Feuille d'exercices : Transformations de variables aléatoires - Concentration - Loi des grands nombres

Linéarité de l'espérance

Exercice 1 : Appliquer la linéarité

Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(\mathrm{E}(X) = 5\) et \(\mathrm{V}(X) = 1\) et \(Y\) une autre variable aléatoire telle que \(\mathrm{E}(Y) = 0\) et \(\mathrm{V}(Y) = 2\).

Calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires suivantes :

\(\mathrm{Z} = 2 \mathrm{X} - 7\)
\(\mathrm{T} = \mathrm{X} + \mathrm{Y}\)
\(\mathrm{U} = -3 \mathrm{Y}\)
\(\mathrm{W} = \dfrac{3|X-1|}{4}\)

Exercice 2 : Avec la loi binomiale

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n = 6\) et \(p = 0,2\) et \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = 0,1\).

Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire \(\mathrm{X} + \mathrm{Y}\).
Calculer \(\mathrm{E}(\mathrm{X} + \mathrm{Y})\).

Exercice 3 : Avec des variables aléatoires indépendantes

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes. On sait que \(\mathrm{V}(X) = 3\) et \(\mathrm{V}(Y) = 5\). Justifier que l'on peut calculer \(\mathrm{V}(X + Y)\) et donner cette valeur.

Exercice 4 : Lancer de trois dés et moyenne

On lance trois fois un dé équilibré. Pour tout \(i \in \{1, 2, 3\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire donnant la valeur de la face supérieure du dé obtenue au \(i\)-ème lancer.

Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1}\), puis calculer \(\mathrm{E}(X_{1})\) et \(\mathrm{V}(X_{1})\).
On note \(\mathrm{S}_{3} = \mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \mathrm{X}_{3}\).
Quelles sont les valeurs possibles de \(\mathrm{S}_{3}\) ?
Calculer si possible \(\mathrm{E}(S_{3})\) et \(\mathrm{V}(S_{3})\).
On note \(\mathrm{M}_{3} = \dfrac{\mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \mathrm{X}_{3}}{3}\).
Quelles sont les valeurs possibles de \(\mathrm{M}_{3}\) ?
Calculer si possible \(\mathrm{E}(M_{3})\) et \(\mathrm{V}(M_{3})\).

Exercice 5 : Lancer de neuf dés et variable aléatoire de gain

On considère un jeu consistant à lancer 9 fois un dé. À chaque lancer, on gagne 10 euros si on obtient «1» ou «2» et 5 euros sinon. La participation au jeu est 60 euros.

Pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, 9\}\), on note \(\mathrm{X}_{i}\) la variable aléatoire qui prend pour valeurs la somme gagnée au \(i\)-ème lancer. Déterminer pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) la loi de \(\mathrm{X}_{i}\) et calculer \(\mathrm{E}(X_{i})\) et \(\mathrm{V}(X_{i})\).
On note \(G\) la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (il peut être négatif).
Exprimer \(G\) en fonction des variables aléatoires \(\mathrm{X}_{i}\).
Calculer le gain que l'on peut espérer et interpréter le résultat.
Déterminer la variance de \(G\).

Exercice 6 : Variances et indépendance

Quatre boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4, sont placées dans une urne. On tire une boule dans l'urne, on ne la remet pas, puis on tire une deuxième boule. On appelle \(\mathrm{X}_{i}\) pour \(i \in \{1, 2\}\), la variable aléatoire qui associe au \(i\)-ème tirage le numéro de la boule tirée.

Les deux tirages sont-ils indépendants ?
Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1}\).
a) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2}\). b) En déduire \(\mathrm{E}(X_{1} + X_{2})\) et \(\mathrm{V}(X_{1} + X_{2})\).
Déterminer \(\mathrm{E}(X_{1})\), puis en déduire \(\mathrm{E}(X_{2})\).
La loi de \(\mathrm{X}_{2}\) est-elle équirépartie ?
Calculer \(\mathrm{V}(X_{1})\) et \(\mathrm{V}(X_{2})\), puis comparer \(\mathrm{V}(X_{1} + X_{2})\) avec \(\mathrm{V}(X_{1}) + \mathrm{V}(X_{2})\).

