Feuille d'exercices : Variables aléatoires - Concentration - Loi des grands nombres

Linéarité de l'espérance

Exercice 1 : Appliquer la linéarité

Soit \(X\) une variable aléatoire telle que \(\mathrm{E}(X) = 5\) et \(\mathrm{V}(X) = 1\) et \(Y\) une autre variable aléatoire telle que \(\mathrm{E}(Y) = 0\) et \(\mathrm{V}(Y) = 2\).

Calculer l'espérance et la variance des variables aléatoires suivantes :

\(\mathrm{Z} = 2 \mathrm{X} - 7\)
\(\mathrm{T} = \mathrm{X} + \mathrm{Y}\)
\(\mathrm{U} = -3 \mathrm{Y}\)
\(\mathrm{W} = \dfrac{3(X-1)}{4}\)

Exercice 2 : Avec la loi binomiale

Soit \(X\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n = 6\) et \(p = 0,2\) et \(Y\) une variable aléatoire suivant la loi binomiale de paramètres \(n = 8\) et \(p = 0,1\).

Déterminer les valeurs possibles de la variable aléatoire \(\mathrm{X} + \mathrm{Y}\).
Calculer \(\mathrm{E}(\mathrm{X} + \mathrm{Y})\).

Exercice 3 : Avec des variables aléatoires indépendantes

Soit \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires indépendantes.

On sait que \(\mathrm{V}(X) = 3\) et \(\mathrm{V}(Y) = 5\). Justifier que l'on peut calculer \(\mathrm{V}(X + Y)\) et donner cette valeur.

Exercice 4 : Lancer de trois dés et moyenne

On lance trois fois un dé équilibré. Pour tout \(i \in \{1, 2, 3\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire donnant la valeur de la face supérieure du dé obtenue au \(i\)-ème lancer.

Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1}\), puis calculer \(\mathrm{E}(X_{1})\) et \(\mathrm{V}(X_{1})\).
On note \(\mathrm{S}_{3} = \mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \mathrm{X}_{3}\).
Quelles sont les valeurs possibles de \(\mathrm{S}_{3}\) ?
Calculer si possible \(\mathrm{E}(S_{3})\) et \(\mathrm{V}(S_{3})\).
On note \(\mathrm{M}_{3} = \dfrac{\mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \mathrm{X}_{3}}{3}\).
Quelles sont les valeurs possibles de \(\mathrm{M}_{3}\) ?
Calculer si possible \(\mathrm{E}(M_{3})\) et \(\mathrm{V}(M_{3})\).

Exercice 5 : Lancer de neuf dés et variable aléatoire de gain

On considère un jeu consistant à lancer 9 fois un dé.

À chaque lancer, on gagne 10 euros si on obtient «1» ou «2» et 5 euros sinon.

La participation au jeu est 60 euros.

Pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, 9\}\), on note \(\mathrm{X}_{i}\) la variable aléatoire qui prend pour valeurs la somme gagnée au \(i\)-ème lancer. Déterminer pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, 9\}\) la loi de \(\mathrm{X}_{i}\) et calculer \(\mathrm{E}(X_{i})\) et \(\mathrm{V}(X_{i})\).
On note \(G\) la variable aléatoire correspondant au gain algébrique (il peut être négatif).
Exprimer \(G\) en fonction des variables aléatoires \(\mathrm{X}_{i}\).
Calculer le gain que l'on peut espérer et interpréter le résultat.
Déterminer la variance de \(G\).

Exercice 6 : Variances et indépendance

Quatre boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4, sont placées dans une urne. On tire une boule dans l'urne, on ne la remet pas, puis on tire une deuxième boule. On appelle \(\mathrm{X}_{i}\) pour \(i \in \{1, 2\}\), la variable aléatoire qui associe au \(i\)-ème tirage le numéro de la boule tirée.

