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Devoir sur les nombres complexes 25-26

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Durée : 50 minutes

Exercice 1 - Forme algébrique (3 points)

Écrire les complexes suivants sous forme algébrique simplifiée:

1) \(z = \left(\dfrac{1}{1 - i}\right)^2\) \(\quad \quad \quad \quad \quad\) 2) \(z = 2 + \dfrac{3 + 10i}{4 - 4i}\) \(\quad \quad \quad \quad \quad\) 3) \(z = \dfrac{2}{3 - 2i} + \dfrac{5i}{2 - i}\)

Corrigé

1) \(\dfrac{1}{1-i} = \dfrac{1}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i} = \dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1+i}{1-i^2} = \dfrac{1+i}{1+1} = \dfrac{1+i}{2}\)

\(\Rightarrow z = \left(\dfrac{1+i}{2}\right)^2 = \dfrac{(1+i)^2}{4} = \dfrac{1 + 2i + i^2}{4} = \dfrac{1 + 2i - 1}{4} = \dfrac{2i}{4} = \dfrac{i}{2}\)

RĂ©ponse : \(z = \dfrac{1}{2}i\)

2) \(\dfrac{3+10i}{4-4i} = \dfrac{3+10i}{4-4i} \times \dfrac{4+4i}{4+4i} = \dfrac{(3+10i)(4+4i)}{(4-4i)(4+4i)}\)

Numérateur : \((3+10i)(4+4i) = 12 + 12i + 40i + 40i^2 = 12 + 52i - 40 = -28 + 52i\)

DĂ©nominateur : \((4-4i)(4+4i) = 16 - 16i^2 = 16 + 16 = 32\)

Donc : \(\dfrac{3+10i}{4-4i} = \dfrac{-28 + 52i}{32} = -\dfrac{7}{8} + \dfrac{13}{8}i\)

RĂ©ponse : \(z = 2 - \dfrac{7}{8} + \dfrac{13}{8}i = \dfrac{9}{8} + \dfrac{13}{8}i\)

3) Première fraction : \(\dfrac{2}{3-2i} = \dfrac{2(3+2i)}{(3-2i)(3+2i)} = \dfrac{6+4i}{9+4} = \dfrac{6+4i}{13}\)

Seconde fraction : \(\dfrac{5i}{2-i} = \dfrac{5i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \dfrac{10i+5i^2}{4+1} = \dfrac{10i-5}{5} = -1+2i\)

Somme : \(z = \dfrac{6+4i}{13} + (-1+2i) = \dfrac{6+4i}{13} - \dfrac{13}{13} + \dfrac{26i}{13} = \dfrac{6-13}{13} + \dfrac{4+26}{13}i\)

RĂ©ponse : \(z = -\dfrac{7}{13} + \dfrac{30}{13}i\)

Exercice 2 - Ensemble de points (2 points)

Pour tout complexe \(z \neq -1\), on pose : \(Z = \dfrac{z + 1}{\overline{z} + 1}\).

DĂ©terminer l'ensemble des nombres complexes \(z\) tels que:

1) le nombre \(Z\) soit réel. \(\quad \quad \quad \quad \quad\) 2) le nombre \(Z\) soit imaginaire pur.

Corrigé

Posons \(z = x + yi\) avec \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).

Alors \(\overline{z} = x - yi\) et \(Z = \dfrac{z+1}{\overline{z}+1} = \dfrac{(x+1)+yi}{(x+1)-yi}\).

En multipliant numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur :

\[Z = \dfrac{[(x+1)+yi][(x+1)+yi]}{[(x+1)-yi][(x+1)+yi]} = \dfrac{(x+1)^2 + 2(x+1)yi - y^2}{(x+1)^2 + y^2}\]
\[Z = \dfrac{(x+1)^2 - y^2}{(x+1)^2 + y^2} + \dfrac{2(x+1)y}{(x+1)^2 + y^2}i\]

1) \(Z\) réel

\(Z\) est réel si et seulement si sa partie imaginaire est nulle :

\[\dfrac{2(x+1)y}{(x+1)^2 + y^2} = 0\]

Ceci Ă©quivaut Ă  \((x+1)y = 0\), soit \(x = -1\) ou \(y = 0\).

Comme \(z \neq -1\), on ne peut avoir \(x = -1\) et \(y = 0\) simultanément.

