Petit devoir divisibilité et congruences
Exercice 1 (3 points)
À l'aide d'une combinaison linéaire indépendante de \(n\), déterminer les ensembles de nombres décrits ci-dessous:
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L'ensemble des entiers relatifs \(n\) qui divisent \(n+15\).
Corrigé
\(n \in \mathbb{Z}\) divise toujours \(n\), si \(n\) divise \(n+15\), alors \(n\) divise \(15\). Les diviseurs de \(15\), et donc de \(n+15\) sont \(\left\{-15;-5;-3;-1;1;3;5;15\right\}\).
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L'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(n+3\) divise \(n+7\).
Corrigé
Si \(n+3\) divise \(n+7\), alors \(n+3\) divise \(n+3+4\), donc \(n+3\) divise \(4\). Les diviseurs de \(4\) sont \(\left\{-4;-2;-1;1;2;4\right\}\). Par conséquent \(n\) appartient à l'ensemble \(\left\{-7;-5;-4;-2;-1;1\right\}\)
-
L'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(2n+3\) divise \(3n+7\).
Corrigé
Si \(2n+3\) divise \(3n+7\), alors \(2n+3\) divise toute combinaison linéaire de \(2n+3\) et \(3n+7\). En particulier \(2n+3\) divise \(2(3n+7)-3(2n+3) \Rightarrow 2n+3\) divise \(5\)
\(\Rightarrow 2n+3 \in \left\{-5;-1;1;5\right\}\) \(\Rightarrow 2n \in \left\{-8;-4;-2;2\right\}\) \(\Rightarrow n \in \left\{-4;-2;-1;1\right\}\)
Exercice 2 (3 points)
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Effectuer la division euclidienne de \(541\) par \(200\)
Corrigé
\(541=200\times2+141\)
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Effectuer la division euclidienne de \(541\) par \(-200\)
Corrigé
\(541={-200}\times{-2}+141\)
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Effectuer la division euclidienne de \(-541\) par \(-200\)
Corrigé
\(-541={-200}\times3+59\)
Exercice 3 (2 points)
RĂ©soudre \(x^2+6x+3 \equiv 0 [5]\)
Corrigé
\(x^2+6x+3 \equiv 0[5] \Leftrightarrow x^2+x+3 \equiv 0[5]\) car \(6 \equiv 1 [5]\)
Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser un tableau de congruences :
| \(x[5]\) | \(0\) | \(1\) | \(2\) | \(3\) | \(4\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(x^2+x+3[5]\) | 3 | 0 | 4 | 0 | 3 |
Ainsi, les nombres \(x\) solutions de l'Ă©quation \(x^2 + 6x + 3 \equiv 0[5]\) sont ceux tels que \(x \equiv 1 [5]\) et \(x \equiv 3 [5]\).
On en déduit \(\mathcal{S} = \left\{ 1 + 5 k; 3 + 5 k', (k,k') \in \mathbb{Z}^2 \right\}\)
Exercice 4 (2 points)
Montrez que pour tout entier \(n\), \(3^{n+3}-4^{4n+2}\) est divisible par \(11\).
Corrigé
\(3^{n+3}=3^3 \times 3^n=(2\times11+5)3^n \equiv 5\times3^n (11)\)
\(4^{4n+2}=4^2\times4^{4n}=16\times4^{4n} \equiv 5\times 4^{4n}\)
De plus, on a \(5^2 \equiv 3 (11)\) donc \(4^4 = {4^2}^2 \equiv 3 (11)\) d'oĂą \(4^{4n}=\left(4^4\right)^n \equiv 3^n (11)\)
Par conséquent, on a \(5\times 4^{4n} \equiv 5\times 3^n (11)\).
\(3^{n+3} \equiv 5\times3^n (11)\) et \(4^{4n+2} \equiv 5\times3^n (11)\) d'oĂą \(3^{n+3}-4^{4n+2} \equiv 0 (11)\)
\(3^{n+3}-4^{4n+2}\) est donc bien divisible par 11.
Exercice 5 (2 points)
\(M\) et \(N\) ont respectivement pour Ă©criture en base 10: \(\overline{abc}\) et \(\overline{bca}\)
Prouver que si l'entier \(M\) est divisible par 27, alors l'entier \(M-N\) est aussi divisible par 27.
Corrigé
\(M=c+10b+100a\) et \(N=a+10c+100b\) On a donc \(M–N=c+10b+100a–a–10c-100b=99a–90b–9c=9(11a–10b–c)\)
Si \(M\) est divisible par 27 alors il existe \(k\) entier naturel tel que \(M=c+10b+100a=27k\)
On a alors \(c+10b=27k–100a\) et \(M–N=9(11a–27k+100a)=9(27k+111a)=9\times3(9k+37a)\)
Remarque: pour que \(M-N\) soit divisible par \(27\) il suffit que \(M\) soit divisible par \(3\).