Intégrales

1 - INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE ET POSITIVE

A - DÉFINITION

Définition

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a ; b]\) et \(C\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal \((O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath})\). On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de la fonction \(f\), et on note \(\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) le réel mesurant l'aire, en unités d'aire, de la partie du plan limitée par la courbe \(C\), l'axe \((O x)\) et les droites d'équations \(x = a\) et \(x = b\), c'est-à-dire l'ensemble des points \(M(x ; y)\) tels que

\[\left\{ \begin{array}{l} a \leqslant x \leqslant b \\ 0 \leqslant y \leqslant f(x) \end{array} \right.\]

Remarques

• On dit que \(a\) et \(b\) sont les bornes de l'intégrale.
• \(\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) se lit : "intégrale ou somme de \(a\) à \(b\) de \(f(t) \, \mathrm{d} t\)".
• La variable \(t\) est appelée variable "muette".

On peut remplacer \(t\) par n'importe quelle autre variable :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t = \int_{a}^{b} f(u) \, \mathrm{d} u = \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x\]

• L'unité d'aire est l'aire du rectangle défini par les vecteurs \(\vec{\imath}\) et \(\vec{\jmath}\).

Si le repère a pour unités graphiques 2 cm sur l'axe \((O x)\) et 3 cm sur l'axe \((O y)\), alors l'unité d'aire est \(6 \, \mathrm{cm}^{2}\).

Exemples :

Pour \(k > 0\), \(\int_{a}^{b} k \, \mathrm{d} t = k(b - a)\). Le domaine \(D\) est un rectangle.

B - RELATION DE CHASLES

Propriété : admise

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a ; b]\). Pour tout réel \(c \in [a ; b]\), on a :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t = \int_{a}^{c} f(t) \, \mathrm{d} t + \int_{c}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\]

La relation de Chasles traduit l'additivité des aires.

C - LINÉARITÉ DE L'INTÉGRATION

Propriétés : admise

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur un intervalle \([a ; b]\) et \(\lambda\) un réel. On a :

• \(\int_{a}^{b} (f + g)(t) \, \mathrm{d} t = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t + \int_{a}^{b} g(t) \, \mathrm{d} t\)
• \(\int_{a}^{b} (\lambda f)(t) \, \mathrm{d} t = \lambda \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\)

D - POSITIVITÉ - ORDRE

Propriétés :

Soit \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur un intervalle \([a ; b]\) :

• Si pour tout \(x\) de \([a ; b]\) on a \(f(x) \geqslant 0\), alors \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \geqslant 0\).
• Si pour tout \(x\) de \([a ; b]\) on a \(f(x) \leqslant g(x)\), alors \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x\).

On traduit la deuxième inégalité, en disant que si \(a \leqslant b\) on peut intégrer l'inégalité \(f \leqslant g\) sur \([a ; b]\).

Preuve: preuve de la deuxième propriété.

Pour tout \(x\) de \([a ; b]\) on a \(f(x) \leqslant g(x)\) donc \(g(x) - f(x) \geqslant 0\).

\(a \leqslant b\), la propriété précédente permet donc d'affirmer que \(\int_{a}^{b} (g(x) - f(x)) \, \mathrm{d} x \geqslant 0\).

Ainsi \(\int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x - \int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \geqslant 0\), c'est-à-dire \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x\).

Remarque

L'inégalité \(\int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} g(x) \, \mathrm{d} x\) s'interprète de façon immédiate avec les aires.

E - VALEUR MOYENNE

Définition

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a ; b]\). Le nombre \(\mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\) est appelé valeur moyenne de \(f\) entre \(a\) et \(b\).

La valeur moyenne \(\mu\) correspond à la hauteur du rectangle de base \((b - a)\) dont l'aire est égale à l'aire définie par \(\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\).

2 - ÉTUDE DE \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\)

Théorème

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \([a ; b]\). La fonction \(F\) définie sur \([a ; b]\) par \(F(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\) est dérivable sur \([a ; b]\) et a pour dérivée \(f\). Plus précisément, \(F\) est l'unique primitive de \(f\) sur \([a ; b]\) s'annulant en \(a\).

Preuve: idée de preuve (Cas où \(f\) est croissante)

Étudions la limite en \(x_{0}\) (où \(x_{0}\) est fixé) de la fonction \(T\) définie pour tout réel \(h \neq 0\) tel que \(x_{0} + h\) est dans \([a ; b]\) par \(T(h) = \dfrac{F(x_{0} + h) - F(x_{0})}{h}\).

Si \(h > 0\), \(F(x_{0} + h) - F(x_{0})\) correspond à l'aire sous la courbe \(C_{f}\) entre \(x_{0}\) et \(x_{0} + h\). (Si \(h < 0\), on raisonne de même avec \(F(x_{0}) - F(x_{0} + h)\).)

Cette aire est comprise entre les aires des rectangles de base \(h\) et de hauteur \(f(x_{0})\) et \(f(x_{0} + h)\). On a alors :

\[h f(x_{0}) \leqslant F(x_{0} + h) - F(x_{0}) \leqslant h f(x_{0} + h)\]

\[\Leftrightarrow f(x_{0}) \leqslant \dfrac{F(x_{0} + h) - F(x_{0})}{h} \leqslant f(x_{0} + h)\]

Grâce au théorème des gendarmes et à la continuité de la fonction \(f\) en \(x_{0}\), on en déduit que :

\[\lim_{h \to 0} T(h) = f(x_{0})\]

Ainsi \(F\) est dérivable en \(x_{0}\) et \(F'(x_{0}) = f(x_{0})\).