2) \(Z\) imaginaire pur

\(Z\) est imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle est nulle :

\[\dfrac{(x+1)^2 - y^2}{(x+1)^2 + y^2} = 0\]

Ceci Ă©quivaut Ă  \((x+1)^2 - y^2 = 0\), soit \((x+1)^2 = y^2\).

Donc \(|x+1| = |y|\), ce qui donne \(x+1 = y\) ou \(x+1 = -y\).

Exercice 3 - Équation dans \(\mathbb{C}\) (3 points)

Résoudre les équations suivantes dans \(\mathbb{C}\). On donnera les solutions sous forme algébrique simplifiée.

1) \(-2iz = 3z + 1\) \(\quad \quad \quad \quad \quad\) 2) \(\dfrac{z^2 - 1}{z - i} = z+i\) \(\quad \quad \quad \quad \quad\) 3) \(z^2 - 4z + 8 = 0\)

Corrigé

1) \(-2iz = 3z + 1 \Leftrightarrow -2iz - 3z = 1 \Leftrightarrow z(-2i - 3) = 1 \Leftrightarrow z = \dfrac{1}{-3-2i}\)

En multipliant par le conjugué :

\(z = \dfrac{1}{-3-2i} \times \dfrac{-3+2i}{-3+2i} = \dfrac{-3+2i}{9+4} = \dfrac{-3+2i}{13}\)

RĂ©ponse : \(z = -\dfrac{3}{13} + \dfrac{2}{13}i\)

2) \(\dfrac{z^2-1}{z-i} = z+i\)

Condition d'existence : \(z \neq i\)

En multipliant par \((z-i)\) :

\[z^2 - 1 = (z+i)(z-i) = z^2 - i^2 = z^2 + 1\]

Donc : \(z^2 - 1 = z^2 + 1\), ce qui donne \(-1 = 1\) (impossible).

RĂ©ponse : L'Ă©quation n'admet aucune solution dans \(\mathbb{C}\)

3) \(z^2 - 4z + 8 = 0\)

C'est une équation du 2nd degré, calculons son discriminant \(\Delta\) : \(\Delta = 16 - 32 = -16 = (4i)^2\)

\(z = \dfrac{4 \pm 4i}{2} = 2 \pm 2i\)

RĂ©ponse : \(z_1 = 2 + 2i\) et \(z_2 = 2 - 2i\)

Exercice 4 - Équation du second degré à coefficients complexes (2 points)

Soit l'Ă©quation \((E)\) : \(z^2 + 2iz - 2 = 0\)

1) DĂ©velopper \((z + i)^2\).

2) En déduire que l'équation \((E)\) est équivalente à : \((z + i)^2 - 1 = 0\)

3) DĂ©terminer alors les solutions de \((E)\).

Corrigé

1) \((z + i)^2 = z^2 + 2iz + i^2 = z^2 + 2iz - 1\)

2) On a \(z^2 + 2iz - 2 = 0 \Leftrightarrow z^2 + 2iz - 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow (z^2 + 2iz - 1) - 1 = 0 \Leftrightarrow (z + i)^2 - 1 = 0\)

3) \((z + i)^2 = 1 \Leftrightarrow z + i = 1 ou z+i=-1\)

RĂ©ponse : \(z_1 = 1 - i\) et \(z_2 = -1 - i\)

Exercice 5 - Suite dans \(\mathbb{C}\) (2 points)

Soit la suite de nombres complexes \((z_n)\) définie dans \(\mathbb{N}\) par :

\[\begin{cases} z_0 = 1 \\ z_{n+1} = \dfrac{1}{3}z_n + \dfrac{2}{3}i \end{cases}\]

Soit \((u_n)\) la suite définie sur \(\mathbb{N}\) par : \(u_n = z_n - i\).

1) Exprimer \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\). En déduire la nature de \((u_n)\).

2) DĂ©terminer \(u_n\) puis \(z_n\) en fonction de \(n\).

Corrigé

1) \(u_{n+1} = z_{n+1} - i = \dfrac{1}{3}z_n + \dfrac{2}{3}i - i = \dfrac{1}{3}z_n - \dfrac{1}{3}i = \dfrac{1}{3}(z_n - i) = \dfrac{1}{3}u_n\)

\((u_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac{1}{3}\) et de premier terme \(u_0 = z_0 - i = 1 - i\).

2) \(u_n = u_0 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n = (1-i) \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\)

\(z_n = u_n + i = (1-i) \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + i\)

RĂ©ponses : - \(u_n = (1-i) \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\) - \(z_n = (1-i) \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n + i\)