Petit devoir sur les nombres complexes
Un soin particulier sera apporté à la rédaction.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Durée : 25 minutes
Exercice 1
Mettre sous forme algébrique les nombres:
\(z_1=(2-i)(3+8i)\)
\(z_2=\dfrac{-4}{1+i\sqrt{3}}\)
Corrigé
\(z_1=6+8-3i+16i=14+13i\)
\(z_2=\dfrac{-4(1-i\sqrt{3})}{1^2+{\sqrt{3}}^2}=-1+i\sqrt{3}\)
Exercice 2
Résoudre les équations
\((E_1) \quad (4-2i)z^2=(1+5i)z\)
\((E_2) \quad 2z+i=\overline{z}+1\)
Corrigé
\(z=0\) est une solution évidente de \((E_1)\)
Une deuxième solution s'écrit \(z=\dfrac{1+5i}{4-2i}=\dfrac{1}{20}(1+5i)(4+2i)=\dfrac{1}{20}(-6+22i)=-\dfrac{3}{10}+\dfrac{11}{10}i\)
L'ensemble \(\text{S}_{E_1}\) des solutions de \((E_1)\) s'écrit alors:
On pose \(z=x+iy\)
\((E_2) \Leftrightarrow 2(x+iy)+i=x-iy+1\)
\(\phantom{(E_2)} \Leftrightarrow 2x+2iy+i=x-iy+1\)
\(\phantom{(E_2)} \Leftrightarrow 2x+(2y+1)i=x-iy+1\)
\(\phantom{(E_2)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} 2x=x+1\\2y+1=-y \end{array} \right.\)
\(\phantom{(E_2)} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{c} x=1\\3y=-1 \end{array} \right.\)
L'ensemble \(\text{S}_{E_2}\) des solutions de \((E_2)\) s'écrit alors:
Exercice 3
Calculer, en simplifiant au maximum, la partie réelle et la partie imaginaire de \(z = \dfrac{1 + ia}{2a + i(a^2-1)}\), où \(a\) est un nombre réel.
Corrigé
\(z=\dfrac{1 + ia}{2a + i(a^2-1)}\)
\(\phantom{z}=\dfrac{(1 + ia)(2a - i(a^2-1))}{(2a)^2+(a^2-1)^2}\)
\(\phantom{z}=\dfrac{2a+a(a^2-1)+(2a^2 -a^2+1)i}{4a^2+a^4-2a^2+1}\)
\(\phantom{z}=\dfrac{a(a^2+1)+(a^2+1)i}{a^4+2a^2+1}\)
\(\phantom{z}=\dfrac{a(a^2+1)+(a^2+1)i}{(a^2+1)^2}\)
\(\phantom{z}=\dfrac{a+i}{a^2+1}\)
\(\text{Re}(z)=\dfrac{a}{a^2+1}\)
\(\text{Im}(z)=\dfrac{1}{a^2+1}\)