Feuille d'exercices sur les intégrales

Vus au bac

Exercice 32: Pondichéry 17 avril 2015

Partie A

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

\[f(x) = \dfrac{3}{1 + \text{e}^{- 2x}}.\]

Sur le graphique ci-après, on a tracé, dans un repère orthogonal \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\), la courbe représentative \(\mathcal{C}\) de la fonction \(f\) et la droite \(\Delta\) d'équation \(y = 3\).

1. Démontrer que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

2. Justifier que la droite \(\Delta\) est asymptote à la courbe \(\mathcal{C}\).

3. Démontrer que l'équation \(f(x) = 2,999\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).

   Déterminer un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-2}\).

Partie B

Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 3 - f(x)\).

1. Justifier que la fonction \(h\) est positive sur \(\mathbb{R}\).

2. On désigne par \(H\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(H(x) = - \dfrac{3}{2} \ln \left(1 + \text{e}^{- 2x}\right)\).

   Démontrer que \(H\) est une primitive de \(h\) sur \(\mathbb{R}\).

3. Soit \(a\) un réel strictement positif.

   a. Donner une interprétation graphique de l'intégrale \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x\).

   b. Démontrer que \(\displaystyle\int_0^a h(x)\:\text{d}x = \dfrac{3}{2} \ln \left(\dfrac{2}{1 + \text{e}^{- 2a}}\right)\).

   c. On note \(\mathcal{D}\) l'ensemble des points \(M(x~;~y)\) du plan défini par

   \(\left\{\begin{array}{l c l} x&\geqslant & 0\\ f(x) &\leqslant y&\leqslant 3 \end{array}\right.\)

   Déterminer l'aire, en unité d'aire, du domaine \(\mathcal{D}\).

Exercice 33: Métropole Juin 2006

1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par

   \[f(x) = x^2 \text{e}^{1 - x}.\]

   On désigne par \(\mathcal{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormal \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\,\mathstrut\imath\,},~\overrightarrow{\,\mathstrut\jmath\,}\right)\) d'unité graphique 2 cm.

   a. Déterminer les limites de \(f\) en \(- \infty\) et en \(+ \infty\) ; quelle conséquence graphique pour \(\mathcal{C}\) peut-on en tirer ?

   b. Justifier que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Déterminer sa fonction dérivée \(f'\).

   c. Dresser le tableau de variations de \(f\) et tracer la courbe \(\mathcal{C}\).

2. Soit \(n\) un entier naturel non nul. On considère l'intégrale \(I_{n}\) définie par :

   \[I_{n} = \displaystyle\int_{0}^1 x^n\text{e}^{1 - x}\:\text{d}x.\]

   a. Établir une relation entre \(I_{n+1}\) et \(I_{n}\).

   b. Calculer I\(_{1}\), puis I\(_{2}\).

   c. Donner une interprétation graphique du nombre I\(_{2}\). On la fera apparaître sur le graphique de la question 1 c.

3. a. Démontrer que pour tout nombre réel \(x\) de \([0 ; 1]\) et pour tout entier naturel \(n\) non nul, on a l'inégalité suivante :

   \[x^n \leqslant x^n\text{e}^{1 - x} \leqslant x^n \text{e}.\]

   b. En déduire un encadrement de \(I_{n}\) puis la limite de \(I_{n}\) quand \(n\) tend vers \(+ \infty\).

Exercice 34: Amérique du Sud 24 novembre 2015

Partie A

Dans le plan muni d'un repère orthonormé \(\left(\text{O},~\overrightarrow{\imath},~\overrightarrow{\jmath}\right)\), on désigne par \(\mathcal{C}_u\) la courbe représentative de la fonction \(u\) définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par :

\[u(x) = a + \dfrac{b}{x} + \dfrac{c}{x^2}\]

où \(a, b\) et \(c\) sont des réels fixés.

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe \(\mathcal{C}_u\) et la droite \(\mathcal{D}\) d'équation \(y = 1\).

