INTÉGRALES

1 - INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

A - Définition

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([ a ; b ]\) et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \((O ; \vec{i} , \vec{j})\).

On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de la fonction \(f\), et on note :

\[\int_a^b f ( t ) dt\]

le réel mesurant l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe \(C\), l'axe \((Ox)\) et les droites d'équations \(x=a\) et \(x= b\).

Remarques

• \(a\) et \(b\) sont appelées les bornes de l'intégrale.
• L'intégrale se lit : "somme de \(a\) à \(b\) de \(f(t)dt\)".
• La variable \(t\) est appelée variable muette.
• On peut écrire :
  \(\(\int_a^b f ( t ) dt = \int_a^b f (u ) du = \int_a^b f ( x ) dx\)\)

Exemples :

• Si \(a=b\), alors : $$ \int_a^b f ( t ) dt = 0$$

• Pour \(k > 0\) : $$ \int_a^b k dt = k (b-a)$$

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B - Relation de Chasles

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur \([ a ; b ]\). Pour tout réel \(c \in [ a ; b ]\), on a :

\[\int_a^b f ( t ) dt = \int_a^c f ( t ) dt + \int_c^b f ( t ) dt\]

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C - Linéarité de l'intégration

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues et positives sur \([ a ; b ]\) et \(\lambda\) un réel, alors :

\[\int_a^b ( f + g ) (t ) dt = \int_a^b f (t ) dt + \int_a^b g ( t ) dt\]

\[\int_a^b (\lambda f ) ( t ) dt = \lambda \int_a^b f ( t ) dt\]

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D - Positivité - Ordre

Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions continues et positives sur \([ a ; b ]\) :

• Si \(f(x) \geq 0\) sur \([ a ; b ]\), alors : $$ \int_a^b f ( x ) dx \geq 0$$
• Si \(f(x) \leq g(x)\) sur \([ a ; b ]\), alors : $$ \int_a^b f ( x ) dx \leq \int_a^b g ( x ) dx$$

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E - Valeur moyenne

La valeur moyenne d'une fonction continue et positive \(f\) sur \([ a ; b ]\) est définie par :

\[\mu = \dfrac{1}{b-a} \int_a^b f ( t ) dt\]

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2 - ÉTUDE DE \(F ( x ) = \int_a^x f ( t ) dt\)

Théorème :
Si \(f\) est continue et positive sur \([ a ; b ]\), alors la fonction \(F(x) = \int_a^x f(t) dt\) est dérivable sur \([ a ; b ]\) et sa dérivée est :

\[F' ( x ) = f ( x )\]

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3 - INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE

Théorème-définition :

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\), alors pour tous \(a, b \in I\) :

\[\int_a^b f ( t ) dt = F (b) - F (a)\]

Remarque :

\[\int_a^b f ( t ) dt + \int_b^a f ( t ) dt = 0\]

\[\int_a^b f ( t ) dt = -\int_b^a f ( t ) dt\]

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4 - INTÉGRATION PAR PARTIES

Théorème :

Si \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([ a ;b ]\), alors :

\[\int_a^b u ( x ) v ' ( x ) dx = \left[ u ( x ) v ( x ) \right]_a^b - \int_a^b u ' ( x ) v ( x ) dx\]

Exemple :

Calculons :

\[\int_0^\pi x \cos ( x ) dx\]

Posons :

• \(u ( x ) = x \Rightarrow u' ( x ) = 1\)

• \(v' ( x ) = \cos ( x ) \Rightarrow v ( x ) = \sin ( x )\)

En appliquant la formule d'intégration par parties :

\[\int_0^\pi x \cos ( x ) dx = \left[ x \sin ( x ) \right]_0^\pi - \int_0^\pi \sin ( x ) dx\]

\[= \left[ x \sin ( x ) + \cos ( x ) \right]_0^\pi = \dfrac{\pi}{2} - 1\]