Exercice 7 : Produit de variables aléatoires et espérance

Quatre boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4, sont placées dans une urne. On tire une boule dans l'urne, on ne la remet pas, puis on tire une deuxième boule. On appelle \(\mathrm{X}_{i}\) pour \(i \in \{1, 2\}\), la variable aléatoire qui associe au \(i\)-ème tirage le numéro de la boule tirée.

a) Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} \times \mathrm{X}_{2}\) et son espérance. b) A-t-on \(\mathrm{E}(X_{1} \times X_{2}) = \mathrm{E}(X_{1}) \mathrm{E}(X_{2})\) ?
On considère maintenant, qu'avant de tirer la deuxième boule, on remet la première dans le sac. a) Les deux tirages sont-ils indépendants ? b) Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} \times \mathrm{X}_{2}\) et son espérance. c) Comparer \(\mathrm{E}(X_{1} \times X_{2})\) et \(\mathrm{E}(X_{1}) \times \mathrm{E}(X_{2})\).

Inégalités et valeurs absolues

Exercice 8 : Exprimer sous la forme \(\|X - a\| \geqslant \delta\)

Soit \(X\) une variable aléatoire. Exprimer les événements ci-dessous sous la forme \(\|X - a\| \geqslant \delta\).

\((\mathrm{X} - 4 \geqslant 4\) ou \(\mathrm{X} - 4 \leqslant -4)\)
\((\mathrm{X} - a \geqslant 5\) ou \(\mathrm{X} - a \leqslant -5)\)
\((\mathrm{X} \geqslant 4\) ou \(\mathrm{X} < 0)\)
«La distance entre \(X\) et 3 est supérieure ou égale à 1»
\(\|X - 1\|^{2} \geqslant 25\)

Exercice 9 : Avec l'événement contraire

Soit \(X\) une variable aléatoire. Exprimer l'événement contraire à l'aide d'une valeur absolue.

\(|2 \leqslant X \leqslant 6|\)
\(|-1 < X < 7|\)
\(|2 + X > 3 > -2 + X|\)

Concentration - Loi des grands nombres

Exercice 10 : Application directe

Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance 40 et de variance 8.

Donner une majoration de \(\mathrm{P}(\|X - 40\| \geqslant 5)\).
En déduire une minoration de \(\mathrm{P}(35 \leqslant X \leqslant 45)\).
Donner une majoration de la probabilité que \(X\) s'écarte de son espérance d'au moins 10.

Exercice 11 : Écarts de \(X\) à \(\mathbf{E}(X)\) de quelques \(\sigma(X)\)

Soit \(X\) une variable aléatoire. Déterminer une majoration de chaque probabilité suivante :

a. \(\mathrm{P}(\|X - \mathrm{E}(X)\| \geqslant \sigma(X))\) b. \(\mathrm{P}(\|X - \mathrm{E}(X)\| \geqslant 2 \sigma(X))\) c. \(\mathrm{P}(\|X - \mathrm{E}(X)\| \geqslant 3 \sigma(X))\)
Déterminer un entier naturel \(n\) tel que la probabilité que \(X\) s'éloigne de \(\mathrm{E}(X)\) de \(n\) fois son écart type soit inférieure à \(1\%\).
Quel constat peut-on faire ?

Exercice 12 : Trouver un intervalle de fluctuation

Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 50.

Trouver un entier \(\delta > 0\), tel que \(\mathrm{P}(\|X - 10\| \geqslant \delta) \leqslant 0,2\).
En déduire un intervalle de fluctuation au seuil de \(80\%\).
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de \(90\%\).

Exercice 13 : En lançant 6 fois une pièce

On lance 6 fois une pièce équilibrée. Pour tout \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire égale à 1 si on obtient pile au \(i\)-ème lancer et 0 dans le cas contraire. On note \(\mathrm{S}_{6} = \mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \ldots + \mathrm{X}_{6}\).

