Devoir sur les nombres premiers

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé

Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications

Durée : 1h

Exercice 1 (3 points)

1. Donner la décomposition en facteurs premiers de \(2016\).

2. Déterminer, en expliquant la méthode choisie, la plus petite valeur de l'entier naturel \(k\) pour laquelle \(k^6\) est un multiple de \(2016\).

Exercice 2 (4 points)

Un nombre \(n\) s'écrit \(2^{\alpha}3^{\beta}\).

Le nombre de diviseurs de \(36n\) est le triple du nombre de diviseurs de \(n\).

Déterminer les valeurs de \(n\) possibles.

Exercice 3 (5 points)

Pour chacune des propositions suivantes, en justifiant, préciser si elle est vraie ou fausse puis énoncer sa réciproque en indiquant sans justification si elle est vraie.

Proposition 1 : Si \(n\) divise \(a^2\), alors \(n\) divise \(a\).

Proposition 2 : Si \(n\) est premier, alors \(n\) est impair.

Proposition 3 : Si \(p\) et \(q\) sont deux nombres premiers distincts, alors \(p\) et \(q\) sont premiers entre eux.

Proposition 4 : Si \(p\) premier divise le produit \(ab\), alors \(p\) divise \(a\) ou \(p\) divise \(b\).

Proposition 5 : \(p\) est un nombre premier. Si \(a \equiv p~(p)\), alors \(a\) est premier.

Exercice 4 (4 points)

1. Montrer que \(37\) divise \(3^{37}-3\)

2. Montrer que \(11\) ne divise pas \(3^{37} - 3\)

3. En déduire le PGCD de \(3^{37} - 3\) et \(1221\)

Exercice 5 (Bonus)

Un professeur de mathématiques donne l'énoncé suivant :

Déterminer un entier naturel \(n\) ayant \(9\) diviseurs s'écrivant sous la forme \(n = 39p + 1\) où \(p\) est un nombre premier.

En analysant l'ensemble des cas possibles donner toutes les valeurs possibles de l'entier \(n\).