Aller au contenu

Devoir surveillé - Applications du calcul matriciel

Durée : 1h15

Calculatrice autorisée.

Exercice 1 (5 points)

On considère les matrices :

\[ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 4 \end{pmatrix}, \qquad P= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & 5 \end{pmatrix}, \qquad D= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 6 \end{pmatrix} \]

  1. Vérifier que \(A=PDP^{-1}\).

    Corrigé

    On calcule \(P^{-1}\). On a \(\det(P)=1\times5-2\times(-1)=7\), donc :

    \[P^{-1}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}5&-2\\1&1\end{pmatrix}\]

    Puis :

    \[PDP^{-1}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}1&2\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1&0\\0&6\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}-1&12\\1&30\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}7&14\\35&28\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&2\\5&4\end{pmatrix}=A\]

  2. Montrer que pour tout entier naturel \(n\geq1\) :

    \[A^n=PD^nP^{-1}\]
    Corrigé

    On raisonne par récurrence sur \(n\geq1\).

    Initialisation : Pour \(n=1\), \(PD^1P^{-1}=PDP^{-1}=A=A^1\) d'après la question 1.

    Hérédité : Supposons \(A^n=PD^nP^{-1}\) pour un certain \(n\geq1\). Alors :

    \[A^{n+1}=A\cdot A^n=PDP^{-1}\cdot PD^nP^{-1}=PD\,(P^{-1}P)\,D^nP^{-1}=PD\cdot D^nP^{-1}=PD^{n+1}P^{-1}\]

    Conclusion : La propriété est vraie pour tout entier naturel \(n\geq1\).

  3. Calculer \(D^n\).

    Corrigé

    \(D\) est diagonale, donc :

    \[D^n=\begin{pmatrix}(-1)^n&0\\0&6^n\end{pmatrix}\]

  4. En déduire une expression de \(A^n\).

    Corrigé

    D'après les questions 2 et 3 :

    \[A^n=PD^nP^{-1}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}1&2\\-1&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(-1)^n&0\\0&6^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\1&1\end{pmatrix}=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}(-1)^n&2\cdot6^n\\-(-1)^n&5\cdot6^n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}5&-2\\1&1\end{pmatrix}\]
    \[A^n=\dfrac{1}{7}\begin{pmatrix}5(-1)^n+2\cdot6^n & 2\bigl(6^n-(-1)^n\bigr)\\5\bigl(6^n-(-1)^n\bigr) & 2(-1)^n+5\cdot6^n\end{pmatrix}\]

Exercice 2 (4 points)

On se place dans un repère orthonormé. On considère le point \(A(4\ ;\ 2)\).

Partie A - Rotation

  1. Donner la matrice de la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

    Corrigé

    La matrice d'une rotation d'angle \(\theta\) est \(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\). Pour \(\theta=\dfrac{\pi}{2}\) :

    \[R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\]

  2. Déterminer les coordonnées du point image \(B\) de \(A\) par cette rotation.

    Corrigé
    \[B=R\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\times4+(-1)\times2\\1\times4+0\times2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\4\end{pmatrix}\]

    Donc \(B(-2\ ;\ 4)\). On peut aussi le lire sur un dessin : la rotation de \(\dfrac{\pi}{2}\) envoie \((x,y)\) sur \((-y,x)\).

Partie B - Réflexion

On considère la réflexion d'axe \(y=x\).

  1. Donner la matrice associée à cette réflexion.

    Corrigé

    La réflexion d'axe \(y=x\) échange les coordonnées : \((x,y)\mapsto(y,x)\). Sa matrice est :

    \[S=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\]

  2. Déterminer les coordonnées du point image \(C\) de \(A\).

    Corrigé
    \[C=S\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}\]

    Donc \(C(2\ ;\ 4)\). On peut aussi le lire sur un dessin : \(C\) est le symétrique de \(A(4\ ;\ 2)\) par rapport à la droite \(y=x\).

Exercice 3 (8 points)

Une plateforme vidéo propose trois catégories :

\(\bullet\) \(S\) : sport ;

\(\bullet\) \(F\) : films ;

\(\bullet\) \(D\) : documentaires.

D'un jour au suivant :

\(\bullet\) un utilisateur regardant du sport continue avec probabilité \(0{,}5\), regarde des films avec probabilité \(0{,}3\) et des documentaires avec probabilité \(0{,}2\) ;

\(\bullet\) un utilisateur regardant des films passe au sport avec probabilité \(0{,}2\), reste sur les films avec probabilité \(0{,}6\) et regarde des documentaires avec probabilité \(0{,}2\) ;

\(\bullet\) un utilisateur regardant des documentaires passe au sport avec probabilité \(0{,}1\), regarde des films avec probabilité \(0{,}4\) et reste sur les documentaires avec probabilité \(0{,}5\).

