({(u_{n})}_{n\in{\mathbb{N}}}\), \({(u_{n})}_{n \geqslant 0}\) ou \((u_{n})\).

On notera \(u_n\) plutôt que \(u(n)\) l'image de l'entier \(n\) par la suite \(u\).

\(u_n\) (qui est un nombre réel) est appelé terme général (ou terme de rang ou d'indice \(n\)) de la suite \((u_n)\).

Remarques

comme pour les fonctions, on oublie parfois de préciser l'ensemble de définition.

Exemple:

La suite de terme général \(u_{n} = \sqrt{n–4}\) n'est définie que pour \(n \geqslant 4\). On la notera \({(u_{n})}_{n \geqslant 4}\).

Définition

On dit qu'une suite \((u_n)\) est définie de manière explicite si le terme général u_n est de la forme \({u_{n} = f}{(n)}\) où \(f\) est une fonction connue définie sur \(\lbrack 0{; + \infty}\lbrack\)

Remarque

cela permet de calculer n'importe quel terme de la suite indépendamment des autres.

Définition

on dit que la suite \((u_n)\) est définie de manière récurrente si le terme général est de la forme \({u_{n + 1} = f}{(u_{n})}\) ou f est une fonction connue, et que le premier terme de la suite est dans le domaine de définition de \(f\).

Remarque

pour calculer le terme de rang \(k\) il faut donc connaître celui de rang précédent \(k-1\) et donc tous ceux ayant un rang inférieur à \(k\).

Ici on a défini en fait une suite récurrente d'ordre 1 mais on peut aussi définir une suite récurrente d'ordre \(2\), \(3\), \(4\)... la formule donnant la forme du terme général \((u_k)\) dépendra alors des \(2\), \(3\), \(4\)... termes précédents.

Exemple:

• La suite \((u_n)\) définie par \(u_{n} = \dfrac{1}{n–2}\) est définie de manière explicite pour tout \(n\geq 3\).

• La suite définie par \(\left\{ \begin{matrix}{ { {u_{0} = }1}} \\ { {u_{n + 1} = {3{u_{n} + 1}}}} \end{matrix} \right.\) est une suite récurrente d'ordre \(1\).

• La suite définie par \(\left\{ \begin{matrix} { { {u_{0} = }0}} \\ { { {u_{1} = }1}} \\ { {u_{n + 2} = {u_{n + 1} + u_{n}}}} \end{matrix} \right.\) est une suite récurrente d'ordre \(2\).

2. Monotonie des suites, suites majorées, minorées, bornées

Définitions

on dit qu'une suite \((u_n)\) définie à partir d'un rang \(n_0\) est:

• croissante, s'il existe un rang \(k\) tel que pour tout \(n\geq k\), \(u_{n + 1} \geqslant u_{n}\), strictement croissante si l'inégalité est stricte.

• décroissante s'il existe un rang \(k\) tel que pour tout \(n\geq k\), \(u_{n + 1} \leqslant u_{n}\), strictement décroissante si l'inégalité est stricte.

• stationnaire s'il existe un rang k tel que pour tout \(n\geq k\) , \(u_{n + 1} = u_{n}\).

• constante si pour tout \(n\geq n_{0}, u_{n + 1} = u_{n}\).

Exemples:

• La suite \((u_n)\) définie par \(u_{0} = 3\) et \(u_{n + 1} = {u_{n} + 4}\) est strictement croissante car \(u_{n + 1}-{u_{n} = 4}\) et \(4 > 0\).

• La suite définie par \({u_{n} = –}2{n + 4}\) est décroissante car \(u_{n + 1}–{u_{n} = –}2{ {({n + 1})} + 4}–{ {({–2{n + 4}})} = –}2\) et \(–{2 < 0}\).

• Si \(E\) désigne la fonction qui à un réel associe sa partie entière alors la suite \((u_{n})\) définie pour tout entier naturel non nul \(n\) par \({u_{n} = E}\left( \dfrac{7}{n} \right)\) est stationnaire à partir du rang \(n = 8.\)

• La suite \({(u_{n})}_{n \geqslant 0}\) définie par \(\left\{ \begin{matrix}{ { {u_{0} = }1}} \\ { {u_{v + 1} = {\dfrac{2}{u_{v} + 1}}}} \end{matrix} \right.\) est constante.

Remarque

dans la pratique, pour étudier la monotonie d'une suite, on étudiera le signe de \(u_{n + 1}–u_{n}\).

Si la suite \((u_n)\) a tous ses termes strictement positifs ou tous strictement négatifs (au moins à partir d'un certain rang) on pourra comparer le quotient \(\dfrac{u_{n + 1}}{u_{n}}\) à \(1\).

Définition

On dit qu'une suite \((u_n)\) définie à partir d'un rang \(n_{0}\) est:

• majorée s'il existe un réel \(M\) tel que, pour tout \(n\geq n_{0}\) , \(u_{n}\leq M\).

• minorée s'il existe un réel \(m\) tel que, pour tout \(n\geq n_{0}\) , \(u_{n}\geq m\).

• bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Les nombres \(M\) et \(m\) s'appellent majorant et minorant de \((u_n)\).

