Aller au contenu

Feuille d'exercices sur le dénombrement

Principe additif

Exercice 1 : Livres de mathématiques

  1. Amine a dans sa bibliothèque 50 livres de mathématiques en français et 40 livres de mathématiques en anglais (et aucun dans une autre langue).

    Combien de livres de mathématiques Amine peut-il choisir ?

  2. Zineb possède 30 livres de mathématiques en français.

    Déterminer le nombre \(n\) de livres de mathématiques français qui peuvent être consultés dans les deux bibliothèques.

Exercice 2 : Nombre de triangles

Produit cartésien - principe multiplicatif

Exercice 3 : Nombre de menus

Combien de menus différents peut-on composer si on a le choix entre 3 entrées, 2 plats et 4 desserts ?

Exercice 4 : Garde robe

Une femme a dans sa garde-robe 5 jupes, 6 chemisiers et 3 vestes.

Elle choisit au hasard une jupe, un chemisier et une veste.

Combien de tenues différentes peut-elle composer ?

Exercice 5 : Poignées de main

Deux équipes de foot de 14 et 16 joueurs échangent une poignée de main à la fin d'un match : chaque joueur d'une équipe serre la main de chaque joueur de l'autre équipe.

Combien de poignées de main ont été échangées ?

k-uplet

Exercice 6 : QCM

Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend 20 questions.

Pour chaque question, on propose 3 réponses possibles.

De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ?

Exercice 7 : Système binaire et octet

En informatique, on utilise le système binaire pour coder les caractères. Un bit est un élément qui prend la valeur 0 ou la valeur 1.

Avec 8 chiffres binaires (un octet), combien de caractères peut-on coder ?

Exercice 8 : Numéros de téléphone

  1. Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ?

  2. Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas les chiffres 0 et 1 ?

Arrangements

Exercice 9 : Podium

À l'occasion d'une compétition sportive groupant 12 athlètes, on attribue une médaille d'or, une d'argent, une de bronze.

Combien y-a-t-il de podiums possibles ?

Exercice 10 : Pièces bonnes ou mauvaise - évènement contraire

Dans un lot de 20 pièces fabriquées, 4 sont mauvaises.

On prélève quatre pièces de manière successive.

De combien de façon différentes peut-on en prélever 4 pièces dans les cas suivants :

  1. les 4 pièces sont bonnes.

  2. Une au moins d'entre elles est mauvaise.

Exercice 11 : L'ensemble des nombres de 4 chiffres - évènement contraire

Soit \(Q\) l'ensemble des nombres de quatre chiffres, le premier étant non nul.

  1. Calculer le nombre d'éléments de \(Q\).

  2. Dénombrer les éléments de \(Q\) :

    a. composés de quatre chiffres distincts

    b. composés d'au moins deux chiffres identiques

    c. composés de quatre chiffres distincts autres que 3 et 9

Exercice 12 : Code d'entrée d'un immeuble - évènement contraire

Le code d'entrée d'un immeuble est constitué d'une lettre suivie d'un nombre de 3 chiffres distincts ou non.

  1. Combien de codes différents peut-on former ?

  2. Combien y a-t-il de codes sans le chiffre 0 ?

  3. Combien y a-t-il de codes comportant au moins une fois le chiffre 0 ?

  4. Combien y a-t-il de codes comportant des chiffres distincts ?

  5. Combien y a-t-il de codes comportant au moins deux chiffres identiques ?

Permutations et anagrammes

Exercice 13 : Liste de passage

Dans une classe de terminale de 24 élèves, chaque élève doit être interrogé individuellement par le professeur de mathématiques.

Il faut établir une liste de passage.

Combien y a-t-il de manières de constituer cette liste ?

Définition : un anagramme est un mot formé en changeant de place les lettres d'un autre mot. (Une anagramme de gare est rage.)

Exercice 14 : Anagrammes de «LOGARITHME»

Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot LOGARITHME ?

Exercice 15 : Anagrammes de « MATRICE »

  1. Dénombrer les anagrammes du mot MATRICE

  2. Dans chacun des cas suivants, dénombrer les anagrammes du mot MATRICE :

    a. commençant et finissant par une consonne

    b. commençant et finissant par une voyelle

    c. commençant par une consonne et finissant par une voyelle

    d. commençant par une voyelle et finissant par une consonne

Exercice 16 : Anagrammes

  1. Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot COMPLEXE ?