Les deux tirages sont-ils indépendants ?
Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1}\).
a) En utilisant un tableau à double entrée, déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2}\). b) En déduire \(\mathrm{E}(X_{1} + X_{2})\) et \(\mathrm{V}(X_{1} + X_{2})\).
Déterminer \(\mathrm{E}(X_{1})\), puis en déduire \(\mathrm{E}(X_{2})\).
La loi de \(\mathrm{X}_{2}\) est-elle équirépartie ?
Calculer \(\mathrm{V}(X_{1})\) et \(\mathrm{V}(X_{2})\), puis comparer \(\mathrm{V}(X_{1} + X_{2})\) avec \(\mathrm{V}(X_{1}) + \mathrm{V}(X_{2})\).

Exercice 7 : Produit de variables aléatoires et espérance

Quatre boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 4, sont placées dans une urne. On tire une boule dans l'urne, on ne la remet pas, puis on tire une deuxième boule. On appelle \(\mathrm{X}_{i}\) pour \(i \in \{1, 2\}\), la variable aléatoire qui associe au \(i\)-ème tirage le numéro de la boule tirée.

a) Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} \times \mathrm{X}_{2}\) et son espérance. b) A-t-on \(\mathrm{E}(X_{1} \times X_{2}) = \mathrm{E}(X_{1}) \mathrm{E}(X_{2})\) ?
On considère maintenant, qu'avant de tirer la deuxième boule, on remet la première dans le sac. a) Les deux tirages sont-ils indépendants ? b) Déterminer la loi de \(\mathrm{X}_{1} \times \mathrm{X}_{2}\) et son espérance. c) Comparer \(\mathrm{E}(X_{1} \times X_{2})\) et \(\mathrm{E}(X_{1}) \times \mathrm{E}(X_{2})\).

Inégalités et valeurs absolues

Exercice 8 : Exprimer sous la forme \(|X - a| \geqslant \delta\)

Soit \(X\) une variable aléatoire. Exprimer les événements ci-dessous sous la forme \(|X - a| \geqslant \delta\).

\((\mathrm{X} - 4 \geqslant 4\) ou \(\mathrm{X} - 4 \leqslant -4)\)
\((\mathrm{X} - a \geqslant 5\) ou \(\mathrm{X} - a \leqslant -5)\)
\((\mathrm{X} \geqslant 4\) ou \(\mathrm{X} < 0)\)
«La distance entre \(X\) et 3 est supérieure ou égale à 1»
\(|X - 1|^{2} \geqslant 25\)

Exercice 9 : Avec l'événement contraire

Soit \(X\) une variable aléatoire. Exprimer l'événement contraire à l'aide d'une valeur absolue.

\(2 \leqslant X \leqslant 6\)
\(-1 < X < 7\)
\(2 + X > 3 > -2 + X\)

Concentration - Loi des grands nombres

Exercice 10 : Application directe

Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance 40 et de variance 8.

Donner une majoration de \(\mathrm{P}(|X - 40| \geqslant 5)\).
En déduire une minoration de \(\mathrm{P}(35 \leqslant X \leqslant 45)\).
Donner une majoration de la probabilité que \(X\) s'écarte de son espérance d'au moins 10.

Exercice 11 : Écarts de \(X\) à \(\mathbf{E}(X)\) de quelques \(\sigma(X)\)

Soit \(X\) une variable aléatoire. Déterminer une majoration de chaque probabilité suivante :

a. \(\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}(X)| \geqslant \sigma(X))\) b. \(\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}(X)| \geqslant 2 \sigma(X))\) c. \(\mathrm{P}(|X - \mathrm{E}(X)| \geqslant 3 \sigma(X))\)
Déterminer un entier naturel \(n\) tel que la probabilité que \(X\) s'éloigne de \(\mathrm{E}(X)\) de \(n\) fois son écart type soit inférieure à \(1\%\).
Quel constat peut-on faire ?

Exercice 12 : Trouver un intervalle de fluctuation

Soit \(X\) une variable aléatoire d'espérance 10 et de variance 50.

