Feuille d'exercices sur les intégrales

Calculer une intégrale avec les formules d'aires

Exercice 1: Vrai ou faux

1. L'intégrale d'une fonction positive s'exprime en unité de longueur.

2. L'intégrale d'une fonction positive est définie à l'aide d'une aire.

3. Le résultat de \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x\) dépend de \(x\).

4. Si \(f\) est une fonction positive et si \(a < b\), alors \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x\) peut être strictement négative.

Exercice 2

Dans chacun des cas, vérifier que la fonction proposée est positive sur \([a ; b]\), puis calculer son intégrale sur \([a ; b]\).

1. \(f(x) = 3x - 1\) sur \([2 ; 5]\)

2. \(f(x) = |x - 3|\) sur \([1 ; 4]\)

Exercice 3: À partir d'une représentation graphique

Trois fonctions sont représentées ci-dessous, positives sur \([-1 ; 1]\).

Déterminer l'expression de chacune d'elle, puis en utilisant des formules d'aires connues déterminer les intégrales de ces fonctions entre \(-1\) et \(1\).

Exercice 4: Avec une fonction affine par morceaux

Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([-2 ; 4]\) par :

\[f(x) = \begin{cases} 2 & \text{si } x \leq 0 \\ x + 2 & \text{si } 0 < x \leq 2 \\ -\dfrac{3}{2}x + 7 & \text{si } x > 2 \end{cases}\]

1. Tracer la courbe représentative de \(f\) dans un repère orthonormal, puis vérifier que cette fonction est continue et positive sur \([-2 ; 4]\).

2. Déterminer \(\displaystyle\int_{-2}^{4} f(x) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 5: Avec un demi-cercle

Soit \(f\) la fonction définie sur \([-1 ; 1]\) par \(f(x) = \sqrt{1 - x^2}\).

1. Représenter sur la calculatrice, la courbe représentative \(C_f\) de \(f\) dans un repère orthonormal.

2. Montrer que \(C_f\) est un demi-cercle.

3. Déterminer \(\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 6

Soient les fonctions : \(f(x)=x\), \(g(x)=3-\dfrac{1}{2}x\) et \(h(x)=\dfrac{1}{4}x+\dfrac{3}{4}\).

1. Associer chaque fonction avec sa représentation graphique et déterminer les coordonnées des points \(A\), \(B\) et \(C\).

2. En calculant \(\displaystyle\int_{1}^{2} f(x) \, \mathrm{d} x\) et \(\displaystyle\int_{1}^{2} h(x) \, \mathrm{d} x\) déterminer l'aire \(A_1\).

3. Déterminer l'aire \(A_2\), puis l'aire du triangle \(ABC\).

Exercice 7

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; 1]\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous (en gras). Déterminer \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 8: Algorithme : sommes de Riemann

On considère le programme python ci-dessous :

a = float(input("a"))
b = float(input("b"))
p = float(input("p"))
s1 = 1
s2 = 0
n = 1
while (s1 - s2) != p:
    n = n + 1
    s1 = 0
    s2 = 0
    for i in range(n):
        s1 = s1 + (b - a) / n * 1 / (a + i * (b - a) / n)
        s2 = s2 + (b - a) / n * 1 / (a + (i + 1) * (b - a) / n)
print(s1)
print(s2)

1. On choisit \(p = 0.1\). Quelles valeurs doit-on choisir pour \(a\) et \(b\) afin d'encadrer l'aire ci-dessous ? À quoi correspond cette aire ?

   

2. Sur le graphique ci-dessous représenter le cas \(n = 4\).

   

3. Expliquer pourquoi on a choisi les valeurs \(1\) et \(0\) pour \(\text{sl}\) et \(\text{s2}\) au début de l'algorithme.

