Devoir PGCD et Bézout
Exercice 1 (4.5 points)
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Démontrer que : \(\forall n \in \mathbb{Z}\), \(pgcd(14n + 3; 5n + 1) = 1\).
Corrigé
Soit \(d\) un diviseur commun à \(14n+3\) et \(5n+1\), \(d\) divise \(5 \times (14n+3)-14 \times (5n+1)=1\) donc \(d\) divise \(1\).
D'où \(pgcd(14n + 3; 5n + 1) = 1\)
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On considère l'équation : \((E)\) \(87x + 31y = 2\)
a. Vérifier, à l'aide de 1. que \(87\) et \(31\) sont premiers entre eux.
Corrigé
Pour \(n=6\), on a \(14n+3=87\) et \(5n+1=31\) donc, d'après 1., \(87\) et \(31\) sont premiers entre eux.
b. En déduire un couple \((u; v)\) d'entiers relatifs tels que \(87u + 31v = 1\) puis un couple \((x_0; y_0)\) solution de \((E)\).
Corrigé
D'après 1. le couple \((5;-14)\) vérifie \(87u + 31v = 1\) donc \((10;-28)\) vérifie \((E)\).
c. Déterminer l'ensemble des solutions de \((E)\) dans \(\mathbb{Z}\).
Corrigé
On a \(87x + 31y = 2\) et \(87 \times 10 + 31 \times (-28) = 2\), par soustraction, on a: \(87(x-10)+31(y+28)=0\) soit \(87(x-10)=31(-y-28)\) or \(31\) et \(87\) sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss, \(31\) divise \(x-10\):
\(\exists k \in \mathbb{Z}\), \(x-10=31k \Leftrightarrow x=10+31k\)
En remplaçant dans \(87(x-10)=31(-y-28)\), on obtient \(-y-28=87k\) soit \(y=-28-87k\).
Les solutions de \((E)\) sont les couples \((10+31k;-28-87k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
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Application. Trouver les points de la droite \(87x - 31y - 2 = 0\) dont les coordonnées sont des entiers et dont l'abscisse est comprise entre \(0\) et \(100\)
Corrigé
D'après 2. les solutions de \(87x - 31y - 2 = 0\) sont les solutions de \(87x - 31y = 2\), donc \((10+31k;28+87k)\) avec \(k \in \mathbb{Z}\)
On résout :
\(0 \leqslant 10+31k \leqslant 100 \Leftrightarrow -10 \leqslant 31k \leqslant 90\)
\(\phantom{0 \leqslant 10+31k \leqslant 100} \Leftrightarrow -\dfrac{10}{31} \leqslant k \leqslant \dfrac{90}{31}\)
\(\phantom{0 \leqslant 10+31k \leqslant 100} \Leftrightarrow 0 \leqslant k \leqslant 2\)
Les valeurs qui donnent une abscisse comprise entre \(0\) et \(100\) correspondent à \(k=0\),\(k=1\) et \(k=2\). Les points \((10;28)\) \((41;115)\) et \((72;202)\) sont les seuls points de la droite qui répondent au problème.
Exercice 2 - Vrai-Faux (5 points)
Proposition 1 : Pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(3n\) et \(2n + 1\) sont premiers entre eux.
Corrigé
FAUX pour \(n=1\)
Soit \(S\) l'ensemble des couples \((x; y) \in \mathbb{Z}^2\) solutions de l'équation \(3x - 5y = 2\).
Proposition 2 : \(S\) est l'ensemble des couples \((5k - 1;3k - 1)\) où \(k \in \mathbb{Z}\).
Corrigé
VRAI En résolvant \(3x - 5y = 2\) dans \(\mathbb{Z}^2\), on obtient bien les mêmes solutions.
Soit \(a, b \in \mathbb{N}\).
Proposition 3 : S'il existe \(u\), \(v \in \mathbb{N}\) tels que \(au + bv = 2\) alors \(pgcd (a;b) = 2\).
Corrigé
FAUX On a \(1 \times 1 + 1 \times 1 = 2\) et pourtant \(pgcd(1,1)=1\)
Proposition 4 : Il existe au moins un entier naturel \(p\) inférieur à \(1000\), multiple de \(12\), et dont la division euclidienne de \(p\) par un entier naturel \(x\), inconnu lui aussi, donne \(35\) pour quotient et \(14\) pour reste?
Corrigé
\(p=12k\) et \(p=35x+14\) donc \(p\) est divisible par \(3\),\(4\) et \(7\).
\(p=3 \times 4 \times 7=84\) répond bien au problème. VRAI
Exercice 3 (2.5 points)
Cinq entiers naturels non nuls \(a\), \(b\), \(c\), \(d\), \(e\) sont cinq termes consécutifs d'une suite géométrique dont la raison \(q\) est un entier supérieur à \(1\) et premier avec \(a\).
Déterminer la (ou les) valeur(s) \(a\) et \(q\) sachant que : \(6a^2= e - b\)
Corrigé
\(a=a\), \(b=aq\), \(c=aq^2\), \(d=aq^3\) et \(e=aq^4\)
D'où :
\(6a^2=e-b \Leftrightarrow 6a^2=aq^4-aq\)
\(\phantom{6a^2=e-b} \Leftrightarrow 6a=q^4-q\) \((a \neq 0)\)
\(\phantom{6a^2=e-b} \Leftrightarrow 6a=q(q^3-1)\)
Comme \(q\) est premier avec \(a\), \(q\) divise \(6\).
On a donc 3 valeurs possibles pour \(q\): \(2\), \(3\) et \(6\).
\(q=2 \Rightarrow 6a=2 \times 7\) et \(a\) n'est pas entier.
\(q=3 \Rightarrow 6a=3 \times 26 \Rightarrow a=13\)
\(q=6 \Rightarrow 6a=6 \times 215 \Rightarrow a=215\)
On trouve donc 2 couples (a,q) solutions du problème: \((13,3)\) et \((215,6)\)