Trouver un entier \(\delta > 0\), tel que \(\mathrm{P}(|X - 10| \geqslant \delta) \leqslant 0,2\).
En déduire un intervalle de fluctuation au seuil de \(80\%\).
Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de \(90\%\).

Exercice 13 : En lançant 6 fois une pièce

On lance 6 fois une pièce équilibrée. Pour tout \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), on note \(X_{i}\) la variable aléatoire égale à 1 si on obtient pile au \(i\)-ème lancer et 0 dans le cas contraire. On note \(\mathrm{S}_{6} = \mathrm{X}_{1} + \mathrm{X}_{2} + \ldots + \mathrm{X}_{6}\).

Justifier que pour tout \(i \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\), \(X_{i}\) suit une loi de Bernoulli, puis calculer \(\mathrm{E}(X_{i})\) et \(\mathrm{V}(X_{i})\).
En déduire \(\mathrm{E}(S_{6})\) et \(\mathrm{V}(S_{6})\).
Comment aurait-on pu retrouver directement ce résultat ? Que représente \(\mathrm{S}_{6}\) ?
Déterminer un majorant de \(\mathrm{P}(|S_{6} - 5| \geqslant 2)\), puis interpréter le résultat.
On note \(\mathrm{M}_{6} = \dfrac{\mathrm{S}_{6}}{6}\).

a. Que représente \(\mathrm{M}_{6}\) ?

b. Déterminer \(\mathrm{E}(\mathrm{M}_{6})\) et \(\mathrm{V}(\mathrm{M}_{6})\).

c. Calculer \(\mathrm{P}\left(\left|\mathrm{M}_{6} - \dfrac{1}{2}\right| \geqslant \dfrac{1}{3}\right)\).

Exercice 14 : En lançant 1000 fois une pièce : déterminer une taille d'échantillon

On lance 1000 fois de suite aléatoirement une pièce non truquée. Montrer que l'événement «la moyenne de FACE est strictement comprise entre 0,45 et 0,55» a une probabilité supérieure à 0,9.
Combien de fois faut-il lancer une pièce non truquée afin d'être certain à \(99\%\) que la moyenne de FACE est comprise entre 0,45 et 0,55 ?

Exercice 15 : Enquête dans une ville : déterminer une taille d'échantillon

Dans une ville de 30000 habitants lors d'une consultation sur la rénovation de la piscine municipale, \(70\%\) des personnes consultées ont émis un avis positif.

On interroge aléatoirement \(n\) (où \(n \in \mathbb{N}'\)) personnes et on note \(\mathrm{X}_{i}\) pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\) la variable aléatoire prenant la valeur 1 si la \(i\)-ème personne interrogée est favorable au projet et 0 dans le cas contraire.

Pour tout \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\), donner la loi de \(\mathrm{X}_{i}\), puis son espérance et sa variance.
On note \(\mathrm{M}_{0}\) la moyenne empirique des variables aléatoires \(\mathrm{X}_{i}\), où \(i \in \{1, 2, \ldots, n\}\).

a. Déterminer une taille \(n\) d'échantillon afin d'obtenir pour \(\mathrm{M}_{0}\) une précision de \(0,05\) et un risque de \(0,1\).

b. De même, déterminer une taille \(n\) d'échantillon afin d'obtenir pour \(\mathrm{M}_{0}\) une précision de \(0,01\) et un risque de \(0,05\). Interpréter ce résultat.

Exercice 16 : Tester un dé : déterminer une taille d'échantillon

On aimerait savoir si un dé à six faces est truqué.

Pour cela, nous allons en particulier nous intéresser à l'apparition du chiffre «1» et on note \(p\) la probabilité d'obtenir «1».

On lance \(n\) (où \(n \in \mathbb{N}^*\)) fois le dé et on note \(\mathrm{M}_{n}\) la moyenne empirique d'apparition du chiffre «1» et \(\mathrm{S}_{n}\) le nombre de fois où l'on a obtenu 1 au cours des \(n\) lancers.