  2. Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot MATHEMATIQUES ?

  3. Combien y-a-t-il d'anagrammes du mot ANAGRAMME ?

Combinaisons

Exercice 17 : Groupe de 3

Les élèves de Terminale (il y a 27 élèves dans la classe) doivent écrire un programme en Python par groupe de 3.

De combien de manières peut-on former ces groupes ?

Exercice 18 : Loto

Au loto, il y a 49 numéros. Une grille de loto est composée de 6 de ces numéros. Quel est le nombre de grilles différentes ?

Exercice 19 : Tournoi sportif

Un tournoi sportif compte 10 équipes.

Chaque équipe doit rencontrer toutes les autres une seule fois.

Combien doit-on organiser de matchs ?

Exercice 20 : Chats et chiens

De combien de façons différentes peut-on choisir 4 chiens et 3 chats parmi 12 chiens et 7 chats ?

Exercice 21: Délégués de classe

Dans une classe de 30 élèves, on compte 17 garçons et 13 filles.

On procède à l'élection des délégués de classe.

  1. Quel est le nombre de choix possibles ?

  2. Quel est le nombre de choix si l'on impose un garçon et une fille ?

  3. Quel est le nombre de choix si l'on impose 2 garçons ?

Exercice 22 : Club de procrastination

Camille et Alexandre font partie d'un club de procrastination de 20 membres.

On doit former un groupe constitué de cinq d'entre elles pour représenter le club à une conférence.

  1. Combien de groupes de 5 membres peut-on constituer ?

  2. Dans combien de ces groupes peut figurer Camille ?

  3. Camille et Alexandre ne pouvant se supporter, combien de groupes de 5 membres peut-on constituer de telle façon que Camille et Alexandre ne se retrouvent pas ensemble ?

Exercice 23 : Fort en programmation

Dans une classe de terminale , on compte 12 élèves très forts en Python parmi les 30 élèves de la classe.

Pour un devoir en groupe à faire sur ordinateur, le professeur décide de faire des groupes de 4 élèves.

  1. Quel est le nombre de groupes différents possibles ?

  2. Quel est le nombre de groupes ne contenant aucun élève très fort en Python ?

  3. Quel est le nombre d'échantillons contenant au moins un élève très fort en Python ?

Exercice 24 : Groupe d'extraterrestres

On constitue un groupe de 7 extraterrestres choisis parmi 25 martiens et 32 saturniens.

  1. De combien de façons peut-on constituer ce groupe de 7 extraterrestres ?

  2. Dans chacun des cas suivants, de combien de façons peut-on constituer ce groupe avec :

    a. uniquement des martiens

    b. des extraterrestres de la même planète

    c. au moins un martien et au moins un saturnien

Dénombrements divers

Exercice 25 : Poker

On tire simultanément \(5\) cartes d'un jeu de \(32\).

Cet ensemble de \(5\) cartes est appelé une "main"

  1. Combien y a-t-il de mains différentes possibles ?

  2. Dénombrer les mains de 5 cartes contenant :

    a. un carré

    b. deux paires distinctes

    c. un full (trois cartes de même valeur, et deux autres de même valeurs. Exemple : 3 rois et 2 as)

    d. un brelan (trois cartes de même valeur, sans full ni carré)

    e. une quinte (5 cartes de même couleur, se suivant dans l'ordre croissant)

Exercice 26 : Au cinéma

Quatre garçons et deux filles s'assoient dans une rangée de 6 places au cinéma.

  1. Quel est le nombre de dispositions possibles ?

  2. Quel est le nombre de dispositions possibles si les garçons sont d'un côté et les filles de l'autre ?

  3. Quel est le nombre de dispositions possibles si chaque fille est intercalée entre deux garçons ?

  4. Quel est le nombre de dispositions possibles si les filles veulent rester l'une à côté de l'autre ?

Exercice 27 : Dans une urne : tirages successifs et simultanés

Une urne contient 5 boules vertes (numérotés de 1 à 5) et 4 boules jaunes (numérotés de 1 à 4).

  1. On tire successivement et au hasard 3 boules de l'urne, sans remettre la boule tirée. Calculer les probabilités des événements :

    a. A : «tirer 3 boules vertes»

    b. B : «ne tirer aucune boule verte »

    c. C : «tirer au plus 2 boules vertes»

    d. D : «tirer exactement 1 boule jaune»

  2. On tire maintenant simultanément et au hasard 3 boules de l'urne.

    Reprendre alors les questions a., b., c. et d.