  1. Représenter cette situation par un graphe probabiliste.

    Corrigé

    Le graphe comporte 3 noeuds \(S\), \(F\), \(D\) et 9 arêtes orientées :

    GSSS->S0,5FFS->F0,3DDS->D0,2F->S0,2F->F0,6F->D0,2D->S0,1D->F0,4D->D0,5

  2. Donner la matrice de transition \(T\).

    Corrigé

    En notant l'état courant en ligne et l'état suivant en colonne :

    \[T=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}\]

  3. Vérifier que \(T\) est stochastique.

    Corrigé

    Une matrice stochastique vérifie :

    (i) tous les coefficients sont dans \([0;1]\) — c'est le cas ici ;

    (ii) la somme de chaque ligne vaut 1 :

    \[0{,}5+0{,}3+0{,}2=1,\quad 0{,}2+0{,}6+0{,}2=1,\quad 0{,}1+0{,}4+0{,}5=1\]

  4. Au départ, 100 % des utilisateurs regardent du sport :

    \[ \pi_0= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]

    Calculer \(\pi_1\).

    Corrigé
    \[\pi_1=\pi_0 T=\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\end{pmatrix}\]

  5. Déterminer \(\pi_2\).

    Corrigé
    \[\pi_2=\pi_1 T=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}3&0{,}2\\0{,}2&0{,}6&0{,}2\\0{,}1&0{,}4&0{,}5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0{,}33&0{,}41&0{,}26\end{pmatrix}\]

  6. Exprimer \(\pi_n\) en fonction de \(T^n\) et \(\pi_0\).

    Corrigé

    Par récurrence immédiate : \(\pi_1=\pi_0 T\), \(\pi_2=\pi_1 T=\pi_0 T^2\), etc. Donc :

    \[\pi_n=\pi_0\,T^n\]

  7. Expliquer pourquoi cette situation peut être modélisée par une chaîne de Markov.

    Corrigé

    Deux conditions sont remplies :

    • Propriété de Markov : l'état du lendemain ne dépend que de l'état du jour, pas de l'historique passé.
    • Homogénéité : les probabilités de transition sont constantes (elles ne dépendent pas du jour \(n\)).

  8. Interpréter les coefficients de \(\pi_2\).

    Corrigé

    \(\pi_2=\begin{pmatrix}0{,}33&0{,}41&0{,}26\end{pmatrix}\) signifie qu'au bout de 2 jours, en partant de 100 % sur le sport : 33 % des utilisateurs regardent du sport, 41 % regardent des films et 26 % regardent des documentaires.

Exercice 4 (3 points)

On considère la matrice de transition :

\[ T= \begin{pmatrix} 0{,}7 & 0{,}3\\ 0{,}4 & 0{,}6 \end{pmatrix} \]

On cherche une distribution invariante \(\pi = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}\) telle que \(\pi T = \pi\).

  1. Traduire la relation \(\pi T = \pi\) par un système d'équations.

    Corrigé

    \(\pi T=\pi\) donne :

    \[\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0{,}7&0{,}3\\0{,}4&0{,}6\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\]

    soit \(\begin{cases}0{,}7x+0{,}4y=x\\0{,}3x+0{,}6y=y\end{cases}\), ce qui se simplifie en ajoutant la condition de normalisation \(x+y=1\) :

    \[\begin{cases}-0{,}3x+0{,}4y=0\\x+y=1\end{cases}\]

  2. Déterminer la distribution invariante.

    Corrigé

    De \(-0{,}3x+0{,}4y=0\) on tire \(y=\dfrac{3}{4}x\). En substituant dans \(x+y=1\) :

    \[x+\dfrac{3}{4}x=1\implies \dfrac{7}{4}x=1\implies x=\dfrac{4}{7},\quad y=\dfrac{3}{7}\]

    La distribution invariante est \(\pi=\begin{pmatrix}\dfrac{4}{7}&\dfrac{3}{7}\end{pmatrix}\approx\begin{pmatrix}0{,}571&0{,}429\end{pmatrix}\).

  3. Interpréter le résultat dans le contexte d'une chaîne de Markov.

    Corrigé

    À long terme, quelle que soit la distribution initiale, la chaîne converge vers la distribution stationnaire \(\pi\) : environ 57,1 % des utilisateurs se trouvent dans l'état 1 et 42,9 % dans l'état 2. C'est le régime stationnaire (ou d'équilibre) de la chaîne de Markov.