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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES - PRIMITIVES

1 - LA NOTION D'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE

Définitions

  • Une équation différentielle est une équation où l'inconnue est une fonction \(f\).
  • L'inconnue est souvent notée \(y\) et les dérivées successives sont notées \(y'\), \(y''\), ...
  • Une équation du premier ordre est une équation qui ne contient que la fonction et au moins sa fonction dérivée.
  • Une équation du second ordre est une équation qui ne contient que la fonction, sa fonction dérivée et au moins sa dérivée seconde.
  • Quand une équation est de la forme \(y + ay + by'' + \dots = 0\) avec \(a,b,... \in \mathbb{R}\), on dit qu'elle est linéaire.

Exemple :

Si on monte en série une diode, une bobine et une résistance, l'équation différentielle qui caractérise l'intensité est \(i' + \dfrac{R}{L} i = 0\).

2 - PRIMITIVES

A - DÉFINITION

Définition

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Une primitive de \(f\) sur \(I\) est une fonction \(F\) dérivable sur \(I\), telle que pour tout \(x\) dans \(I\), \(F'(x) = f(x)\).

Une fonction est souvent notée par une lettre minuscule et l'usage est de noter une primitive (si elle existe) par la majuscule associée.

Remarques

  • Voilà donc un exemple d'équation différentielle : on cherche une fonction \(y\) telle que \(y' = f\).
  • La recherche d'une primitive est l'opération inverse de la dérivation.
  • De nombreuses fonctions n'admettent pas de primitives.
  • On admet ici, mais nous le démontrerons dans le chapitre sur les intégrales, que toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

B - LIEN ENTRE DEUX PRIMITIVES

Propriétés

Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).

Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors \(f\) admet une infinité de primitives.

Toute autre primitive de \(f\) sur \(I\) est définie par \(G(x) = F(x) + k \quad \text{où} \quad k \in \mathbb{R}\).

On dit que deux primitives d'une fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante.

Preuve :

  • \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). La fonction \(G\) est aussi dérivable sur \(I\) avec \(G' = F' = f\). Donc \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(I\).

  • Inversement, si \(G\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) alors \(G' = f = F'\) d'où \(G' - F' = 0\).

La dérivée de \(G - F\) est nulle sur l'intervalle \(I\) donc \(G - F\) est constante sur \(I\). Il existe donc un réel \(k\) tel que pour tout \(x\) de \(I\), \(G(x) - F(x) = k,\) d'où le résultat.

Propriétés

Soit \(f\) une fonction admettant des primitives sur \(I\).

Pour tout couple de réels \((x_0; y_0)\) où \(x_0\) est un réel donné dans \(I\) et \(y_0\) est un réel quelconque, il existe une unique primitive \(F_0\) de \(f\) sur \(I\) telle que \(F_0(x_0) = y_0\).

Preuve:

\(F_0(x_0) = y_0 \iff F(x_0) + k = y_0 \iff k = y_0 - F(x_0).\)

Donc l'unique primitive \(F_0\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant \(F_0(x_0) = y_0\) est définie par \(F_0(x) = F(x) + y_0 - F(x_0).\)

Remarque

Les courbes représentatives des primitives de \(f\) se déduisent donc l'une de l'autre par des translations (de vecteur constant).

Une seule d'entre elles passe par le point \(M_0\) de coordonnées \((x_0, y_0)\).

C - CALCULS DE PRIMITIVES

Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants :

  • Si \(F\) et \(G\) sont des primitives des fonctions \(f\) et \(g\) sur un intervalle \(I\), alors \(F + G\) est une primitive de \(f + g\) sur \(I\).
  • Si \(F\) est une primitive de la fonction \(f\) sur un intervalle \(I\) et \(\lambda\) un réel, alors \(\lambda F\) est une primitive de \(\lambda f\) sur \(I\).

Par ailleurs, les résultats connus sur les dérivées des fonctions usuelles donnent par « lecture inverse » les primitives.