Exprimer \(\mathrm{M}_{n}\) en fonction de \(\mathrm{S}_{n}\).
En déduire l'espérance et la variance de \(\mathrm{M}_{n}\).
On suppose que le dé n'est pas truqué.
On lance le dé de l'expérience \(N\) fois et on obtient une moyenne de 0,15. Que peut-on conclure ?

Exercice 17 : 421

Une école organise un jeu pour financer un voyage. Chaque participant doit verser 9 euros pour participer. Le jeu consiste à lancer trois dés non truqués.

Si le résultat est un 421, il gagne 99 euros.

Déterminer la probabilité de faire un 421.
On note \(G_{i}\) le gain algébrique du \(i\)-ème participant. Donner la loi de \(\mathrm{G}_{i}\), puis calculer son espérance et sa variance.
On pose \(\mathrm{M}_{n} = \dfrac{\mathrm{G}_{1} + \mathrm{G}_{2} + \ldots + \mathrm{G}_{n}}{n}\).

Soit \(\delta\) un réel strictement positif. Déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty} \mathrm{P}(|M_{n} - \mathrm{E}(M_{n})| \geqslant \delta)\).
On note \(\mathrm{X}_{n}\) la variable aléatoire égale au gain algébrique de l'école après la participation de \(n\) personnes.

a. Exprimer \(\mathrm{X}_{n}\) à l'aide des variables aléatoires \(\mathrm{G}_{i}\).

b. Calculer \(\mathrm{E}(X_{n})\) et \(\mathrm{V}(X_{n})\).
On suppose que 200 personnes vont participer.

Donner une minoration de la probabilité que le gain algébrique de l'association soit strictement compris entre 800 et 1600 euros.

Simulation - Python

Exercice 18 : Simulation d'une marche aléatoire

Une puce se déplace de manière aléatoire sur une droite munie d'un repère \(\langle O ; \vec{i} \rangle\).

Au départ, elle se trouve à l'origine du repère et à chaque étape, elle se déplace aléatoirement, soit d'un saut (+1) vers la droite, soit d'un saut (-1) vers la gauche.

Après \(n\) sauts, on note \(\mathrm{D}_{n}\) le nombre de fois où la puce a effectué un saut vers la droite et \(\mathrm{X}_{n}\) l'abscisse de la puce.

a. Déterminer la loi de \(\mathrm{D}_{n}\).

b. Exprimer l'espérance et la variance de \(\mathrm{D}_{n}\) en fonction de \(n\).

c. Exprimer \(\mathrm{X}_{n}\) en fonction de \(n\) et de \(\mathrm{D}_{n}\).

d. Déterminer l'espérance et la variance de \(\mathrm{X}_{n}\).
a. Compléter la fonction \(\mathrm{X}(n)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle simule la variable aléatoire \(\mathrm{X}_{n}\).
```
from math import *
from random import *

def X(n):
    x = 
    for i in range(.....):
        a = .....
        if a < .....:
            x = .....
        else:
            x = x+1
    return x
```
b. Compléter la fonction \(\operatorname{Moy}(n, N)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle renvoie la moyenne de \(\mathrm{X}_{n}\) suite à une simulation d'un échantillon de taille \(N\) de \(\mathrm{X}_{n}\).
```
def moy(n, N):
    s = 
    for j in range(.....):
        s = .....
    return .....
```
c. Lors d'une simulation de \(K\) échantillons de taille \(N\) de \(\mathrm{X}_{n}\), on obtient \(K\) moyennes : \(m_{1}, m_{2}, \ldots, m_{K}\).