    Remarque :

    On retrouve les mêmes résultats dans les deux parties.

    En effet, tirer successivement sans remise 3 boules ou les tirer simultanément revient au même d'un point de vue probabilité.

    Que l'on traite un tirage comme un arrangement ou une combinaison, les questions 1. et 2. fournissent le même résultat si on a conservé le même mode de comptage.

Exercice 28 : Triangle de Pascal

  1. On considère le programme ci-dessous écrit en Python :

    pa=[1,2,1]
na=pa+[1]
print(na)

    Que fait ce programme ?

  2. On aimerait obtenir la ligne na=[1,3,3,1] du triangle de Pascal.

    On constate que pour na[0] et na[3], il n'y a rien à faire.

    Comment obtenir na[1] et na[2] à partir de la liste pa ?

  3. Compléter le programme ci- dessous qui permet de générer le triangle de Pascal :

    def Pascal(n):
pa=[1]
for k in range(n):
    na=...
    for i in range (...):
        ...
    pa=na
return(pa)

n=int(input("n="))
for i in range(...):
    print(...)

  4. Tester ce programme pour \(n=10\)

Vu au baccalauréat

Exercice 29

Un sac opaque contient huit jetons numérotés de 1 à 8, indiscernables au toucher.

À trois reprises, un joueur pioche un jeton dans ce sac, note son numéro, puis le remet dans le sac.

Dans ce contexte, on appelle tirage la liste ordonnée des trois numéros obtenus.

Par exemple, si le joueur pioche le jeton numéro 4, puis le jeton numéro 5, puis le jeton numéro 1, alors le tirage correspondant est \((4 ; 5 ; 1)\).

  1. Déterminer le nombre de tirages possibles.

  2. a. Déterminer le nombre de tirages sans répétition de numéro.

    b. En déduire le nombre de tirages contenant au moins une répétition de numéro.

    On note \(X_1\) la variable aléatoire égale au numéro du premier jeton pioché, \(X_2\) celle égale au numéro du deuxième jeton pioché et \(X_3\) celle égale au numéro du troisième jeton pioché.

    Puisqu'il s'agit d'un tirage avec remise, les variables aléatoires \(X_1, X_2\), et \(X_3\) sont indépendantes et suivent la même loi de probabilité.

  3. Établir la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X_1\)

  4. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(X_1\)

    On note \(S = X_1 + X_2 + X_3\) la variable aléatoire égale à la somme des numéros des trois jetons piochés.

  5. Déterminer l'espérance de la variable aléatoire \(S\).

  6. Déterminer \(P(S = 24)\).

  7. Si un joueur obtient une somme supérieure ou égale à \(22\), alors il gagne un lot.

    a. Justifier qu'il existe exactement \(10\) tirages permettant de gagner un lot.

    b. En déduire la probabilité de gagner un lot.

Exercice 30

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.

  1. Une urne contient cinquante boules numérotées de 1 à 50. On tire successivement trois boules dans cette urne, sans remise.

    On appelle tirage la liste non ordonnée des numéros des trois boules tirées.

    Quel est le nombre de tirages possibles, sans tenir compte de l'ordre des numéros ?

    a. \(50^{3}\)

    b. \(1 \times 2 \times 3\)

    c. \(50 \times 49 \times 48\)

    d. \(\dfrac{50 \times 49 \times 48}{1 \times 2 \times 3}\)

  2. On effectue dix lancers d'une pièce de monnaie. Le résultat d'un lancer est pile ou face. On considère la liste ordonnée des dix résultats.

    Quel est le nombre de listes ordonnées possibles?

    a. \(2 \times 10\)

    b. \(2^{10}\)

    c. \(1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10\)

    d. \(\dfrac{1 \times 2 \times 3 \times \cdots \times 10}{1 \times 2}\)

  3. On effectue \(n\) lancers d'une pièce de monnaie équilibrée. Le résultat d'un lancer est pile ou face. On considère la liste ordonnée des \(n\) résultats.

    Quelle est la probabilité d'obtenir au plus deux fois pile dans cette liste ?

    a. \(\dfrac{n(n-1)}{2}\)

    b. \(\dfrac{n(n-1)}{2} \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)

    c. \(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}\)

    d. \(\left(1 + n + \dfrac{n(n-1)}{2}\right) \times\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\)