LOGARITHME NÉPÉRIEN
1 - DÉFINITION
Rappel :
La fonction exponentielle réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\rbrack{0; + \infty}\lbrack\).
C'est-à -dire que pour tout \(b \in {\rbrack{0; + \infty}\lbrack}\), il existe un unique réel \(a\) tel que \(e^{a} = b\).
On note \(a = {\ln b}\), ce qui se lit logarithme népérien de \(b\).
Ainsi à tout réel \(x\) strictement positif, on peut associer un unique réel noté \(\ln(x)\).
DĂ©finition
On appelle fonction logarithme népérien la fonction qui à un réel \(x\) strictement positif, fait correspondre \(\ln(x)\).
On Ă©crit souvent \(\ln x\) au lieu de \(\ln(x)\)
Remarques
La fonction \(\ln\) réalise une bijection de \(\rbrack 0 ; + \infty \lbrack\) dans \(\mathbb{R}\).
L'équivalence \(\left\{ \begin{matrix} {x \in \mathbb{R}^{+*}} \\ {y = {\ln x}} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow{} \left\{ \begin{matrix} {y \in \mathbb{R}} \\ {e^{y} = x} \end{matrix} \right.\) traduit le fait que les fonctions exponentielle et logarithme népérien sont réciproques l'une de l'autre.
Propriété (Résultent de la définition)
Pour tout réel \(x\) strictement positif, on a \(e^{\ln x} = x\)
Pour tout réel \(x\) , on a \(\ln(e^x) = x\)
\({\ln 1} = 0\)
\({\ln e} = 1\)
Remarque
La fonction exponentielle transformant une somme en produit, on peut penser que la fonction logarithme népérien qui est sa fonction réciproque, transforme un produit en somme.
2 - PROPRIÉTÉS ALGÉBRIQUES
Propriétés
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs on a :
On peut généraliser cette propriété à plusieurs nombres.
Pour tout \(n \in \mathbb{Z}, \ln(a^{n}) = n\ln a\)
Preuves :
Les démonstrations se font principalement en utilisant les propriétés de la fonction exponentielle.
\(e^{\ln{a} + \ln{b}} = e^{\ln a} \times e^{\ln b} = a \times b\). Or si \(e^{y} = x\) , alors \(y = \ln x\). On a donc \(\ln a + \ln b = \ln(a \times b)\)
\(e^{- \ln a} = \dfrac{1}{e^{\ln a}} = \dfrac{1}{a}\) donc\({- {\ln a}} = \ln \left( \dfrac{1}{a} \right)\)
\(e^{\ln a - \ln b} = \dfrac{e^{\ln a}}{e^{\ln b}} = \dfrac{a}{b}\) donc \(\ln a - \ln b = \ln \left(\dfrac{a}{b} \right)\)
\(\ln(a) = \ln(\sqrt{a} \times \sqrt{a}) = \ln(\sqrt{a}) + \ln(\sqrt{a}) = 2\ln(\sqrt{a})\) donc \(\ln \left( \sqrt{a} \right) = \dfrac{1}{2}\ln(a)\)
Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\),\(e^{n\ln a} = (e^{\ln a})^n = a^n\) donc \(\ln (a^n) = n\ln a\)
3 - ÉTUDE DE LA FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN
Propriété
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
La croissance de la fonction \(\ln\) est lente.
Par exemple : \({\ln{(10^{8})}} \approx 18,42\)
Preuve :
Soit \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs tels que \(a < b\).
Raisonnons par l'absurde :
Supposons que \({\ln a} \geqslant {\ln b}\)
La fonction exponentielle étant croissante on aurait \(e^{\ln a} \geqslant e^{\ln b}\) donc \(a \geqslant b\) ce qui est en contradiction avec l'hypothèse.
On ne peut donc pas avoir \({\ln a} \geqslant {\ln b}\).
On a donc \({\ln a} < {\ln b}\)
On en déduit que la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}^{+*}\).
Conséquences :
Pour tous réels \(a\) et \(b\) strictement positifs on a :
\(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a = b\)
\(\ln a < \ln b \Leftrightarrow a < b\)
\(\ln a \leqslant \ln b \Leftrightarrow a \leqslant b\)
\(a > 1 \Leftrightarrow \ln a > 0\)
si \(0 < a < 1\) alors \(\ln a < 0\)
Propriété :
La fonction \(\ln\) est continue et dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}^{+*}\), on a \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\)
Preuve : exigible
Soit \(x > 0\) et \(a > 0\).
DĂ©terminons \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\ln(x) - \ln(a)}{x - a}\)
En posant \(X = \ln(x)\) et \(A = {\ln{(a)}}\), on obtient :
Or on sait que la fonction exponentielle est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(\exp'(x) = \exp(x)\)
Donc \(\lim\limits_{X \to A} \dfrac{e^X - e^A}{X - A} = e^A = e^{\ln(a)} = a\) et \(\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\ln(x) - \ln(a)}{x - a} = \lim\limits_{X \to A}\dfrac{X - A}{e^X - e^A} = \dfrac{1}{a}\)
La fonction \(\ln\) est donc dérivable en \(a\), pour tout \(a \in \mathbb{R}^{+*}\).
On en déduit que la fonction \(\ln\) est dérivable (et donc continue) sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et pour tout \(x \in \mathbb{R}^{+*}\), on a \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\)
Remarque
On sait que pour tout \(x > 0\), \(e^{\ln x} = x\).
