Devoir sur les nombres premiers

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Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications

Durée : 1h

Exercice 1 (3 points)

Pour chacune des affirmations suivantes répondre par Vrai ou Faux en justifiant votre réponse.

1. Si \(p>2\) est premier alors \(p+1\) n'est pas premier.

   Corrigé

   Si \(p\) premier et \(p>2\) alors \(p\) est impair.

   Donc \(p+1\) est pair est n'est donc pas premier. VRAI

2. Si \(p\) est premier alors \(p+2\) n'est pas premier.

   Corrigé

   Contre-exemple : 11 et 13 sont premiers. FAUX

3. Si \(p>3\) est premier alors \(p \equiv 1 [6]\) ou \(p \equiv -1 [6]\).

   Corrigé

   \(p \equiv 0 [6] \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, p=6k\) Absurde.

   \(p \equiv 2 [6] \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, p=2k\) Absurde.

   \(p \equiv 3 [6] \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}^*, p=3k\) Absurde

   \(p \equiv 4 [6] \Rightarrow \exists k \in \mathbb{N}, p=2k\) Absurde.

   \(\Rightarrow\) les seuls cas possibles pour un nombre \(p>3\) premier sont donc \(p \equiv 1 [6]\) ou \(p \equiv -1 [6]\). VRAI

4. Si \(a^2-b^2\) premier alors \(a\) et \(b\) sont consécutifs.

   Corrigé

   \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\) on a nécéssairement \(a-b=1\) donc VRAI

5. Si \(a\) et \(b\) consécutifs alors \(a^2-b^2\) premier.

   Corrigé

   Si \(a=5\) et \(b=4\) alors \(25-16=9\) n'est pas premier. FAUX

6. \(20^5\) admet \(66\) diviseurs.

   Corrigé

   \(20^5=2^{10} \times 5^5\)

   Ce nombre admet donc \((10+1)(5+1)=66\) diviseurs. VRAI

Exercice 2

1. Montrer que \(182\) peut s'écrire sous la forme \(a \times b \times c\) avec \(a,b,c\) des nombres premiers tels que \(a<b<c\).

   Corrigé

   \(182=2 \times 7 \times 13\)

2. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(n^{13}-n\) est divisible par \(c\).

   Corrigé

   D'après le petit théorème de Fermat, on a \(n^{12} \equiv 1 [13]\). Cela entraîne \(n^{13} \equiv n [13]\) soit \(n^{13}-n \equiv 0 [13]\)

   D'où \(n^{13}-n\) est divisible par \(c\).

3. Démontrer que \(n^{13}-n\) est pair.

   Corrigé

   Si \(n\) pair alors \(n^{13}\) pair et \(n^{13}-n\) pair.

   Si \(n\) impair alors \(n^{13}\) impair et \(n^{13}-n\) pair.

   Dans tous les cas \(n^{13}-n\) est donc pair.

4. En factorisant \(n^{12}-1\), montrer que \(b\) divise \(n^{13}-n\).

   Corrigé

   On a \(n^{13}-n=n(n^{12}-1)=n(n^6-1)(n^6+1)\)

   D'après le petit théorème de Fermat, on a \(n^{6} \equiv 1 [7]\). Cela entraîne \(n^6-1 \equiv 0 [7]\) donc \((n^6-1)\) est divisible par \(7\).

   Par conséquent, \(7\) divise aussi \(n^{13}-n\)

5. Déduire que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) 182 divise \(n^{13}-n\).

   Corrigé

   D'après ce qui précède, \(n^{13}-n\) est divisible par 2 (puisque pair), divisible par 13 et divisible par 7. Ces nombres étant premiers entre eux, \(p\) est divisible par \(2 \times 7 \times 13=182\)

Exercice 3

Un nombre parfait est un nombre dont la somme des diviseurs stricts est égale à lui-même.

Euclide donne la règle suivante pour trouver des nombres parfaits :

« Si un nombre \(a\) s’écrit \(2^n (2^{n+1} - 1)\) et si \(2^{n+1} - 1\) est premier, alors \(a\) est parfait ».

1. Trouver les trois premiers nombres parfaits.

   Corrigé

   On cherche les nombres premiers sous la forme \(2^n-1\):

   \(2^2-1=3 \Rightarrow 2 \times 3=6\) est parfait

   \(2^3-1=7 \Rightarrow 4 \times 7=28\) est parfait

   \(2^5-1=31 \Rightarrow 2^4 \times 31=496\) est parfait

2. Soit \(a = 2^n (2^{n+1} - 1)\) avec \(2^{n+1} - 1\) premier.

   a. Quelle est la décomposition de \(a\) en facteurs premiers ?

   Corrigé

   La décomposition de \(a\) en facteurs premiers est déjà écrite : sous la forme \(a = 2^n (2^{n+1} - 1)\), 2 admet la multiplicité \(n\) et \(2^{n+1} - 1\) a la multiplicité 1.

   b. En déduire la liste des diviseurs de \(a\).

   Corrigé

   Les nombres \(2^k\) avec \(k\) entier allant de \(0\) à \(n\) sont des diviseurs de \(a\).

   Les nombres \(2^k(2^{n+1}-1)\) avec \(k\) entier allant de \(0\) à \(n\) sont des diviseurs de \(a\).

   c. Démontrer alors que la somme des diviseurs stricts est égale à ce nombre \(a\).

   Corrigé

   On utilise deux fois la formule de la somme des termes d'une suite arithmétique:

   • On a \(2^0+2^1+...+2^n=\dfrac{1-2^{n+1}}{1-2}=2^{n+1}-1\)

   • On a aussi (en éliminant \(a\) comme diviseur):

     \(2^0(2^{n+1}-1)+2^1(2^{n+1}-1)+...+2^n-1(2^{n+1}-1)=(2^0+2^1+...+2^{n-1})(2^{n+1}-1)\)

     \(\phantom{2^0(2^{n+1}-1)+2^1(2^{n+1}-1)+...+2^n-1(2^{n+1}-1)}=\dfrac{1-2^n}{1-2}(2^{n+1}-1)=(2^n-1)(2^{n+1}-1)\)

   Par conséquent, en ajoutant tous les diviseurs stricts de \(a\), on obtient:

   \(2^{n+1}-1+(2^n-1)(2^{n+1}-1)=(2^{n+1}-1)(2^n-1+1)=a\)