Devoir sur les nombres premiers

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Durée : 1h

Exercice 1 : des nombres étranges (5 points)

Les nombres 1 ; 11 ; 111 ; 1111 ; ... sont des nombres que l'on appelle rep-units (répétition de l'unité). Ils ne s'écrivent qu'avec des chiffres 1. Ces nombres possèdent de nombreuses propriétés qui passionnent les mathématiciens.

Cet exercice propose d'en découvrir quelques-unes.

Pour \(k\) entier strictement positif, on note \(N_{k}\) le rep-unit qui s'écrit à l'aide de \(k\) chiffres 1.

Ainsi \(N_1 = 1~ ;~N_2 = 11~ ;~N_3 = 111~ ;~ \cdots\)

1. Citer deux nombres premiers inférieurs à 10 n'apparaissant jamais dans la décomposition d'un rep-unit. Justifier brièvement la réponse.

   Corrigé

   Les nombres 2 et 5 n'apparaissent jamais dans la décomposition d'un rep-unit.

   • Tout rep-unit se termine par le chiffre 1, donc il est impair : 2 ne peut pas le diviser.

   • Tout rep-unit se termine par le chiffre 1, donc il n'est pas divisible par 5 (un multiple de 5 se termine par 0 ou 5).

2. Donner la décomposition en facteurs premiers de \(N_3\).

   Corrigé

   \(N_3 = 111 = 3 \times 37\)

3. Soit \(n\) un entier strictement supérieur à 1. On suppose que l'écriture décimale de \(n^2\) se termine par le chiffre 1.

   1. Montrer que, dans son écriture décimale, \(n\) se termine lui-même par 1 ou par 9.

      Corrigé

      Le chiffre des unités de \(n^2\) ne dépend que du chiffre des unités de \(n\).

      On vérifie les dix cas possibles :

      Chiffre des unités de \(n\)	Chiffre des unités de \(n^2\)
      0	0
      1	1
      2	4
      3	9
      4	6
      5	5
      6	6
      7	9
      8	4
      9	1

      Le chiffre des unités de \(n^2\) vaut 1 si et seulement si le chiffre des unités de \(n\) est 1 ou 9.

      Donc \(n\) se termine par 1 ou par 9.

   2. Montrer qu'il existe un entier \(m\) tel que \(n\) s'écrive sous la forme \(10m + 1\) ou \(10m - 1\).

      Corrigé

      D'après la question précédente, \(n\) se termine par 1 ou par 9.

      Cas 1 : \(n\) se termine par 1. Il existe un entier \(m \geqslant 0\) tel que \(n = 10m + 1\).

      Cas 2 : \(n\) se termine par 9. Il existe un entier \(m \geqslant 1\) tel que \(n = 10m + 9 = 10(m+1) - 1\).

      En posant \(m' = m + 1\), on obtient \(n = 10m' - 1\).

      Dans les deux cas, il existe un entier \(m\) tel que \(n = 10m + 1\) ou \(n = 10m - 1\).

   3. En déduire que \(n^2 \equiv 1 \quad (20)\).

      Corrigé

      D'après la question précédente, \(n = 10m \pm 1\) pour un certain entier \(m\).

      On calcule \(n^2\) :

      \(n^2 = (10m \pm 1)^2 = 100m^2 \pm 20m + 1\)

      \(\phantom{n^2} = 20(5m^2 \pm m) + 1\)

      Donc \(n^2 \equiv 1 \pmod{20}\).

4. 1. Soit \(k \geqslant 2\). Montrer que \(N_k = 10 \cdot N_{k-1} + 1\).

      Corrigé

      \(N_{k-1}\) est le rep-unit à \(k-1\) chiffres 1. En lui accolant un chiffre 1 à droite, on obtient \(N_k\).

      Or accoler un chiffre 1 à droite d'un entier revient à le multiplier par 10 et à ajouter 1.

      Donc \(N_k = 10 \cdot N_{k-1} + 1\).

   2. En déduire que \(N_k \equiv 11 \pmod{20}\) pour tout \(k \geqslant 2\).

      Corrigé

      On raisonne par récurrence.

      Initialisation : \(N_2 = 11 \equiv 11 \pmod{20}\). ✓

      Hérédité : Supposons que \(N_{k-1} \equiv 11 \pmod{20}\) pour un certain \(k \geqslant 3\).

      D'après la question précédente :

      \(N_k = 10 \cdot N_{k-1} + 1 \equiv 10 \times 11 + 1 = 111 = 5 \times 20 + 11 \equiv 11 \pmod{20}\)

      Conclusion : Pour tout \(k \geqslant 2\), \(N_k \equiv 11 \pmod{20}\).

   3. Montrer qu'un rep-unit distinct de 1 n'est pas un carré.

      Corrigé

      Soit \(k \geqslant 2\). Supposons par l'absurde que \(N_k = n^2\) pour un certain entier \(n > 1\).

      \(N_k\) se termine par 1 (c'est un rep-unit), donc \(n^2\) se termine par 1.

      D'après la question 3.c., on aurait alors \(n^2 \equiv 1 \pmod{20}\).

      Mais d'après la question 4.b., \(N_k \equiv 11 \pmod{20}\).

      On aboutit à \(11 \equiv 1 \pmod{20}\), ce qui est absurde car \(20 \nmid 10\).

      Conclusion : Aucun rep-unit distinct de 1 n'est un carré.