Compléter la fonction \(\operatorname{propor}(n, N, K, \delta)\) écrite en python ci-dessous, afin qu'elle renvoie la proportion de moyennes supérieures à un réel \(\delta\) donné, suite à une simulation de \(K\) échantillons de taille \(N\) de \(\mathrm{X}_{n}\).
```
def propor(n, N, K, delta):
    m = .....
    for k in range(K):
        if .....:
            m = .....
    return .....
```
a. On exécute 20 fois \(\operatorname{propor}(1000, 100, 1000, 2)\).
```
for i in range(20):
    print(propor(1000, 100, 1000, 2))
```
On obtient :

\(0.05, 0.039, 0.054, 0.05, 0.036, 0.043, 0.04, 0.049, 0.05, 0.036, 0.055, 0.048, 0.045, 0.047, 0.053, 0.04, 0.047, 0.042, 0.057, 0.042\)

Interpréter les résultats obtenus.

b. Dans un échantillon de taille 100, on note \(\mathrm{M}_{100}\) la moyenne des 100 valeurs prises par \(\mathrm{X}_{100}\).

Déterminer l'espérance \(\mathrm{E}(M_{100})\) et l'écart type \(\sigma(M_{100})\) de \(\mathrm{M}_{100}\).

c. Démontrer que pour tout réel \(\delta > 0\), on a \(\mathrm{P}(|M_{100}| > \delta) \leqslant \dfrac{1}{\delta^{2}}\).

En déduire que \(\mathrm{P}(|M_{100}| > 2 \sigma(M_{100})) \leqslant \dfrac{1}{4}\).

d. Interpréter le résultat obtenu.

Vu au baccalauréat

Exercice 19 : Métropole Antilles-Guyane 2024

Les deux parties sont indépendantes.

Un laboratoire fabrique un médicament conditionné sous forme de cachets.

Partie A

Un contrôle de qualité, portant sur la masse des cachets, a montré que 2% des cachets ont une masse non conforme. Ces cachets sont conditionnés par boîtes de 100 choisis au hasard dans la chaîne de production. On admet que la conformité d'un cachet est indépendante de celle des autres.

On note \(N\) la variable aléatoire qui à chaque boîte de \(100\) cachets associe le nombre de cachets non conformes dans cette boîte.

Justifier que la variable aléatoire \(N\) suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Calculer l'espérance de \(N\) et en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
On arrondira les résultats à \(10^{-3}\) près.
1. Calculer la probabilité qu'une boîte contienne exactement trois cachets non conformes.
2. Calculer la probabilité qu'une boîte contienne au moins 95 cachets conformes.
Le directeur du laboratoire veut modifier le nombre de cachets par boîte pour pouvoir affirmer : La probabilité qu'une boîte ne contienne que des cachets conformes est supérieure à 0,5.

Combien de cachets une boîte doit-elle contenir au maximum pour respecter ce critère ? Justifier.

Partie B

On admet que les masses des cachets sont indépendantes les unes des autres. On prélève \(100\) cachets et on note \(M_i\), pour \(i\) entier naturel compris entre 1 et \(100\), la variable aléatoire qui donne la masse en gramme du \(i\)-ème cachet prélevé.

On considère la variable aléatoire \(S\) définie par :

\[S= M_1+ M_2+ \ldots+ M_{100}.\]

On admet que les variables aléatoires \(M_1\), \(M_2\), ..., \(M_{100}\) suivent la même loi de probabilité d'espérance \(\mu = 2\) et d'écart-type \(\sigma\).

Déterminer \(E(S)\) et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
On note \(s\) l'écart type de la variable aléatoire \(S\).

Montrer que : \(s = 10\sigma\).
On souhaite que la masse totale, en gramme, des comprimés contenus dans une boîte soit strictement comprise entre 199 et 201 avec une probabilité au moins égale à \(0,9\).
1. Montrer que cette condition est équivalente à :
  
  \[P \left( \left|S-200 \right| \geqslant 1 \right) \leqslant 0,1.\]
2. En déduire la valeur maximale de \(\sigma\) qui permet, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, d'assurer cette condition.