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Feuille d'exercices sur les Équations différentielles

Équations différentielles du premier ordre homogènes

Exercice 1

Résoudre les équations différentielles suivantes :

  1. \(y' - 3y = 0\)

  2. \(y' + 2y = 0\)

  3. \(2y' - y = 0\)

Exercice 2 : Avec une condition initiale

Soit l'équation différentielle \((E_0)\) : \(2y' + y = 0\)

  1. Résoudre l'équation \((E_0)\).

  2. Déterminer la solution de \((E_0)\) vérifiant la condition initiale \(y(0) = 1\).

Équation linéaire du premier ordre avec second membre constant

Exercice 3 : Découverte d'une propriété fondamentale

Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(y' - 2y = 5\)

  1. Résoudre l'équation \((E_0)\) : \(y' - 2y = 0\)

  2. Trouver une solution particulière de \((E)\) : \(y' - 2y = 5\)

  3. Montrer que si \(y_0\) est solution de l'équation homogène associée \((E_0)\) : \(y' - 2y = 0\), alors \(y_0 + y_p\) est solution de \((E)\).

  4. Inversement, montrer que, si \(y\) est une autre solution de l'équation \((E)\), alors \(y - y_p\) est solution de l'équation homogène \((E_0)\).

On en déduit la propriété suivante, que nous pouvons généraliser :

Propriété :

Pour trouver TOUTES les solutions de l'équation complète \((E)\), il suffit de trouver les solutions de l'équation homogène associée \((E_0)\) et de leur ajouter UNE solution particulière de l'équation complète.

  1. En appliquant cette propriété, résoudre l'équation (E).

Vérifiez que ce résultat correspond bien à la formule donnée dans le cours pour résoudre une équation différentielle du type \(y' = ay + b\).

Exercice 4 : Appliquer la formule du cours

Soit l'équation différentielle \((F)\) : \(3y' - 2y = \ln 2\)

  1. En appliquant la formule du cours, résoudre l'équation \((F)\).

  2. Déterminer la solution \(g\) de \((F)\) qui vérifie la condition initiale \(g(0) = 1\).

Équation linéaire du premier ordre avec second membre non constant

On appliquera la propriété déjà montrée sur un exemple :

Propriété :

Pour trouver TOUTES les solutions de l'équation complète (E), il suffit de trouver les solutions de l'équation homogène associée \((E_0)\) et de leur ajouter UNE solution particulière de l'équation complète.

Exercice 5

Soit l'équation différentielle \((E)\) : \(y' - y = x^2 - x - 1\)

  1. Résoudre l'équation différentielle \((E_0)\) : \(y' - y = 0\)

  2. Vérifier que la fonction \(g\) définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(g(x) = -x^2 - x\)

est une solution de l'équation différentielle \((E)\).

  1. En appliquant la propriété ci-dessus, déduire des deux questions précédentes l'ensemble des solutions de \((E)\).

  2. Déterminer la solution \(h\) de \((E)\) qui vérifie la condition initiale \(h(0) = 1\).

Exercice 6 : Avec un peu de trigonométrie

On considère l'équation différentielle : \((E) : y' - 3y = \sin x\)

  1. Résoudre l'équation sans second membre associé : \((E_0) : y' - 3y = 0\)

  2. Déterminer des réels \(a\) et \(b\) de sorte que la fonction \(p\) définie par : \(p(x) = a\cos x + b\sin x\) soit solution de \((E)\).

  3. En déduire les solutions de \((E)\).

Vu au bac

Exercice 7 : Amérique du Sud J1 - 2024

On considère l'équation différentielle:

\[(E) : \quad y' +\dfrac14y = 20\text{e}^{-\frac14 x},\]

d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

  1. Déterminer la valeur du réel \(a\) tel que la fonction \(g\) définie sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\) par \(g(x) = ax\text{e}^{-\frac14 x}\) soit une solution particulière de l'équation différentielle \((E)\).

  2. On considère l'équation différentielle \(y' +\dfrac14 y = 0\), qu'on note \((E')\), d'inconnue \(y\), fonction définie et dérivable sur l'intervalle \([0~;~ +\infty[\).

Déterminer les solutions de l'équation différentielle \((E')\).

  1. En déduire les solutions de l'équation différentielle \((E)\).

  2. Déterminer la solution \(f\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(f(0) = 8\).

Exercice 8 : Centres Étrangers J1 - 2024

On considère l'équation différentielle

\[\left(E_0\right) :\quad y' = y\]

où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

  1. Démontrer que l'unique fonction constante solution de l'équation différentielle \(\left(E_0\right)\) est la fonction nulle.

  2. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle \(\left(E_0\right)\).

On considère l'équation différentielle \(y' = y - \cos (x) - 3\sin (x)\), notée \((E)\)

où \(y\) est une fonction dérivable de la variable réelle \(x\).

  1. La fonction \(h\) est définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = 2 \cos (x) + \sin (x)\)

On admet qu'elle est dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Démontrer que la fonction \(h\) est solution de l'équation différentielle \((E)\).

  1. On considère une fonction \(f\) définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\).

Démontrer que : \(f\) est solution de \((E)\) est équivalent à \(f - h\) est solution de \(\left(E_0\right)\) .

  1. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle \((E)\).

  2. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0) = 0\).