4. Faire tourner le programme et déterminer ce qu'il retourne pour \(p = 0.01\).

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Propriétés de l'intégrale

Exercice 9: Encadrer une intégrale

1. Démontrer que pour tout \(x \in [0 ; 1]\), on a \(1 \leqslant \mathrm{e}^{x^2} \leqslant \mathrm{e}\), puis en déduire un encadrement de \(I = \displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x^2} \, \mathrm{d} x\).

2. Démontrer que pour tout \(x \in [0 ; 8]\), on a \(1 \leqslant \sqrt{1 + x} \leqslant 3\), puis en déduire un encadrement de \(J = \displaystyle\int_{0}^{8} \sqrt{1 + x} \, \mathrm{d} x\).

3. On a représenté ci-dessous la fonction \(f: x \longmapsto \sqrt{4 + x^2}\). En exploitant les données du graphique, donner un encadrement de \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d} x\).

   

Exercice 10: Encadrer une intégrale - Relation de Chasles

Soit la fonction \(f\) définie sur \([-1 ; 1]\) par \(f(x) = \mathrm{e}^{x^3}\).

1. Démontrer que la fonction \(f\) est monotone et positive sur \([-1 ; 1]\).

2. Démontrer que pour tout \(x \in [-1 ; 1]\), \(f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(1)\). En déduire un encadrement de \(I = \displaystyle\int_{-1}^{1} \mathrm{e}^{x^3} \, \mathrm{d} x\).

3. Démontrer que :

   • \(\forall x \in [-1 ; 0]\), \(f(-1) \leqslant f(x) \leqslant f(0)\)
   • \(\forall x \in [0 ; 1]\), \(f(0) \leqslant f(x) \leqslant f(1)\)

   En déduire un nouvel encadrement de \(I\).

Exercice 11: Valeur moyenne

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(f(x) = \mathrm{e}^{-x}\). Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \(u_n\) la valeur moyenne de la fonction \(f\) sur l'intervalle \([n ; n+1]\).

1. Donner l'expression de \(u_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2. Montrer que : \(\forall n \in \mathbb{N}, \forall x \in [n ; n+1], \mathrm{e}^{-(n+1)} \leqslant \mathrm{e}^{-x} \leqslant \mathrm{e}^{-n}\).

3. En déduire que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.

Calculer une intégrale d'une fonction positive avec une primitive

Exercice 12:

Calculer, à l'aide de primitives, les intégrales suivantes :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^2}{1 + t^3} \, \mathrm{d} t\)

2. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^4 \left(x^5 - 1\right)^2 \, \mathrm{d} x\)

3. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{u^3}{\sqrt{u^4 + 6}} \, \mathrm{d} u\)

4. \(\displaystyle\int_{0}^{1} \mathrm{e}^x \left(\mathrm{e}^x + 9\right)^3 \, \mathrm{d} x\)

Exercice 13: Décomposition en éléments simples

Soit \(f\) la fonction définie sur \([0 ; 5]\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 3x + 2}\).

1. Démontrer que \(f\) est continue et positive sur \([0 ; 5]\).

2. Démontrer qu'il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{a}{x+1} + \dfrac{b}{x+2}\).

3. En déduire \(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 14: Calculs d'aires

Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer l'aire (en unité d'aire) du domaine colorié :

Remarque : \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x - \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x = \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 15: Interprétation de Xcas

1. Interpréter le prompt d'un logiciel de calcul formel:

   

2. Interpréter le résultat graphiquement.

Exercice 16: \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\)

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(f(t) = \mathrm{e}^{-x^2}\). Pour tout \(x \geqslant 0\), on pose \(F(x) = \displaystyle\int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\).

1. La fonction \(F\) est-elle dérivable sur \(\mathbb{R}^+\) ?

2. Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{F(x)}{x}\). (On fera apparaître un taux d'accroissement.)

Exercice 17: Une primitive de la fonction \(\ln\)

Soit \(F\) et \(G\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}^{+*}\) par \(F(x) = \displaystyle\int_{1}^{x} \ln (t) \, \mathrm{d} t\) et \(G(x) = x \ln (x) - x\).

