Feuille d'exercices du bac sur les intégrales

Exercice 32: Pondichéry 17 avril 2015

Partie A

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\), la courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y = 3\).

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Justifier que la droite \(\Delta\) est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}\).

3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 2,999\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).

   Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-2}\).

Partie B

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 3 - f(x)\).

1. Justifier que la fonction \(h\) est positive sur \(\mathbb{R}\).

2. On désigne par \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)\).

   Démontrer que \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Soit \(a\) un réel strictement positif.

   a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x\).

   b. Démontrer que \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)\).

   c. On note \(\mathcal{D}\) l'ensemble des points \(M(x~;~y)\) du plan défini par:

   \[\left\{\begin{array}{l c l} \phantom{}x\geqslant0\\ f(x)\leqslant y\leqslant 3 \end{array}\right.\]

   Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathcal{D}\).

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Exercice 33: Métropole Juin 2006

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par:

   \[f(x) = x^2 \text{e}^{1 - x}\]

   On désigne par \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\) d'unité graphique 2 cm.

   a. Déterminer les limites de \(f\) en \(- \infty\) et en \(+ \infty\) ; quelle conséquence graphique pour \(\mathcal{C}\) peut-on en tirer ?

   b. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Déterminer sa fonction dérivée \(f'\).

   c. Dresser le tableau de variations de \(f\) et tracer la courbe \(\mathcal{C}\).

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère l'intégrale \(I_{n}\) définie par :

   \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

   a. Établir une relation entre \(I_{n+1}\) et \(I_{n}\).

   b. Calculer I\(_{1}\), puis I\(_{2}\).

   c. Donner une interprétation graphique du nombre I\(_{2}\). On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réel \(x\) de \([0 ; 1]\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a l'inégalité suivante :

   \[x^n \leqslant x^n\text{e}^{1 - x} \leqslant x^n \text{e}.\]

   b. En déduire un encadrement de \(I_{n}\) puis la limite de \(I_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).

Exercice 34: Antilles juin 2004

But de l'exercice : approcher \(\ln(1 + a)\) par un polynôme de degré 5 lorsque \(a\) appartient à l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).

Soit \(a \in [0~;~+ \infty[\).

On note \(I_0(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{1 + t} \:\text{d}t\) et pour \(k \in \mathbb{N}^*\), on pose \(I_k(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(t -a)^k}{(1 + t)^{k+1}} \:\text{d}t.\)

1. Calculez \(I_0(a)\) en fonction de \(a\).

2. À l'aide d'une intégration par parties, exprimez \(I_1(a)\) en fonction de \(a\).

3. À l'aide d'une intégration par parties, démontrez que:

   \[I_{k+1}(a) = \dfrac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1} + I_k(a) \quad \text{pour tout}\quad k \in \mathbb{N}^*.\]

4. Soit \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{R}\) par \(P(x) = \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 +x\).

   Démontrez en calculant \(I_2(a),~I_3(a)\) et \(I_4(a)\), que \(I_5(a)= \ln(1 + a) - P(a)\).

5. Soit \(J(a) = \displaystyle\int_0^a (t - a)^5\: \text{d}t\). Calculez \(J(a)\).

6. a. Démontrez que pour tout \(t \in [0~;~a],~\dfrac{(t-a)^5}{(1+t)^6} \geqslant (t - a)^5\).

   b. Démontrez que pour tout \(a \in [0~;~+ \infty[,~J(a) \leqslant I_5(a) \leqslant 0\).

7. En déduire que pour tout \(a \in [0~;~+ \infty[,~\left|\ln (1 + a) - P(a)\right| \leqslant \dfrac{a^6}{6}\).

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel \(P(a)\) est une valeur approchée de \(\ln (1 + a)\) à \(10^{-3}\) près.

Exercice 35: Amérique du Sud 24 novembre 2015

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\), on désigne par \(\mathcal{C}_u\) la courbe représentative de la fonction \(u\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par :

\[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]

où \(a, b\) et \(c\) sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_u\) et la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = 1\).

On précise que la courbe \(\mathcal{C}_u\) passe par les points \(A(1 ; 0)\) et \(B(4 ; 0)\) et que l'axe des ordonnées et la droite \(\mathcal{D}\) sont asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_u\).