En supposant la fonction \(\ln\) dérivable sur \(\mathbb{R}^{+*}\) et en utilisant la propriété de dérivation des fonctions composées, on peut écrire pour tout \(x>0\) :
(En acceptant les abus de notation pour faciliter)
Propriété :
\(\lim\limits_{x \to + \infty} \ln x = +\infty\)
\(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\)
Preuve :
Soit \(M > 0\).
Pour tout \(x>0\), on a : \(\ln x > M \Leftrightarrow x > e^M\)
Ainsi, si \(x > e^M\) on a \(\ln x > M\)
Ce résultat est vrai pour tout \(M > 0\). On en déduit que \(\lim\limits_{x \to + \infty}{\ln x} = +\infty\)
Posons \(X = \dfrac{1}{x}\) c'est-Ă -dire \(x = \dfrac{1}{X}\)
Lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives \(X\) tend vers \(+ \infty\).
On a \(\ln x = \ln \left( \dfrac{1}{X} \right) = - \ln X\)
Donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}{\ln x}= \lim\limits_{X \to + \infty}{- \ln X}\). On sait que \(\lim\limits_{X \to + \infty}{\ln X} = + \infty\) donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}{\ln x} = -\infty\)
Tableau de variations :
Représentation graphique :
Les fonctions exponentielle et logarithme népérien étant réciproques l'une de l'autre, leurs courbes dans un repère orthonormal sont symétriques par rapport à la droite d'équation \(y = x\).
On a vu que \(\lim\limits_{x \to 0^+}{\ln x} = - \infty\), la courbe de la fonction logarithme népérien a pour asymptote verticale l'axe \((Oy)\).
Propriété : (en plus)
Preuve :
Par définition du nombre dérivé en \(1\), on peut écrire \(\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x} = \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(1+x) - \ln(1)}{x}= \dfrac{1}{1} = 1\) (car \(\left( \ln(x) \right)' = \dfrac{1}{x}\))
Propriétés :
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a :
Pour tout entier naturel non nul \(n\), on a :
Preuve :
Montrons que \({\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x}} = 0\)
Posons \(X= \ln x\), on a alors \(e^{X} = x\)
Lorsque \(x\) tend vers \(+ \infty\) , \(\ln x\) tend vers \(+ \infty\), donc \(X\) tend vers \(+ \infty\).
On peut Ă©crire \(\dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{X}{e^{X}}\) donc \(\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = \lim\limits_{X \to + \infty}\dfrac{X}{e^X}\).
Or on sait que \(\lim\limits_{X \to + \infty}\dfrac{e^X}{X} = +\infty\) donc \(\lim\limits_{X \to + \infty}\dfrac{X}{e^X} = 0\) et par conséquent \(\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0\)
OU ( sans utiliser la fonction exponentielle )
On peut Ă©crire pour tout x>0Â : \(\ln x < x\) (trivial graphiquement) et donc \(\ln \left(\sqrt{x}\right) < \sqrt{x}\), c'est Ă dire \(\dfrac{1}{2}\ln x < \sqrt{x}\).
Pour \(x>1\), on a alors :
\(0 < \ln x < 2\sqrt{x} \Leftrightarrow 0 < \dfrac{\lnx}{x} < \dfrac{2}{\sqrt{x}}\)
Comme \(\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{2}{\sqrt{x}} = 0\), d'après le théorème des gendarmes, on a :
Montrons que \(\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{\ln x}{x^n} = 0\)
Pour \(n>1\), on peut écrire  :
Comme \(\lim\limits_{x \to + \infty}\dfrac{1}{x^{n-1}} = 0\), par produit, on en déduit que \(\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^n} = 0\).
Montrons que \(\lim\limits_{x \to 0^+}{x\ln x} = 0\) (exigible)
Posons \(X = \dfrac{1}{x}\) on a alors \(x = \dfrac{1}{X}\)
Lorsque \(x\) tend vers \(0\) par valeurs positives , \(\dfrac{1}{x}\) tend vers \(+\infty\), donc \(X\) tend vers \(+\infty\).
On peut Ă©crire \(x\ln(x) = \dfrac{1}{X} \times \ln \left( \dfrac{1}{X} \right) = - \dfrac{1}{X} \times \ln(X) = \dfrac{\ln(x)}{X}\)
Or on sait que \(\lim\limits_{X \to + \infty} \dfrac{\ln X}{X} = 0\) donc \(\lim\limits_{x \to 0^+}{x\ln x} = 0\)
Montrons que \(\lim\limits_{x \to 0^+}{x^{n}\ln x} = 0\)
Pour \(n > 1\), on peut Ă©crire : \(x^{n}\ln{x} = x^{n-1} x \ln x\)
Comme \(\lim\limits_{x \to 0^+}x^{n-1} = 0\), par produit, on en déduit que \(\lim\limits_{x \to 0^+}{x^{n}\ln x} = 0\).
4 - DÉRIVÉE DE \(x \mapsto \ln \left(u(x) \right)\)
Propriété :
Soit \(u\) une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\).
La fonction \(f:\) \(x \mapsto \ln \left( u(x) \right)\) est dérivable sur \(I\), et pour tout \(x \in I\) , on a :
Preuve:
Immédiat en utilisant, la dérivée de \(x \mapsto g \left( u(x) \right)\)