LES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

1 - RAPPELS

A - VALEURS REMARQUABLES DU SINUS ET DU COSINUS

\(x\) (en degré)	\(0\)	\(30\)	\(45\)	\(60\)	\(90\)
\(x\) (en radian)	\(0\)	\(\dfrac{\pi}6\)	\(\dfrac{\pi}4\)	\(\dfrac{\pi}3\)	\(\dfrac{\pi}2\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\dfrac{1}{2}\)	\(0\)

Sauf contre-indication, dans les exercices l'unité utilisée est le radian.

B - QUELQUES PROPRIÉTÉS DU SINUS ET DU COSINUS

Propriétés

Pour tout réel \(x\), on a :

• \(\forall k \in \mathbb{Z},\quad \cos(x + 2k\pi) = \cos x\quad \text{et}\quad \sin(x + 2k\pi) = \sin x\)
• \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\)
• \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\)
• \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\)

Remarque

On note \(\cos^2(x)=(\cos(x))^2\) et \(\sin^2(x)=(\sin(x))^2\)

2 - DÉFINITION

Définition

• La fonction cosinus, notée \(\cos\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

  \[x \mapsto \cos(x)\]

• La fonction sinus, notée \(\sin\), est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

  \[x \mapsto \sin(x)\]

3 - PARITÉ

On a vu que pour tout réel \(x\),

\[\cos(-x) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(-x) = -\sin x.\]

On en déduit que :

Propriétés

• La fonction \(\cos\) est paire.
• La fonction \(\sin\) est impaire.

Interprétation graphique dans un repère orthogonal :

• La représentation graphique de la fonction \(\cos\) admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.

• La représentation graphique de la fonction \(\sin\) admet l'origine du repère comme centre de symétrie.

4 - PÉRIODICITÉ

On a vu aussi que pour tout réel \(x\),

\[\cos(x + 2\pi) = \cos x \quad \text{et} \quad \sin(x + 2\pi) = \sin x.\]

On dit que :

Propriétés

• Les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques de période \(2\pi\).

Interprétation graphique dans un repère :

Il suffit de représenter ces courbes sur un intervalle d'amplitude \(2\pi\), puis de compléter les courbes en utilisant des translations de vecteurs de la forme \(2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)).

5 - VARIATIONS SUR \([0, \pi]\)

À partir du cercle trigonométrique, on peut déduire les tableaux suivants :

Tableau des variations de \(\cos\) :

Tableau des variations de \(\sin\) :

6 - COURBES REPRÉSENTATIVES

• En établissant un tableau de valeurs, on trace les courbes représentatives des fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sur l'intervalle \([0, \pi]\).

• La fonction \(\cos\) étant paire, on complète la courbe sur \([-\pi, \pi]\) en utilisant la symétrie par rapport à l'axe des abscisses \((Ox)\).

• La fonction \(\sin\) étant impaire, on complète la courbe sur \([-\pi, \pi]\) en utilisant la symétrie de centre (origine \(O\)).

• Étant donné que les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont périodiques de période \(2\pi\), on complète les courbes par translations de vecteurs de la forme \(2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)).

Courbes

• Courbe représentative de la fonction \(\cos\)

  

• Courbe représentative de la fonction \(\sin\)

  

7 - DÉRIVÉES

Propriétés (démontrées en activité)

Les fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on a :

\[\cos'(x) = -\sin x\]

\[\sin'(x) = \cos x\]

Remarques

On retrouve les variations des fonctions \(\sin\) et \(\cos\) sur l'intervalle \([0, \pi]\) en étudiant le signe de leur dérivée :

• Pour tout \(x \in \left[ 0, \dfrac{\pi}2 \right]\) :
  • \(\sin x \geqslant 0\), donc \(\cos'(x) \leqslant 0\).
  • \(\cos x \geqslant 0\), donc \(\sin'(x) \geqslant 0\).
• Pour tout \(x \in \left[\dfrac{\pi}2, \pi\right]\) :
  • \(\cos x \leqslant 0\), donc \(\sin'(x) \leqslant 0\).