Petit devoir sans complexes sur les nombres complexes
Les détails des calculs sont attendus.
L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
Exercice 1
On considère les deux nombres complexes: \(z_1=5-2i\) et \(z_2=-2+4i\)
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivants.
a. \(z_1+z_2\)
b. \({z_1}^2\)
c. \(z_1 \times z_2\)
d. \(\dfrac{z_1}{z_2}\)
Corrigé
a. \(z_1+z_2=3+2i\)
b. \({z_1}^2=21-20i\)
c. \(z_1 \times z_2=-2+24i\)
d. \(\dfrac{z_1}{z_2}=-\dfrac{9}{10}-\dfrac{4}{5}i\)
Exercice 2
-
Pour tout \(z\in \mathbb{C}\), on pose \(Z_1=z-\bar{z}\)
a. Déterminer le conjugué de \(Z_1\) en fonction de \(z\) et \(\bar{z}\)
b. \(Z_1\) est-il un nombre réel, imaginaire pur ou aucun des deux ? (justifier).
Corrigé
a. \(\bar{Z_1}=\bar{z}-\bar{\bar{z}}=\bar{z}-z=-Z_1\)
b. \(\bar{Z_1}+Z_1=0\) donc \(Z_1\) est un imaginaire pur.
-
Reprendre les questions précédentes avec \(Z_2=z \times \bar{z}\)
Corrigé
a. \(\bar{Z_2}=\overline{z \times \bar{z}}=\bar{z} \times \bar{\bar{z}}=\bar{z} \times z=Z_2\)
b. \(\bar{Z_2}-Z_2=0\) donc \(Z_2\) est un réel. (C'était prévisible, \(z\bar{z}\) est toujours réel...)
Exercice 3
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes. On donnera les solutions sous forme algébrique.
a. \(5-2i+2iz=3z+4\)
b. \(z^4-16=0\)
Corrigé
a. \(z=\dfrac{-1+2i}{-3+2i}=\dfrac{7-4i}{13}\). L'ensemble \(S\) des solutions de cette équation s'écrit alors \(S=\left \{ \dfrac{7}{13}-\dfrac{4}{13}i \right \}\)
b. \(z=(z^2-4)(z^2+4)=(z-2)(z+2)(z-2i)(z+2i)\). L'ensemble \(S\) des solutions de cette équation s'écrit alors \(S=\left \{-2i,2i,-2,2 \right \}\)
Exercice 4
Calculer, suivant les valeurs de \(n\):
Corrigé
On a \(S_0=1\), \(S_1=1+i\), \(S_2=i\), \(S_3=0\)
On conjecture donc :
\(S_n=1\) si \(n\) s'écrit sous la forme \(4k\)
\(S_n=1+i\) si \(n\) s'écrit sous la forme \(4k+1\)
\(S_n=i\) si \(n\) s'écrit sous la forme \(4k+2\)
\(S_n=0\) si \(n\) s'écrit sous la forme \(4k+3\)
à démontrer éventuellement par récurrence...