L'unicité résulte du fait que \(F(a) = 0\).

Remarque

Ce théorème affirme l'existence de primitives pour toute fonction continue et positive sur un intervalle \(I\).

Propriété

Soit \(f\) une fonction continue et positive sur un intervalle \(I\), alors pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), on a :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t = F(b) - F(a)\]

où \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).

Preuve: exigible

On a vu que \(x \mapsto H(x) = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t\) est l'unique primitive de \(f\) s'annulant en \(a\). Soit \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\), on a donc :

\[F(x) = H(x) + k = \int_{a}^{x} f(t) \, \mathrm{d} t + k \quad \text{avec} \quad k \in \mathbb{R}\]

Donc \(F(a) = \int_{a}^{a} f(t) \, \mathrm{d} t + k = 0 + k = k\) et \(F(b) = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t + k\).

Ainsi \(F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t + k - k = \int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\).

Remarque

On note aussi \(F(b) - F(a) = [F(t)]_{a}^{b}\) qui se lit : " \(F(t)\) pris entre \(a\) et \(b\) ".

Théorème fondamental

Si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle, alors \(f\) admet des primitives sur cet intervalle.

Preuve: idée de preuve (Cas d'un intervalle fermé en admettant que \(f\) a un minimum)

On suppose que \(f\) est définie et continue sur un intervalle \([a ; b]\) et que \(f\) admet un minimum \(m\) sur \([a ; b]\). La fonction \(g : x \mapsto f(x) - m\) est alors continue et positive sur \([a ; b]\). Elle admet donc une primitive \(G\) sur \([a ; b]\).

On définit alors la fonction \(F\) sur \([a ; b]\) par : \(F(x) = G(x) + m x\).

\(F\) est dérivable sur \([a ; b]\) et, pour tout \(x \in [a ; b]\) :

\[F'(x) = G'(x) + m = f(x) - m + m = f(x)\]

Ainsi, \(f\) admet \(F\) pour primitive sur \([a ; b]\).

3 - INTÉGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE DE SIGNE QUELCONQUE

Théorème-définition

Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \(I\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(I\). Alors, pour tous réels \(a\) et \(b\) de \(I\), la différence \(F(b) - F(a)\) ne dépend pas de la primitive \(F\) de \(f\) choisie. On définit l'intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) par :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t = F(b) - F(a)\]

Deux primitives diffèrent d'une constante...

Remarque

La valeur moyenne, et les propriétés déjà vues pour les fonctions continues et positives (linéarité, positivité, relation de Chasles, \(\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t\)) se généralisent aux fonctions continues de signe quelconque.

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t + \int_{b}^{a} f(t) \, \mathrm{d} t = \int_{a}^{a} f(t) \, \mathrm{d} t = 0\]

On en déduit que :

\[\int_{a}^{b} f(t) \, \mathrm{d} t = -\int_{b}^{a} f(t) \, \mathrm{d} t\]

4 - INTÉGRATION PAR PARTIES

Théorème

Soit \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \([a ; b]\) et admettant des dérivées \(u'\) et \(v'\) continues. Alors :

\[\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, \mathrm{d} x = [u(x) v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, \mathrm{d} x\]

Preuve: exigible

On sait que \(u\) et \(v\) sont deux fonctions dérivables sur \([a ; b]\) de dérivées \(u'\) et \(v'\) continues sur \([a ; b]\). On en déduit que \(u' v + u v'\) est continue sur \([a ; b]\). On sait aussi que \((u v)' = u' v + u v'\).

On peut donc dire que \(u v\) est une primitive de \(u' v + u v'\) sur \([a ; b]\). On a alors :

\[\begin{aligned} & \int_{a}^{b} u(x) v'(x) + u'(x) v(x) \, \mathrm{d} x = [u(x) v(x)]_{a}^{b} \\ \Leftrightarrow & \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, \mathrm{d} x - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, \mathrm{d} x = [u(x) v(x)]_{a}^{b} \\ \Leftrightarrow & \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, \mathrm{d} x = [u(x) v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, \mathrm{d} x \end{aligned}\]

Remarque

On applique cette formule lorsqu'on cherche à calculer l'intégrale d'un produit de deux fonctions à condition que \(\int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, \mathrm{d} x\) soit plus facile à calculer que \(\int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, \mathrm{d} x\), ce qui est le cas par exemple dans les situations suivantes :

• Une fonction polynôme \(u\) et une fonction sinus ou cosinus.
• Une fonction polynôme \(u\) et une fonction logarithme.
• Une fonction exponentielle \(u\) et une fonction sinus ou cosinus.
• Une fonction sinus ou cosinus \(u\) et une fonction exponentielle.

Il faut parfois répéter plusieurs fois cette méthode.

Exemple :

Calculer \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) \, \mathrm{d} x\).

On pose \(u(x) = x\) et \(v'(x) = \cos(x)\).

Ce qui donne \(u'(x) = 1\) et \(v(x) = \sin(x)\).

\(u\) et \(v\) sont bien dérivables sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\) et les dérivées \(u'\) et \(v'\) sont bien continues sur \(\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\).

En appliquant la formule d'intégration par parties, on obtient :

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos(x) \, \mathrm{d} x = [x \sin(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \, \mathrm{d} x = [x \sin(x) + \cos(x)]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 1\]