On précise que la courbe \(\mathcal{C}_u\) passe par les points A(1 ; 0) et B(4 ; 0) et que l'axe des ordonnées et la droite \(\mathcal{D}\) sont asymptotes à la courbe \(\mathcal{C}_u\).

1. Donner les valeurs de \(u(1)\) et \(u(4)\).

2. Donner \(\displaystyle\lim_{x \to + \infty} u(x)\). En déduire la valeur de \(a\).

3. En déduire que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(u(x) = \dfrac{x^2 - 5x + 4}{x^2}\).

Partie B

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \(]0~;~+ \infty[\) par :

\[f(x) = x - 5\ln x - \dfrac{4}{x}.\]

1. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(0\). On pourra utiliser sans démonstration le fait que \(\displaystyle\lim_{x \to 0} x \ln x = 0\).

2. Déterminer la limite de \(f(x)\) lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\).

3. Démontrer que, pour tout réel \(x\) strictement positif, \(f'(x) = u(x)\).

   En déduire le tableau de variation de la fonction \(f\) en précisant les limites et les valeurs particulières.

Partie C

1. Déterminer l'aire \(\mathcal{A}\), exprimée en unité d'aire, du domaine hachuré sur le graphique de la partie A.

2. Pour tout réel \(\lambda\) supérieur ou égal à 4, on note \(\mathcal{A}_{\lambda}\) l'aire, exprimée en unité d'aire, du domaine formé par les points \(M\) de coordonnées \((x~;~y)\) telles que :

   \[4 \leqslant x \leqslant \lambda\quad \text{et}\quad 0 \leqslant y \leqslant u(x).\]

   Existe-t-il une valeur de \(\lambda\) pour laquelle \(\mathcal{A}_{\lambda} = \mathcal{A}\) ?

   Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Exercice 35: Antilles juin 2004

But de l'exercice : approcher \(\ln(1 + a)\) par un polynôme de degré 5 lorsque \(a\) appartient à l'intervalle \([0~;~+ \infty[\).

Soit \(a \in [0~;~+ \infty[\).

On note \(I_0(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{1}{1 + t} \:\text{d}t\) et pour \(k \in \mathbb{N}^*\), on pose \(I_k(a) = \displaystyle\int_0^a \dfrac{(t -a)^k}{(1 + t)^{k+1}} \:\text{d}t.\)

1. Calculez \(I_0(a)\) en fonction de \(a\).

2. À l'aide d'une intégration par parties, exprimez \(I_1(a)\) en fonction de \(a\).

3. À l'aide d'une intégration par parties, démontrez que

   \[I_{k+1}(a) = \dfrac{(-1)^{k+1}a^{k+1}}{k+1} + I_k(a) \quad \text{pour tout}\quad k \in \mathbb{N}^*.\]

4. Soit \(P\) le polynôme défini sur \(\mathbb{R}\) par \(P(x) = \dfrac{1}{5}x^5 -\dfrac{1}{4}x^4 + \dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 +x\).

   Démontrez en calculant \(I_2(a),~I_3(a)\) et \(I_4(a)\), que \(I_5(a)= \ln(1 + a) - P(a)\).

5. Soit \(J(a) = \displaystyle\int_0^a (t - a)^5\: \text{d}t\). Calculez \(J(a)\).

6. a. Démontrez que pour tout \(t \in [0~;~a],~\dfrac{(t-a)^5}{(1+t)^6} \geqslant (t - a)^5\).

   1. Démontrez que pour tout \(a \in [0~;~+ \infty[,~J(a) \leqslant I_5(a) \leqslant 0\).

7. En déduire que pour tout \(a \in [0~;~+ \infty[,~\left|\ln (1 + a) - P(a)\right| \leqslant \dfrac{a^6}{6}\).

8. Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequel \(P(a)\) est une valeur approchée de \(\ln (1 + a)\) à \(10^{-3}\) près.