Petit devoir sur les nombres complexes

Un soin particulier sera apporté à la rédaction.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Durée : 25 minutes

Exercice 1

Mettre sous forme algébrique les nombres:

$z_1=(2-i)(3+8i)$

$z_2={\displaystyle \frac{-4}{1+i\sqrt{3}}}$

Corrigé

$z_1=6+8-3i+16i=14+13i$

$z_2={\displaystyle \frac{-4(1-i\sqrt{3})}{1^2+{\sqrt{3}}^2}}=-1+i\sqrt{3}$

Exercice 2

Résoudre les équations

$(E_1)(4-2i)z^2=(1+5i)z$

$(E_2)2z+i=\bar{z}+1$

Corrigé

$z=0$ est une solution évidente de $(E_1)$

Une deuxième solution s'écrit $z={\displaystyle \frac{1+5i}{4-2i}}={\displaystyle \frac{1}{20}}(1+5i)(4+2i)={\displaystyle \frac{1}{20}}(-6+22i)=-{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{11}{10}}i$

L'ensemble ${\text{S}}_{E_1}$ des solutions de $(E_1)$ s'écrit alors:

$${\text{S}}_{E_1}=\{0;-{\displaystyle \frac{3}{10}}+{\displaystyle \frac{11}{10}}i\}$$

On pose $z=x+iy$

$(E_2)\iff 2(x+iy)+i=x-iy+1$

$\phantom{(E_2)}\iff 2x+2iy+i=x-iy+1$

$\phantom{(E_2)}\iff 2x+(2y+1)i=x-iy+1$

$\phantom{(E_2)}\iff \{\begin{array}{c}2x=x+1\\ 2y+1=-y\end{array}$

$\phantom{(E_2)}\iff \{\begin{array}{c}x=1\\ 3y=-1\end{array}$

L'ensemble ${\text{S}}_{E_2}$ des solutions de $(E_2)$ s'écrit alors:

$${\text{S}}_{E_2}=\{1-{\displaystyle \frac{1}{3}}i\}$$

Exercice 3

Calculer, en simplifiant au maximum, la partie réelle et la partie imaginaire de $z={\displaystyle \frac{1+ia}{2a+i(a^2-1)}}$, où $a$ est un nombre réel.

Corrigé

$z={\displaystyle \frac{1+ia}{2a+i(a^2-1)}}$

$\phantom{z}={\displaystyle \frac{(1+ia)(2a-i(a^2-1))}{(2a{)}^2+(a^2-1{)}^2}}$

$\phantom{z}={\displaystyle \frac{2a+a(a^2-1)+(2a^2-a^2+1)i}{4a^2+a^4-2a^2+1}}$

$\phantom{z}={\displaystyle \frac{a(a^2+1)+(a^2+1)i}{a^4+2a^2+1}}$

$\phantom{z}={\displaystyle \frac{a(a^2+1)+(a^2+1)i}{(a^2+1{)}^2}}$

$\phantom{z}={\displaystyle \frac{a+i}{a^2+1}}$

$\text{Re}(z)={\displaystyle \frac{a}{a^2+1}}$

$\text{Im}(z)={\displaystyle \frac{1}{a^2+1}}$