Exemples :

• La suite \({(u_{n})}_{n\geq 1}\) définie par \({u_{n} = \dfrac{1}{n}}–n\) est majorée par \(0\) mais n'est pas minorée.

• La suite \({(u_{n})}_{n\geq 1}\) définie par \(u_{n} = {n + \dfrac{1}{n}}\) est minorée par 2 mais n'est pas majorée.

• La suite \({(u_{n})}_{n\geq 0}\) définie par \(u_{n} = {({–1})}^{n}\) est bornée, elle est majorée par \(1\) et minorée par \(–1.\)

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite définie de manière explicite par \({u_{n} = f}{(n)}\)

Si \(f\) est croissante sur \(\lbrack 0{; + \infty}\lbrack\) , alors \((u_{n})\) est croissante.

Si \(f\) est décroissante sur \(\lbrack 0{; + \infty}\lbrack\) , alors \((u_{n})\) est décroissante.

Si \(f\) est majorée sur \(\lbrack 0{; + \infty}\lbrack\) , alors \((u_{n})\) est majorée.

Si \(f\) est minorée sur \(\lbrack 0{; + \infty}\lbrack\) , alors \((u_{n})\) est minorée.

Remarque

Attention, les réciproques de ces propriétés sont fausses. Il suffit de prendre la suite définie par \({u_{n} = \cos}{ {({2\pi n})} + n}\) en effet \(f{ {(x)} = \cos}{ {({2\pi x})} + x}\) n'est pas croissante alors que la suite \((u_n)\) l'est.

Exercice :

• Démontrer la remarque ci-dessus.
• Démontrer que toute suite croissante est minorée, que toute suite décroissante est majorée.

3. Représentations graphiques des suites

Si la suite est définie avec une formule explicite du type \({u_{n} = f}{(n)}\), alors on choisira plutôt une représentation graphique similaire à celles des courbes représentatives des fonctions.

Si une suite est définie par récurrence \({u_{n + 1} = f}{(u_{n})}\), on représentera la suite avec les points \(({u_{k};0})\).

Rappel de la méthode :

1. Tracer la droite d'équation \(y = x\)

2. Tracer la courbe représentative de \(f\), notée \(\text{C}_{f}\).

3. Placer le point de coordonnées \(({u_0;0})\)

4. L'intersection de la droite d'équation \(x = u_{0}\) avec \(\text{C}_{f}\) est le point de coordonnées \((u_0;u_{1})\).

5. L'intersection de la droite d'équation \(y = u_{1}\) avec la droite d'équation \(y = x\) est le point \(({u_{1};u_{1}})\).

6. Reste à construire la droite d'équation \(x = u_{1}\) et à trouver son intersection avec l'axe des abscisses pour trouver \(u_{1}\).

7. Recommencer pour construire \(u_{2}\), \(u_{3}\) etc.

3. Suites arithmétiques et géométriques

Définition

On dit qu'une suite \((u_n)\) est :

• Arithmétique si pour tout entier \(n\) il existe un réel \(r\) tel que \(u_{n + 1} = {u_{n} + r}\).

• Géométrique si pour tout entier \(n\) il existe un réel \(q\) tel que \(u_{n + 1} = {q \times u_{n}}\).

Dans les deux cas les réels \(r\) et \(q\) sont appelés raison de la suite.

Propriété

Si \((u_n)\) est une suite arithmétique de premier terme \(u_{0}\) et de raison \(r\) alors pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} = u_0+nr\). De plus pour tous entiers \(p\) et \(q\) on a \({u_{p} = {u_{q} + {({p - q})}}}r\).

Si \((u_n)\) est une suite géométrique de premier terme \(u_{0}\) et de raison \(q\) alors pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n} = {u_{0} \times q^{n}}\).

De plus pour tous entiers \(m\) et \(n\) on a \(u_{m} = {u_{n} \times q^{m–n}}\).

Remarque

la seconde formule permet de calculer n'importe quel terme de la suite dès que l'on connaît un terme de la suite et sa raison. Elle permet aussi de calculer la raison d'une suite arithmétique ou géométrique dès que l'on connaît deux de ses termes.

Propriétés

La somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique est égale au produit du nombre de termes par la demi somme des termes extrêmes.

\[\text{(nombre de termes)} \times \dfrac{\text{(premier terme + dernier terme)}}{2}\]

Pour calculer la somme de \(k\) termes consécutifs d'une suite géométrique de raison \(q\), on applique la formule \({(\text{premier}\ \text{terme})} \times \dfrac{1–q^{\text{nombre de termes}}}{1–q}\).

Exemples:

• Soit \((u_n)\) définie par \(u_{n} = 2 + 4n\) (suite arithmétique de raison \(4\) et de premier terme \(u_{0} = 2\)) alors

  \(S = {u_{5} + u_{6} + \ldots + u_{23}} = {19 \times \dfrac{u_{5} + u_{23}}{2}} = {19 \times \dfrac{22 + 94}{2}} = 1102\).

• Soit \((u_n)\) la suite géométrique de premier terme \(u_{0} = 1\) et de raison \(2\) on a

  \({S = {u_{0} + u_{1} + \ldots + u_{n}} = {1 + 2 + \ldots + 2^{n}} = {1 \times \dfrac{1–2^{n + 1}}{1–2}} = 2^{n + 1}}–1\).