Tableau de primitives :

Fonction \(f(x)\) Primitive \(F(x)\) Intervalle
\(a\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)) \(ax + k\) \(\mathbb{R}\)
\(x^n\) (avec \(n \in \mathbb{N}^*\)) \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + k\) \(\mathbb{R}\)
\(\dfrac{1}{x}\) \(\ln(x) + k\) \(\mathbb{R}^+\)
\(\dfrac{1}{x^n}\) (avec \(n \in \mathbb{N}^* - \{1\}\)) \(-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}} + k\) \(\mathbb{R}^-\) ou \(\mathbb{R}^+\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) \(2\sqrt{x} + k\) \(\mathbb{R}^+\)
\(\cos(x)\) \(\sin(x) + k\) \(\mathbb{R}\)
\(\sin(x)\) \(-\cos(x) + k\) \(\mathbb{R}\)
\(e^x\) \(e^x + k\) \(\mathbb{R}\)

On retiendra aussi le tableau suivant pour une fonction \(u\) dérivable sur un intervalle \(I\) :

  • \(u'(x) e^{u(x)}\) admet pour primitive \(e^{u(x)} + k\), où \(k \in \mathbb{R}\).
  • \(u'(x) u(x)^n\) (avec \(n \in \mathbb{Z}\) et \(n \neq -1\)) admet pour primitive \(\dfrac{u(x)^{n+1}}{n+1} + k\), où \(k \in \mathbb{R}\).
  • \(u'(x) \sqrt{u(x)}\) (avec \(u(x) > 0\)) admet pour primitive \(2\sqrt{u(x)} + k\), où \(k \in \mathbb{R}\).
  • \(\dfrac{u'(x)}{u(x)}\) (avec \(u(x) > 0\)) admet pour primitive \(\ln(u(x)) + k\), où \(k \in \mathbb{R}\).

3 - ÉQUATION LINÉAIRE DU PREMIER ORDRE

Une équation linéaire du premier ordre homogène est une équation linéaire de la forme \(y' + ay = 0 \quad (a \in \mathbb{R})\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation différentielle \(y' + ay = 0\) d'inconnue la fonction \(y\) revient à trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que pour tout réel \(x\), \(f'(x) + af(x) = 0\).

Les fonctions considérées seront toujours définies sur \(\mathbb{R}\).

Propriété : Équation linéaire du premier ordre homogène

Les solutions de l'équation \(y' + ay = 0 \quad (a \in \mathbb{R})\) sont les fonctions de la forme \(y(x) = k e^{-ax}\) où \(k \in \mathbb{R}\).

On démontre facilement que la somme de deux solutions et le produit d'une solution par une constante sont encore solutions.

Exemple :

Déterminer les solutions de l'équation \(y' + 5y = 0\).

Les solutions sont de la forme \(y(x) = k e^{-5x} \quad (k \in \mathbb{R})\).

Remarques

L'équation \(y' + 5y = 0\) peut aussi se noter \(f'(x) + 5f(x) = 0\) ou encore \(\dfrac{dy}{dx} + 5y(x) = 0\).

Avec GeoGebra, on a représenté les solutions pour différentes valeurs de \(k\) (par exemple \(k=10\), \(k=9\), ...).

L'équation admet une infinité de solutions, autant que de valeurs différentes de \(k\).

On peut observer qu'il n'y a qu'une seule courbe telle que \(f(0) = 1\).

Propriété : Solution vérifiant une condition initiale donnée

Pour tout couple de réels \((x_0; y_0)\), l'équation \(y' + ay = 0\) (avec \(a \in \mathbb{R}\)) admet une solution unique telle que \(f(x_0) = y_0\).

Exemple :

Déterminer la solution de l'équation \(y' + 5y = 0\) telle que \(f(0) = 5\).

On résout \(k e^{-5 \times 0} = 5\) ce qui donne \(k = 5\).

L'unique solution est donc \(f(x) = 5 e^{-5x}\).

Propriété : Équation linéaire du premier ordre avec second membre constant (preuve en exercice)

Les solutions de l'équation \(y' + ay = b \quad (a \in \mathbb{R}^*,\, b \in \mathbb{R})\) sont les fonctions de la forme \(y(x) = k e^{-ax} + \dfrac{b}{a} \quad (k \in \mathbb{R})\).

Exemple :

Déterminer les solutions de l'équation \(y' + 5y = 3\).

Les solutions sont \(y(x) = k e^{-5x} + \dfrac{3}{5} \quad (k \in \mathbb{R})\).

On observe, avec GeoGebra, que l'équation admet une infinité de solutions (selon la valeur de \(k\)).

