Petit devoir sur la division euclidienne

Exercice 1

Déterminer tous les entiers naturels qui divisés par $5$ donnent un quotient égal au double du reste.

Corrigé

$n=5\times q+r$  avec $q=2r>0$  d'où $n=11r$  or $r\in \{0;1;2;3;4\}$ soit $n\in \{0;11;22;33;44\}$

Exercice 2

1. Écrire l’ensemble des entiers relatifs diviseurs de $6$.

2. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $n$ tel que $n-4$ divise $6$.

3. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $n$ tel que $n-4$ divise $n+2$.

4. Déterminer l’ensemble des entiers relatifs $n$ tel que $n+1$ divise $3n-4$.

Corrigé

1. Les diviseurs de 6 sont: $\{-6;-3;-2;-1;1;2;3;6\}$

2. Ce qui précède implique $n\in \{-2;1;2;5;6;7;10\}$

3. $n-4$  divise $n+2$  et divise $n-4$  donc $n-4$  divise toute combinaison linéaire de $n+2$  et $n-4$ , donc $n+2-(n-4)=6$.

   D'après 2., les valeurs de $n$ qui conviennent sont $\{-2;1;2;5;6;7;10\}$.

4. $n+1$  divise $n+1$  et divise $3n-4$  donc $n+1$  divise toute combinaison linéaire de $n+1$  et $3n-4$ , donc $3n-4-3(n+1)=-7$

   Les diviseurs de $-7$ sont $\{-7;-1;1;7\}$ d'où $n\in \{-8;-2;0;6\}$.

Exercice 3

1. Montrer que pour tout entier naturel $n$, $n+1$ divise $n^2+5n+4$.

2. En déduire l’ensemble des entiers $n$ tel que $n+1$ divise $3n^2+15n+19$.

Corrigé

1. $n+1$  divise $n^2+5n+4$  et $n+1,$  donc $n+1$  divise toute combinaison linéaire de $n^2+5n+4$  et $n+1$ , donc $n^2+5n+4-n(n+1)=4n+4$  or n+1 est toujours diviseur de cette quantité pour $n\ne -1$  donc n$\in \mathbb{N}$.

2. $n+1$  divise $n^2+5n+4,$  $n+1$  divisera donc $3n^2+15n+19$  s'il divise  $3n^2+15n+19-3(n^2+5n+4)=7$

$n+1$  divise 7 si $n+1$  $\in$ {-7;-1;1;7} d'où $n\in \{-8;-2;0;6\}$

Exercice 4

Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels tels que $p^2-2q^2=1$

1. En utilisant un raisonnement par l’absurde, démontrer que $p$ est un entier impair.

2. En déduire que $q$ est pair.

Corrigé

1. Supposons $p$ pair $\Rightarrow p=2k$ cela implique que $4k^2-2q^2=1\Rightarrow 2(2k^2-q^2)=1$  or $2$ ne divise pas $1$ $\Rightarrow$ absurde.

2. $p$  étant impair, $p=2k+1$ . D'où $(2k+1{)}^2-2q^2=1\Rightarrow 4k^2+4k-2q^2=0\Rightarrow 2k^2+2k-q^2=0\Rightarrow q^2=2k^{\prime }$  or si $q^2$  est divisible par $2$, cela implique que $q$ est divisible par $2$, donc que $q$  est pair.