Justifier que pour tout \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(X_{i}\) suit une loi de Bernoulli, puis calculer \(\mathrm{E}(X_{i})\) et \(\mathrm{V}(X_{i})\).
En déduire \(\mathrm{E}(S_{6})\) et \(\mathrm{V}(S_{6})\).
Comment aurait-on pu retrouver directement ce résultat ? Que représente \(\mathrm{S}_{6}\) ?
Déterminer un majorant de \(\mathrm{P}(\|S_{6} - 5\| \geqslant 2)\), puis interpréter le résultat.
On note \(\mathrm{M}_{0} = \dfrac{\mathrm{S}_{6}}{6}\). a. Que représente \(\mathrm{M}_{0}\) ?

b. Déterminer \(\mathrm{E}(M_{0})\) et \(\mathrm{V}(M_{0})\).

c. Calculer \(\mathrm{P}\left(\|M_{0} - \frac{1}{2}\| \geqslant \dfrac{1}{3}\right)\).

Exercice 14 : En lançant 1000 fois une pièce : déterminer une taille d'échantillon

On lance 1000 fois de suite aléatoirement une pièce non truquée. Montrer que l'événement «la moyenne de FACE est strictement comprise entre 0,45 et 0,55» a une probabilité supérieure à 0,9.
Combien de fois faut-il lancer une pièce non truquée afin d'être certain à \(99\%\) que la moyenne de FACE est comprise entre 0,45 et 0,55 ?

Exercice 15 : Enquête dans une ville : déterminer une taille d'échantillon

Dans une ville de 30000 habitants lors d'une consultation sur la rénovation de la piscine municipale, \(70\%\) des personnes consultées ont émis un avis positif.

On interroge aléatoirement \(n\) (où \(n \in \mathbb{N}'\)) personnes et on note \(\mathrm{X}_{i}\) pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la \(i\)-ème personne interrogée est favorable au projet et 0 dans le cas contraire.

Pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\), donner la loi de \(\mathrm{X}_{i}\), puis son espérance et sa variance.
On note \(\mathrm{M}_{0}\) la moyenne empirique des variables aléatoires \(\mathrm{X}_{i}\), où \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\).

a. Déterminer une taille \(n\) d'échantillon afin d'obtenir pour \(\mathrm{M}_{0}\) une précision de 0,05 et un risque de 0,1.

b. De même, déterminer une taille \(n\) d'échantillon afin d'obtenir pour \(\mathrm{M}_{0}\) une précision de 0,01 et un risque de 0,05. Interpréter ce résultat.

Exercice 16 : Tester un dé : déterminer une taille d'échantillon

On aimerait savoir si un dé à six faces est truqué.

Pour cela, nous allons en particulier nous intéresser à l'apparition du chiffre «1» et on note \(p\) la probabilité d'obtenir «1».

On lance \(n\) (où \(n \in \mathbb{N}'\)) fois le dé et on note \(\mathrm{M}_{0}\) la moyenne empirique d'apparition du chiffre «1» et \(\mathrm{S}_{e}\) le nombre de fois où l'on a obtenu 1 au cours des \(n\) lancers.

Exprimer \(\mathrm{M}_{0}\) en fonction de \(\mathrm{S}_{0}\).
En déduire l'espérance et la variance de \(\mathrm{M}_{0}\).
On suppose que le dé n'est pas truqué.
On lance le dé de l'expérience \(N\) fois et on obtient une moyenne de 0,15. Que peut-on conclure ?

Exercice 17 : 421

Une école organise un jeu pour financer un voyage. Chaque participant doit verser 9 euros pour participer. Le jeu consiste à lancer trois dés non truqués. Si le résultat est un 421, il gagne 99 euros.

Déterminer la probabilité de faire un 421.
On note \(G_{i}\) le gain algébrique du \(i\)-ème participant. Donner la loi de \(\mathrm{G}_{i}\), puis calculer son espérance et sa variance.
On pose \(\mathrm{M}_{n} = \dfrac{\mathrm{G}_{1} + \mathrm{G}_{2} + \ldots + \mathrm{G}_{n}}{n}\).