1. Donner les valeurs de \(u(1)\) et \(u(4)\).

2. Donner \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)\). En déduire la valeur de \(a\).

3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par :

\[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

1. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). On pourra utiliser sans démonstration le fait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\).

2. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\).

3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) = u(x)\).

   En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

1. Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\), exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.

2. Pour tout réel \(\lambda\) supérieur ou égal à 4, on note \(\mathcal{A}_{\lambda}\) l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points \(M\) de coordonnées \((x~;~y)\) telles que :

   \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\]

   Existe-t-il une valeur de \(\lambda\) pour laquelle \(\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}\) ?

   Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Exercice 36: Amérique du nord mai 2024

Pour tout entier naturel \(n\), on considère les intégrales suivantes :

\[I_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\sin (x)\:\text{d}x, \quad J_n = \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{-nx}\cos (x)\:\text{d}x.\]

1. Calculer \(I_0\).

2. a. Justifier que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_n \geqslant 0\).

   b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a \(I_{n+1} - I_n \leqslant 0\).

   c. Déduire des deux questions précédentes que la suite \(\left(I_n\right)\) converge.

3. a. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a :

   \[I_n \leqslant \displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x.\]

   b. Montrer que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a :

   \[\displaystyle\int_0^{\pi} \text{e}^{- nx}\:\text{d}x = \dfrac{1 - \text{e}^{-n \pi}}{n}.\]

   c. Déduire des deux questions précédentes la limite de la suite \(\left(I_n\right)\).

4. a. En intégrant par parties l'intégrale \(I_n\) de deux façons différentes, établir les deux relations suivantes, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\) :

   \(I_n = 1 + \text{e}^{-n\pi} - nJ_n\) et \(I_n = \dfrac 1n J_n\)

   b. En déduire que, pour tout entier naturel \(n \geqslant 1\), on a

   \[I_n = \dfrac{1 + \text{e}^{-n \pi}}{n^2 + 1}\]

5. On souhaite obtenir le rang \(n\) à partir duquel la suite \(\left(I_n\right)\) devient inférieure à 0,1.

   Recopier et compléter la cinquième ligne du script Python ci-dessous avec la commande appropriée.

   from math import *
   def seuil() :
       n = 0
       I = 2
       ...
           n=n+1
           I=(1+exp(-n\*pi))/(n\*n+1)
       return n
   

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Exercice 37: Amérique du sud novembre 2024

Partie 1

On considère la fonction \(f\) définie sur l'ensemble des nombres réels \(\mathbb{R}\) par : \(\(f(x) = \left(x^2 - 4\right)\text{e}^{-x}.\)\)

On admet que la fonction \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et on note \(f'\) sa fonction dérivée.

1. Déterminer les limites de la fonction \(f\) en \(-\infty\) et en \(+\infty\).

2. Justifier que pour tout réel \(x,\, f'(x) = \left(-x^2 + 2x + 4\right)\text{e}^{-x}\).

3. En déduire les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

Partie 2

On considère la suite \((I_n)\) définie pour tout entier naturel \(n\) par \(I_n = \displaystyle\int_{-2}^0 x^n\text{e}^{-x}\, \text{d}x\).

1. Justifier que \(I_0 = \text{e}^2 - 1\).

2. En utilisant une intégration par partie, démontrer l'égalité :

   \[I_{n+1} = (- 2)^{n+1} \text{e}^2 + (n + 1)I_n.\]

3. En déduire les valeurs exactes de \(I_1\) et de \(I_2\).

Partie 3

1. Déterminer le signe sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) définie dans la partie 1.

2. On a représenté ci-contre la courbe \(\mathcal{C}_f\) de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\,\jmath}\right)\).

   Le domaine \(D\) du plan hachuré ci-dessous est délimité par la courbe \(\mathcal{C}_f\), l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées.

   

   Calculer la valeur exacte, en unité d'aire, de l'aire \(S\) du domaine \(D\).