On peut également noter qu'il n'y a qu'une seule courbe vérifiant une condition initiale donnée, par exemple \(f(0) = -0.4\).

Propriété : Solution vérifiant une condition initiale donnée

Pour tout couple de réels \((x_0; y_0)\), l'équation \(y' + ay = b \quad (a \in \mathbb{R}^*,\, b \in \mathbb{R})\) admet une solution unique telle que \(f(x_0) = y_0\).

Exemple :

Déterminer la solution de l'équation \(y' + 5y = 3\) telle que \(f(0) = 1\).

On résout \(k e^{-5 \times 0} + \dfrac{3}{5} = 1\) ce qui donne \(k = \dfrac{2}{5} = 0.4\).

L'unique solution est donc \(f(x) = 0.4 e^{-5x} + \dfrac{3}{5}\).

4 - UN AUTRE EXEMPLE : ÉQUATION LINÉAIRE DU SECOND ORDRE (non exigible)

On considère uniquement les équations linéaires homogènes du second ordre du type \(y'' + \lambda^2 y = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R}^*)\).

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(y'' + \lambda^2 y = 0\) revient à trouver toutes les fonctions \(f\) dérivables sur \(\mathbb{R}\) telles que pour tout \(x\), \(f''(x) + \lambda^2 f(x) = 0\).

Remarque

Dans un circuit RC en électricité, l'écriture entre la tension et l'intensité conduit à une équation du type \(U''(t) + \dfrac{1}{RC} U(t) = 0\).

Propriété : Un exemple d'équation linéaire du second ordre homogène

Les solutions de l'équation \(y'' + \lambda^2 y = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R}^*)\) sont les fonctions de la forme \(y(x) = k_1 \cos(\omega x) + k_2 \sin(\omega x) \quad (k_1,\, k_2 \in \mathbb{R})\).

Exemple :

Déterminer les solutions de l'équation \(y'' + 25y = 0\).

Les solutions sont de la forme \(y(x) = k_1 \cos(5x) + k_2 \sin(5x) \quad (k_1,\, k_2 \in \mathbb{R})\).

On a admis que ces fonctions sont les seules solutions possibles.

Il est facile de vérifier que pour tout \(x\) :

  • \(f(x) = k_1 \cos(5x) + k_2 \sin(5x)\)

  • \(f'(x) = -5k_1 \sin(5x) + 5k_2 \cos(5x)\)

  • \(f''(x) = -25k_1 \cos(5x) - 25k_2 \sin(5x)\)

On vérifie que \(f''(x) + 25f(x) = -25k_1 \cos(5x) - 25k_2 \sin(5x) + 25(k_1 \cos(5x) + k_2 \sin(5x)) = 0\).

Remarque

L'équation \(y'' + 25y = 0\) peut aussi se noter \(f''(x) + 25f(x) = 0 \quad \text{ou} \quad \dfrac{d^2y}{dx^2} + 25y(x) = 0\).

Avec GeoGebra, on a représenté les solutions pour différentes valeurs de \(k_1\) et \(k_2\).

L'équation admet une infinité de solutions, autant que de valeurs différentes de \(k_1\) et \(k_2\).

Contrairement à une équation linéaire du premier ordre, on peut observer qu'il y a une infinité de courbes telles que \(f(0) = -1\).

On peut aussi observer qu'il n'existe qu'une seule fonction vérifiant \(f(0) = -1\) et \(f'(0) = 1\).

Propriété : Solution vérifiant des conditions initiales données

Pour tous réels \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\), l'équation \(y'' + \lambda^2 y = 0 \quad (\lambda \in \mathbb{R}^*)\) admet une solution unique telle que \(f(x_0) = y_0 \quad \text{et} \quad f'(x_0) = z_0\).

Remarque

Dans les problèmes liés à une expérience physique, les conditions imposées (par exemple la position et la vitesse à l'instant \(t = 0\)) servent généralement à déterminer la solution.

Autre écriture des solutions :

Les représentations précédentes sont périodiques et ont une forme sinusoïdale.

On peut donc écrire une solution sous la forme \(x \mapsto A \sin(\lambda x + \varphi),\) où \(\varphi\) est appelé le déphasage.

La transformation entre cette écriture et celle en cosinus/sinus est admise et est souvent utilisée dans les problèmes de physique.