1. Démontrer que \(F\) et \(G\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et calculer leur dérivée.

2. En déduire qu'il existe un réel \(k\) tel que, pour tout \(x > 0\), \(F(x) = G(x) + k\).

3. Calculer \(k\).

4. Calculer \(\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln (t) \, \mathrm{d} t\).

Exercice 18 : Différentes méthodes d'approximation de \(\displaystyle\int_{1}^{2} x^2 \, \mathrm{d} x\)

1. Faire correspondre chaque dessin avec la méthode qu'il représente, parmi la méthode des trapèzes, la méthode des rectangles et la méthode du point milieu.

   \(\quad\quad\)\(\quad\quad\)

2. Rappel :

   

   Compléter le programme ci-dessous écrit en Python, afin qu’il applique la méthode des trapèzes à \(\displaystyle\int_{1}^{2} x^2 \, \mathrm{d} x\).

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3. a. Testez le programme afin de visualiser la méthode des trapèzes dessinée avec 10 trapèzes. b. Modifier le programme pour visualiser la méthode des trapèzes avec 12 trapèzes pour calculer \(\displaystyle\int_{-1}^{0} \left(\dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + 1\right) \, \mathrm{d} x\).

4. Calculer \(\displaystyle\int_{1}^{2} x^2 \, \mathrm{d} x\) et comparer avec l'approximation obtenue.

Intégrale d'une fonction continue de signe quelconque

Exercice 19: Vrai ou faux

1. Si \(f\) est une fonction négative et si \(a < b\), alors l'intégrale de \(f\) entre \(a\) et \(b\) est égale à une aire.

2. L'intégrale d'une fonction négative est un réel négatif.

3. L'intégrale d'une fonction de signe quelconque est une somme d'aires.

4. Si \(f\) est une fonction continue de signe quelconque sur \([a ; b]\) et si \(F\) est une primitive de \(f\), l'égalité \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x = F(b) - F(a)\) est fausse.

Exercice 20: Propriétés de l'intégrale

Soit \(a\) et \(b\) des nombres réels tels que \(a < b\), \(f\) et \(g\) des fonctions continues sur \([a ; b]\). On pose \(I = \displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x\) et \(J = \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x\). Exprimer les intégrales suivantes en fonction de \(I\) et \(J\).

1. \(\displaystyle\int_{b}^{a} f(x) \, \mathrm{d} x\)

2. \(\displaystyle\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d} x\)

3. \(c \in [a ; b]\), \(\displaystyle\int_{b}^{c} g(x) \, \mathrm{d} x - \displaystyle\int_{a}^{c} g(x) \, \mathrm{d} x\)

4. \(\displaystyle\int_{a}^{b} (-3x + \dfrac{2}{3}g(x)) \, \mathrm{d} x\)

Exercice 21: Calculer une intégrale avec une primitive

Calculer, à l'aide de primitives, les intégrales suivantes :

1. \(\displaystyle\int_{-2}^{2} \dfrac{\mathrm{e}^x - 1}{(\mathrm{e}^x - x)^2} \, \mathrm{d} x\)

2. \(\displaystyle\int_{\frac{1}{2}}^{2} \dfrac{1}{x} \ln (x) \, \mathrm{d} x\)

3. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \left(1 - \dfrac{1}{\sqrt{t}}\right) \, \mathrm{d} t\)

Exercice 22: Calculs d'aires

Propriété :

Si \(f\) est une fonction continue et négative sur \([a ; b]\), \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) est l'opposé du nombre réel correspondant à l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe \(C\), l'axe \((Ox)\) et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = b\). On dit parfois que \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) est l'aire algébrique du domaine pour indiquer qu'elle est positive si \(f\) est positive sur \([a ; b]\), et négative si \(f\) est négative sur \([a ; b]\).

