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Petit devoir sur la division euclidienne

Exercice 1

Déterminer tous les entiers naturels qui divisés par \(5\) donnent un quotient égal au double du reste.

Corrigé

\(n=5\times q+r\)  avec \(q=2r>0\)  d'où \(n=11r\)  or \(r \in \left\{0;1;2;3;4\right\}\) soit \(n \in \left\{0;11;22;33;44\right\}\)

Exercice 2

  1. Écrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de \(6\).

  2. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tel que \(n - 4\) divise \(6\).

  3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tel que \(n - 4\) divise \(n + 2\).

  4. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs \(n\) tel que \(n + 1\) divise \(3n - 4\).

Corrigé

  1. Les diviseurs de 6 sont: \(\left\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\right\}\)

  2. Ce qui précède implique \(n {\in} \left\{-2;1;2;5;6;7;10\right\}\)

  3. \(n-4\)  divise \(n+2\)  et divise \(n-4\)  donc \(n-4\)  divise toute combinaison linéaire de \(n+2\)  et \(n-4\) , donc \(n+2-(n-4)=6\).

    D'après 2., les valeurs de \(n\) qui conviennent sont \(\left\{-2;1;2;5;6;7;10\right\}\).

  4. \(n+1\)  divise \(n+1\)  et divise \(3n-4\)  donc \(n+1\)  divise toute combinaison linéaire de \(n+1\)  et \(3n-4\) , donc \(3n-4-3(n+1)=-7\)

    Les diviseurs de \(-7\) sont \(\left\{-7;-1;1;7\right\}\) d'oĂą \(n \in \left\{-8;-2;0;6\right\}\).

Exercice 3

  1. Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(n + 1\) divise \(n^2 + 5n + 4\).

  2. En déduire l’ensemble des entiers \(n\) tel que \(n + 1\) divise \(3n^2 + 15n + 19\).

Corrigé

  1. \(n+1\)  divise \(n^2+5n+4\)  et \(n+1,\)  donc \(n+1\)  divise toute combinaison linéaire de \(n^2+5n+4\)  et \(n+1\) , donc \(n^2+5n+4-n(n+1)=4n+4\)  or n+1 est toujours diviseur de cette quantité pour \(n\neq -1\)  donc n\({\in}\mathbb{N}\).

  2. \(n+1\)  divise \(n^2+5n+4,\)  \(n+1\)  divisera donc \(3n^2+15n+19\)  s'il divise  \(3n^2+15n+19-3(n^2+5n+4)=7\)

\(n+1\)  divise 7 si \(n+1\)  \({\in}\) {-7;-1;1;7} d'où \(n \in \left\{-8;-2;0;6\right\}\)

Exercice 4

Soient \(p\) et \(q\) deux entiers naturels tels que \(p^2-2q^2=1\)

  1. En utilisant un raisonnement par l’absurde, démontrer que \(p\) est un entier impair.

  2. En déduire que \(q\) est pair.

Corrigé

  1. Supposons \(p\) pair \(\Rightarrow p=2k\) cela implique que \(4k^2-2q^2=1 \Rightarrow 2(2k^2-q^2)=1\)  or \(2\) ne divise pas \(1\) \(\Rightarrow\) absurde.

  2. \(p\)  étant impair, \(p=2k+1\) . D'où \((2k+1)^2-2q^2=1 \Rightarrow 4k^2+4k-2q^2=0 \Rightarrow 2k^2+2k-q^2=0 \Rightarrow q^2=2k'\)  or si \(q^2\)  est divisible par \(2\), cela implique que \(q\) est divisible par \(2\), donc que \(q\)  est pair.