Soit \(\delta\) un réel strictement positif. Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \mathrm{P}(\|M_{n} - \mathrm{E}(M_{n})\| \geqslant \delta)\).

On note \(\mathrm{X}_{n}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'école après la participation de \(n\) personnes.

a. Exprimer \(\mathrm{X}_{n}\) à l'aide des variables aléatoires \(\mathrm{G}_{i}\).

b. Calculer \(\mathrm{E}(X_{n})\) et \(\mathrm{V}(X_{n})\).

On suppose que 200 personnes vont participer.

Donner une minoration de la probabilité que le gain algébrique de l'association soit strictement compris entre 800 et 1600 euros.

Simulation - Python

Exercice 18 : Simulation d'une marche aléatoire

Une puce se déplace de manière aléatoire sur une droite munie d'un repère \(\langle O ; \vec{i} \rangle\).

Au départ, elle se trouve à l'origine du repère et à chaque étape, elle se déplace aléatoirement, soit d'un saut (+1) vers la droite, soit d'un saut (-1) vers la gauche.

Après \(n\) sauts, on note \(\mathrm{D}_{n}\) le nombre de fois où la puce a effectué un saut vers la droite et \(\mathrm{X}_{n}\) l'abscisse de la puce.

a. Déterminer la loi de \(\mathrm{D}_{n}\).

b. Exprimer l'espérance et la variance de \(\mathrm{D}_{n}\) en fonction de \(n\).

c. Exprimer \(\mathrm{X}_{n}\) en fonction de \(n\) et de \(\mathrm{D}_{n}\).

d. Déterminer l'espérance et la variance de \(\mathrm{X}_{n}\).

a. Compléter la fonction \(\mathrm{X}(n)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle simule la variable aléatoire \(\mathrm{X}_{n}\).
```
from math import *
from random import *

def X(n):
    x = 0
    for i in range(n):
        a = random()
        if a < 0.5:
            x -= 1
        else:
            x += 1
    return x
```
b. Compléter la fonction \(\operatorname{Moy}(n, N)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle renvoie la moyenne de \(\mathrm{X}{n}\) suite à une simulation d'un échantillon de taille \(N\) de \(\mathrm{X}{n}\).
```
def moy(n, N):
    s = 0
    for j in range(N):
        s += X(n)
    return s / N
```
c. Lors d'une simulation de \(K\) échantillons de taille \(N\) de \(\mathrm{X}{n}\), on obtient \(K\) moyennes : \(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{K}\).

Compléter la fonction \(\operatorname{propor}(n, N, K, \delta)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle renvoie la proportion de moyennes supérieures à un réel \(\delta\) donné, suite à une simulation de \(K\) échantillons de taille \(N\) de \(\mathrm{X}_{n}\).
```
def propor(n, N, K, delta):
    m = 0
    for k in range(K):
        if moy(n, N) > delta:
            m += 1
    return m / K
```
a. On exécute 20 fois \(\operatorname{propor}(1000, 100, 1000, 2)\).
```
for i in range(20):
    print(propor(1000, 100, 1000, 2))
```
On obtient :

\(0.05, 0.039, 0.054, 0.05, 0.036, 0.043, 0.04, 0.049, 0.05, 0.036, 0.055, 0.048, 0.045, 0.047, 0.053, 0.04, 0.047, 0.042, 0.057, 0.042\)

Interpréter les résultats obtenus.

b. Dans un échantillon de taille 100, on note \(\mathrm{M}_{100}\) la moyenne des 100 valeurs prises par \(\mathrm{X}_{100}\).

Déterminer l'espérance \(\mathrm{E}(M_{100})\) et l'écart type \(\sigma(M_{100})\) de \(\mathrm{M}_{100}\).

c. Démontrer que pour tout réel \(\delta > 0\), on a \(\mathrm{P}(|M_{100}| > \delta) \leqslant \dfrac{1}{\delta^{2}}\).

En déduire que \(\mathrm{P}(|M_{100}| > 2 \sigma(M_{100})) \leqslant \dfrac{1}{4}\).

d. Interpréter le résultat obtenu.