Propriété :

Si \(f\) est une fonction continue qui change de signe sur \([a ; b]\), \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) est la différence entre le nombre correspondant à l'aire obtenue lorsque \(f\) est positive et le nombre correspondant à l'aire obtenue lorsque \(f\) est négative.

Dans chacun des cas ci-dessous, déterminer l'aire (en unité d'aire) du domaine colorié :

Remarques :

• Comme on l'a vu précédemment, \((\sin x)' = \cos x\) et \((\cos x)' = -\sin x\).

• En translatant du vecteur \(k \vec{j}\) (avec \(k\) suffisamment grand), les deux courbes, tout devient positif... En utilisant \(\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) + k \, \mathrm{d} x - \displaystyle\int_{a}^{b} g(x) + k \, \mathrm{d} x = \displaystyle\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) \, \mathrm{d} x\), tout devient simple !

Exercice 23: Décomposition en éléments simples

Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R} - (-2)\) par \(f(x) = \dfrac{x^3 + 3x^2 + 2x + 1}{x + 2}\).

1. Déterminer quatre réels \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) tels que, pour tout \(x \neq -2\), \(f(x) = ax^2 + bx + c + \dfrac{d}{x + 2}\).

2. En déduire \(\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x) \, \mathrm{d} x\).

Exercice 24: Un encadrement de \(\ln 2\)

1. Démontrer que pour tout \(x \geqslant 1\), \(\dfrac{1}{x^2} \leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{x}}\).

2. a. En déduire que \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x^2} \, \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{x} \, \mathrm{d} x \leqslant \displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{1}{\sqrt{x}} \, \mathrm{d} x\).

   b. Déterminer un encadrement du réel \(\ln 2\).

Exercice 25: Une approximation de \(\ln 2\) - Algorithme de Brouncker

En 1668, William Brouncker publie le développement en série de \(\ln 2\), résultat qu'il a établi dès 1657 en découpant l'aire sous l'hyperbole en rectangles venant boucher les trous par dichotomie :

\[\ln 2 = \dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{5 \times 6} + \ldots + \dfrac{1}{(2k + 1) \times (2k + 2)} + \ldots\]

En utilisant cette formule, compléter le programme ci-dessous afin d'obtenir une approximation de \(\ln 2\) pour \(k = 100\).

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Exercice 26: Une approximation de \(\ln 2\) - Méthode Monte-Carlo

Exemple pour déterminer une approximation de \(\displaystyle\int_{2}^{4} x^2 \, \mathrm{d} x\).

Cette méthode repose sur la loi des grands nombres.

• On définit un rectangle \(R\) de côtés \([2 ; 3] = [0 ; y_{\max}]\) tel que \(0 \leqslant x^2 \leqslant y_{\max}\) pour tout \(2 \leqslant x \leqslant 3\).

• On choisit alors aléatoirement \(n\) points indépendants, avec une distribution uniforme dans le rectangle \(R\).

1. Déterminer \(y_{\max}\).

2. Quelle est la probabilité pour qu'un de ces \(n\) points soit sous la courbe de la fonction carrée ?

3. Que nous dit la loi des grands nombres ?

4. Le programme ci-dessous écrit en Python permet d'appliquer la méthode de Monte-Carlo pour déterminer une approximation de \(\displaystyle\int_{2}^{4} x^2 \, \mathrm{d} x\) avec \(n = 1000\).

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   a. Testez le programme afin de vérifier qu'on obtient une bonne approximation de \(\dfrac{19}{3}\).

   b. Modifier ce programme pour obtenir une approximation de \(\ln 2\).

Exercice 27: Étude d'une suite

Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), on pose :

\[I_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1 + t^n} \, \mathrm{d} t, \quad J_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{t^n}{1 + t^n} \, \mathrm{d} t, \quad K_n = \displaystyle\int_{0}^{1} \ln (1 + t^n) \, \mathrm{d} t\]

1. a. Calculer \(I_1\).

   b. Démontrer que la suite \((I_n)_{n > 1}\) est croissante et majorée par 1. Que peut-on en déduire ?