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Exercice 38: Métropole juin 2024

Partie A : étude de la fonction \(f\)

La fonction \(f\) est définie sur l'intervalle \(]0 ~;~+\infty[\) par :

\(\(f(x)=x-2+\dfrac{1}{2} \ln x,\)\) où ln désigne la fonction logarithme népérien. On admet que la fonction \(f\) est deux fois dérivable sur \(] 0 ~;~ +\infty[\), on note \(f'\) sa dérivée et \(f''\) sa dérivée seconde.

1. a. Déterminer, en justifiant, les limites de \(f\) en 0 et en \(+\infty\).

   b. Montrer que pour tout \(x\) appartenant à \(] 0 ~;~+\infty[\), on a :\(f'(x)=\dfrac{2x + 1}{2x}\).

   c. Étudier le sens de variation de \(f\) sur \(] 0 ~;~+\infty[\).

   d. Étudier la convexité de \(f\) sur \(] 0~;~ +\infty[\).

2. a. Montrer que l'équation \(f(x)=0\) admet dans \(] 0 ~;~ +\infty[\) une solution unique qu'on notera \(\alpha\) et justifier que \(\alpha\) appartient à l'intervalle \([1~;~2]\).

   b. Déterminer le signe de \(f(x)\) pour \(x \in] 0 ~;~ +\infty[\).

   c. Montrer que \(\ln (\alpha)=2(2-\alpha)\).

Partie B : étude de la fonction \(g\)

La fonction \(g\) est définie sur \(] 0~;~1]\) par :

\[g(x) = -\dfrac{7}{8} x^{2}+ x - \dfrac{1}{4} x^{2} \ln x.\]

On admet que la fonction \(g\) est dérivable sur \(] 0~;~1]\) et on note \(g'\) sa fonction dérivée.

1. Calculer \(g'(x)\) pour \(x \in ] 0~;~1]\) puis vérifier que \(g'(x)=x f\left(\dfrac{1}{x}\right)\).

2. a. Justifier que pour \(x\) appartenant à l'intervalle \(\left] 0~;~\dfrac{1}{\alpha}\right[\), on a \(f\left(\dfrac{1}{x}\right)>0\).

   b. On admet le tableau de signes suivant :

   

   En déduire le tableau de variations de \(g\) sur l'intervalle \(] 0~;~1]\). Les images et les limites ne sont pas demandées.

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Partie C : un calcul d'aire

On a représenté sur le graphique ci-dessous :

• La courbe \(\mathcal{C}_{g}\) de la fonction \(g\);

• La parabole \(\mathcal{P}\) d'équation \(y=-\dfrac{7}{8} x^{2}+x\) sur l'intervalle \(]0~;~1]\).

On souhaite calculer l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine hachuré compris entre les courbes \(\mathcal{C}_{g}\) et \(\mathcal{P}\), et les droites d'équations \(x=\dfrac{1}{\alpha}\) et \(x=1\).

On rappelle que \(\ln (\alpha)=2(2-\alpha)\).

1. a. Justifier la position relative des courbes \(C_{g}\) et \(\mathcal{P}\) sur l'intervalle \(\left.] 0~;~1\right]\).

   b. Démontrer l'égalité :

   \[\int_{\frac{1}{\alpha}}^{1} x^{2} \ln x \:\mathrm{d}x=\dfrac{-\alpha^{3}-6 \alpha+13}{9 \alpha^{3}}\]

2. En déduire l'expression en fonction de \(\alpha\) de l'aire \(\mathcal{A}\).

Exercice 39: Polynésie mai 2018

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \(f(x) = k\text{e}^{-kx}\) où \(k\) est un nombre réel strictement positif.

On appelle \(\mathcal{C}_f\) sa représentation graphique dans le repère orthonormé \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\).

On considère le point \(A\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse 0 et le point \(B\) de la courbe \(\mathcal{C}_f\) d'abscisse 1.

Le point \(C\) a pour coordonnées \((1 ; 0)\).

1. Déterminer une primitive de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

2. Exprimer, en fonction de \(k\), l'aire du triangle OCB et celle du domaine \(\mathcal{D}\) délimité par l'axe des ordonnées, la courbe \(\mathcal{C}_f\) et le segment \([OB]\).

3. Montrer qu'il existe une unique valeur du réel \(k\) strictement positive telle que l'aire du domaine \(\mathcal{D}\) vaut le double de celle du triangle \(OCB\).