Feuille d'exercices sur les Équations différentielles

Équations différentielles du premier ordre homogènes

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

1. \(y' - 3y = 0\)

2. \(y' + 2y = 0\)

3. \(2y' - y = 0\)

Exercice 2 : Avec une condition initiale

Soit l'équation différentielle \((E_0)\) : \(2y' + y = 0\)

1. Résoudre l'équation \((E_0)\).

2. Déterminer la solution de \((E_0)\) vérifiant la condition initiale \(y(0) = 1\).

Équation linéaire du premier ordre avec second membre constant

Exercice 3 : Découverte d'une propriété fondamentale

Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(y' - 2y = 5\)

1. Résoudre l'équation \((E_0)\) : \(y' - 2y = 0\)

2. Trouver une solution particulière de \((E)\) : \(y' - 2y = 5\)

3. Montrer que si \(y_0\) est solution de l'équation homogène associée \((E_0)\) : \(y' - 2y = 0\), alors \(y_0 + y_p\) est solution de \((E)\).

4. Inversement, montrer que, si \(y\) est une autre solution de l'équation \((E)\), alors \(y - y_p\) est solution de l'équation homogène \((E_0)\).

On en déduit la propriété suivante, que nous pouvons généraliser :

Propriété :

Pour trouver TOUTES les solutions de l'équation complète \((E)\), il suffit de trouver les solutions de l'équation homogène associée \((E_0)\) et de leur ajouter UNE solution particulière de l'équation complète.

1. En appliquant cette propriété, résoudre l'équation (E).

Vérifiez que ce résultat correspond bien à la formule donnée dans le cours pour résoudre une équation différentielle du type \(y' = ay + b\).

Exercice 4 : Appliquer la formule du cours

Soit l'équation différentielle \((F)\) : \(3y' - 2y = \ln 2\)

1. En appliquant la formule du cours, résoudre l'équation \((F)\).

2. Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) qui vérifie la condition initiale \(g(0) = 1\).

Équation linéaire du premier ordre avec second membre non constant

On appliquera la propriété déjà montrée sur un exemple :

Propriété :

Pour trouver TOUTES les solutions de l'équation complète (E), il suffit de trouver les solutions de l'équation homogène associée \((E_0)\) et de leur ajouter UNE solution particulière de l'équation complète.

Exercice 5

Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(y' - y = x^2 - x - 1\)

1. Résoudre l'équation différentielle \((E_0)\) : \(y' - y = 0\)

2. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = -x^2 - x\) est une solution de l'équation différentielle \((E)\).

3. En appliquant la propriété ci-dessus, déduire des deux questions précédentes l'ensemble des solutions de \((E)\).

4. Déterminer la solution \(h\) de \((E)\) qui vérifie la condition initiale \(h(0) = 1\).

Exercice 6 : Avec un peu de trigonométrie

On considère l'équation différentielle : \((E) : y' - 3y = \sin x\)

1. Résoudre l'équation sans second membre associé : \((E_0) : y' - 3y = 0\)

2. Déterminer des réels \(a\) et \(b\) de sorte que la fonction \(p\) définie par : \(p(x) = a\cos x + b\sin x\) soit solution de \((E)\).

3. En déduire les solutions de \((E)\).

Vu au bac

Exercice 7 : Amérique du Sud J1 - 2024

On considère l'équation différentielle:

\[(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20\text{e}^{-\frac14 x},\]

d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

1. Déterminer la valeur du réel \(a\) tel que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \(g(x) = ax\text{e}^{-\frac14 x}\) soit une solution particulière de l'équation différentielle \((E)\).

2. On considère l'équation différentielle \(y' +\dfrac14 y = 0\), qu'on note \((E')\), d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

   Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E')\).

3. En déduire les solutions de l'équation différentielle \((E)\).

4. Déterminer la solution \(f\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0) = 8\).

Exercice 8 : Centres Étrangers J1 - 2024

On considère l'équation différentielle

\[\left(E_0\right) :\quad y' = y\]

où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

1. Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle \(\left(E_0\right)\) est la fonction nulle.

2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle \(\left(E_0\right)\).

   On considère l'équation différentielle \(y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)\), notée \((E)\)

   où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

3. La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)\)

   On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

   Démontrer que la fonction \(h\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).

4. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

   Démontrer que : \(f\) est solution de \((E)\) est équivalent à \(f - h\) est solution de \(\left(E_0\right)\) .

5. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).

6. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0) = 0\).

Exercice 9 : Centres Étrangers 12 juin - 2025

Partie A

On considère l'équation différentielle

\[(E_1) :\quad y' + 0{,}48y = \dfrac{1}{250}\]

où \(y\) est une fonction de la variable \(t\) appartenant à l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

1. On considère la fonction constante \(h\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \(h(t) = \dfrac{1}{120}\).

   Montrer que la fonction \(h\) est solution de l'équation différentielle \((E_1)\).

2. Donner la forme générale des solutions de l'équation différentielle \(y' + 0,48y = 0\).

3. En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle \((E_1)\).

Partie B

On s'intéresse à présent à l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu de culture.

À un instant \(t = 0\), on introduit une population initiale de bactéries dans le milieu. On note \(p(t)\) la quantité de bactéries, exprimée en millier d'individus, présente dans le milieu après un temps \(t\), exprimé en heure.

On a donc \(p(0) = 30\).

On admet que la fonction \(p\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) est dérivable, strictement positive sur cet intervalle et qu'elle est solution de l'équation différentielle \((E_2)\) :

\[p' = \dfrac{1}{250}p \times (120 - p)\]

Soit \(y\) la fonction strictement positive sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) telle que, pour tout \(t\) appartenant à l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) , on a \(p(t) = \dfrac{1}{y(t)}\).

1. Montrer que si \(p\) est solution de l'équation différentielle \((E_2)\), alors \(y\) est solution de l'équation différentielle \((E_1)\) : \(y' + 0,48y = \dfrac{1}{250}\).

2. On admet réciproquement que, si \(y\) est une solution strictement positive de l'équation différentielle \((E_1)\), alors \(p = \dfrac 1y\) est solution de l'équation différentielle \((E_2)\).

   Montrer que, pour tout \(t\) appartenant à l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) , on a :

   \[p(t) = \dfrac{120}{1 + Ke^{-0,48t}}~ \text{avec}\: K\: \text{une constante réelle}.\]

3. En utilisant la condition initiale, déterminer la valeur de \(K\).

4. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t \to + \infty} p(t)\). En donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.

5. Déterminer le temps nécessaire pour que la population de bactéries dépasse \(60000\) individus.

   On donnera le résultat sous la forme d'une valeur arrondie exprimée en heures et minutes.