Exemple de petit devoir

Exercice 1

1. Donner l'écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous :

   a. \(z_1=\dfrac{1+i}i\)

   b. \(z_2= \dfrac{1}{1-i}\)

   c. \(z_3=\dfrac{-2+i}{2+i}\)

   Réponses

   a. \(z_1=1-i\)

   b. \(z_2= \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)

   c. \(z_3=-\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}i\)

2. On considère les deux nombres complexes \(z_1\) et \(z_2\) définis par :

   \[z_1=1+i\]
   \[z_2=5-2i\]

   Déterminer l'écriture algébrique des nombres suivants :

   a. \(z_1+z_2\)

   b. \(z_1-z_2\)

   c. \(z_1-2z_2\)

   d. \(z_1 \times z_2\)

   e. \(\dfrac{z_1}{z_2}\)

   f. \(\dfrac{z_2}{z_1-z_2}\)

   Réponses

   a. \(6-i\)

   b. \(-4+3i\)

   c. \(-9+5i\)

   d. \(7+3i\)

   e. \(\dfrac{3}{29}+\dfrac{7}{29}i\)

   f. \(-\dfrac{26}{25}-\dfrac{7}{25}i\)

Exercice 2

Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant et l'écrire sous forme algébrique :

\[z=\dfrac{2+i}{1-2i}\]

Réponses

\(\bar{z}=\dfrac{2-i}{1+2i}=-i\)

Exercice 3

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes:

a. \(3z+iz=0\)

b. \(z+2-i(z+1)=0\)

Réponses

Les ensembles \(S_a\) et \(S_b\) des solutions de chaque équation s'écrivent:

\(S_a=\{0\}\)

\(S_b=\left \{\dfrac{-3-i}{2} \right \}\)

Exercice 4

Répondre par vrai ou faux en justifiant.

Si le complexe \(z\) s'écrit sous la forme \(z=a+ib\) , avec \(a \in \mathbb{C}\) et \(b \in \mathbb{C}\) alors :

a. la forme algébrique de \(\bar{z}\) est \(a-ib\)

b. \(z . \bar{z}=a^2+b^2\)

c. \(z+\bar{z}=2 \times (Re(a)-Im(b))\)

Réponses

a. Avec \(a \in \mathbb{C}\) et \(b \in \mathbb{C}\), \(a-ib\) n'est pas une forme algébrique. FAUX

b. \(z.\bar z=(a+ib)(\bar a-i\bar b)=a.\bar{a}+b.\bar{b}+i(b\bar{a}-a\bar{b})=a.\bar{a}+b.\bar{b}-2Im(b\bar{a})\). FAUX

On pourrait aussi écrire que rien n'assure que \(a^2+b^2\) soit un nombre réel...

c. \(z+\bar z=a+ib+\bar a-i\bar b=(a+\bar a)+i(b-\bar b)\)

\(\Rightarrow z+\bar z= 2\text{Re}(a)+i2i\text{Im}(b)=2 \times (\text{Re}(a)-\text{Im}(b))\). VRAI