Exercice 2 (5 points)

On considère la suite \(\left(u_{n}\right)\) définie pour tout entier naturel \(n\) non nul par :

\[u_{n} = 2^n + 3^n + 6^n - 1.\]

1. Calculer les six premiers termes de la suite.

   Corrigé

   \(n\)	\(2^n\)	\(3^n\)	\(6^n\)	\(u_n\)
   1	2	3	6	\(2+3+6-1 = \mathbf{10}\)
   2	4	9	36	\(4+9+36-1 = \mathbf{48}\)
   3	8	27	216	\(8+27+216-1 = \mathbf{250}\)
   4	16	81	1296	\(16+81+1296-1 = \mathbf{1392}\)
   5	32	243	7776	\(32+243+7776-1 = \mathbf{8050}\)
   6	64	729	46656	\(64+729+46656-1 = \mathbf{47448}\)

2. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) non nul, \(u_{n}\) est pair.

   Corrigé

   On raisonne modulo 2. Pour tout \(n \geqslant 1\) :

   • \(2^n \equiv 0 \pmod{2}\)
   • \(3^n \equiv 1^n = 1 \pmod{2}\)
   • \(6^n \equiv 0^n = 0 \pmod{2}\)

   Donc \(u_n = 2^n + 3^n + 6^n - 1 \equiv 0 + 1 + 0 - 1 = 0 \pmod{2}\).

   Conclusion : \(u_n\) est pair pour tout entier \(n \geqslant 1\).

3. Montrer que, pour tout entier naturel \(n\) pair non nul, \(u_{n}\) est divisible par 4.

   Corrigé

   Soit \(n\) un entier pair non nul. On raisonne modulo 4.

   • \(2^n = (2^2)^{n/2} = 4^{n/2} \equiv 0 \pmod{4}\) car \(n \geqslant 2\)
   • \(3^n = (3^2)^{n/2} = 9^{n/2} \equiv 1^{n/2} = 1 \pmod{4}\) car \(9 \equiv 1 \pmod 4\)
   • \(6^n = (6^2)^{n/2} = 36^{n/2} \equiv 0^{n/2} = 0 \pmod{4}\) car \(36 \equiv 0 \pmod 4\)

   Donc \(u_n \equiv 0 + 1 + 0 - 1 = 0 \pmod{4}\).

   Conclusion : Pour tout entier \(n\) pair non nul, \(u_n\) est divisible par 4.

   On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite \(\left(u_{n}\right)\).

4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?

   Corrigé

   D'après les calculs de la question 1 :

   • \(u_1 = 10 = 2 \times 5\) : donc 2 divise \(u_1\) et 5 divise \(u_1\).

   • \(u_2 = 48 = 2^4 \times 3\) : donc 3 divise \(u_2\).

   • \(u_5 = 8050 = 2 \times 5^2 \times 7 \times 23\) : on vérifie \(8050 / 7 = 1150\). Donc 7 divise \(u_5\).

   Conclusion : Les quatre entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent tous à l'ensemble (E).

5. Soit \(p\) un nombre premier strictement supérieur à 3.

   1. Montrer que \(6 \times 2^{p-2} \equiv 3 \pmod{p}\) et \(6 \times 3^{p-2} \equiv 2 \pmod{p}\).

      Corrigé

      Puisque \(p\) est premier et \(p > 3\), on a \(\text{PGCD}(2, p) = 1\) et \(\text{PGCD}(3, p) = 1\).

      D'après le petit théorème de Fermat : \(2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\) et \(3^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\).

      Première congruence :

      \(6 \times 2^{p-2} = 2 \times 3 \times 2^{p-2} = 3 \times 2^{p-1} \equiv 3 \times 1 = 3 \pmod{p}\)

      Deuxième congruence :

      \(6 \times 3^{p-2} = 2 \times 3 \times 3^{p-2} = 2 \times 3^{p-1} \equiv 2 \times 1 = 2 \pmod{p}\)

   2. En déduire que \(6u_{p-2} \equiv 0 \pmod{p}\).

      Corrigé

      On calcule \(6 u_{p-2}\) :

      \(6 u_{p-2} = 6 \times (2^{p-2} + 3^{p-2} + 6^{p-2} - 1)\)

      \(\phantom{6 u_{p-2}} = 6 \times 2^{p-2} + 6 \times 3^{p-2} + 6^{p-1} - 6\)

      D'après la question précédente et le petit théorème de Fermat (\(6^{p-1} \equiv 1 \pmod p\) car \(\text{PGCD}(6,p)=1\)) :

      \(6 u_{p-2} \equiv 3 + 2 + 1 - 6 = 0 \pmod{p}\)

   3. Le nombre \(p\) appartient-il à l'ensemble (E) ?

      Corrigé

      D'après la question précédente, \(p \mid 6 u_{p-2}\).

      Or \(p > 3\) est premier, donc \(\text{PGCD}(p, 6) = 1\) (car les seuls facteurs premiers de 6 sont 2 et 3).

      D'après le théorème de Gauss, on conclut que \(p \mid u_{p-2}\).

      Donc \(p\) divise le terme \(u_{p-2}\) de la suite.

      Conclusion : Tout nombre premier \(p > 3\) appartient à l'ensemble (E).

      Combiné avec la question 4 (qui montre que 2, 3, 5 ∈ E), on obtient que tout nombre premier appartient à (E).