2. a. Établir que pour tout \(n > 0\), \(I_n = 1 - J_n\).

   b. Montrer que pour tout \(t \in [0 ; 1]\), \(0 \leqslant \dfrac{t^n}{1 + t^n} \leqslant t^n\).

   c. En déduire que pour tout \(n > 0\), \(0 \leqslant J_n \leqslant \dfrac{1}{n + 1}\).

   d. Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} J_n\), puis \(\lim\limits_{n \to +\infty} I_n\).

3. a. Montrer que pour tout \(n > 0\), la fonction \(F_n\), définie par \(F_n(x) = \dfrac{x}{n} \ln \left(1 + x^n\right)\) est dérivable sur \([0 ; 1]\) et calculer sa dérivée.

   b. En déduire que pour tout \(n > 0\), \(J_n = \dfrac{\ln 2}{n} - \dfrac{1}{n} K_n\).

   c. Étudier les variations et le signe de la fonction \(F\), définie par \(F(x) = \ln (1 + x) - x\) sur \([0 ; 1]\). En déduire que pour tout \(n > 0\), \(0 \leqslant K_n \leqslant \dfrac{1}{n + 1}\), puis calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} K_n\).

   d. Calculer \(\lim\limits_{n \to +\infty} (n (I_n - 1) + \ln 2 )\).

Exercice 28: La constante d'Euler

Pour tout \(n > 0\), on pose \(u_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{i} - \ln n\).

1. Soit \(k \in \mathbb{N}^*\). Démontrer, en encadrant la fonction inverse sur l'intervalle \([k ; k+1]\), que \(\dfrac{1}{k+1} \leqslant \displaystyle\int_{k}^{k+1} \dfrac{1}{t} \, \mathrm{d} t \leqslant \dfrac{1}{k}\). En déduire que \(\dfrac{1}{k+1} \leqslant \ln (k+1) - \ln (k) \leqslant \dfrac{1}{k}\).

2. Démontrer que la suite \((u_n)\) est monotone.

3. Établir, pour tout entier naturel \(n \geqslant 2\), l'égalité :

   \[u_n = \dfrac{1}{n} + \sum_{k=1}^{n-1} \left(\dfrac{1}{k} - \ln (k+1) + \ln (k)\right)\]

4. Déduire des deux questions précédentes que la suite \((u_n)\) est convergente. Sa limite, que l'on ne cherchera pas à déterminer, est appelée la constante d'Euler.

Intégration par parties

Exercice 29: Avec une intégration par parties

Déterminer les intégrales ci-dessous en effectuant une intégration par parties :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, \mathrm{d} x\)

2. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x\)

3. \(\displaystyle\int_{2}^{4} x \ln x \, \mathrm{d} x\)

4. \(\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln x \, \mathrm{d} x\)

5. \(\displaystyle\int_{1}^{\text{e}} \ln^2 x \, \mathrm{d} x\)

Exercice 30: Avec deux intégrations par parties

Déterminer les intégrales ci-dessous en effectuant deux intégrations par parties successives :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} x^2 \cos x \, \mathrm{d} x\)

2. \(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^2 \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x\)

Exercice 31: Avec deux intégrations par parties et en résolvant une équation

1. Déterminer \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} \cos (x) \mathrm{e}^x \, \mathrm{d} x\) en effectuant deux intégrations par parties successives.

2. a. En posant \(u(x) = \sin x\) et \(v'(x) = \sin x\), expliquer le problème de cette méthode pour le calcul de \(\displaystyle\int_{0}^{2\pi} \sin^2 x \, \mathrm{d} x\).

   b. Pour calculer cette intégrale, utiliser la formule de trigonométrie : \(\cos^2 x = \dfrac{1 + \cos 2x}{2}\).