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Ds matrices 25 26

# Devoir sur les matrices 25-26 *L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé* *Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications* *Durée : 1h*

Exercice 1 (4 points)

Dire, pour chacune des affirmations suivantes, si elle est vraie ou fausse en justifiant sa réponse.

  1. On peut toujours multiplier deux matrices.

    Corrigé

    FAUX

    Le produit de deux matrices \(A\) et \(B\) n'est possible que si le nombre de colonnes de \(A\) est Ă©gal au nombre de lignes de \(B\). Par exemple, on ne peut pas multiplier une matrice \(2 \times 3\) par une matrice \(2 \times 2\).

  2. Pour toutes matrices carrées \(A\) et \(B\) d'ordre 2, \(A \times B = B \times A\).

    Corrigé

    FAUX

    La multiplication matricielle n'est généralement pas commutative.

    Contre-exemple : Prenons \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

    \(AB = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) et \(BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

    Donc \(AB \neq BA\).

  3. La matrice identité d'ordre 2 est \(I_2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\).

    Corrigé

    FAUX

    La matrice identité d'ordre 2 est \(I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

    La matrice proposée est une matrice de permutation, pas la matrice identité.

  4. Pour toute matrice \(A\) carrée d'ordre 2, si \(A \neq O_2\) alors \(A^2 \neq O_2\).

    Corrigé

    FAUX

    Contre-exemple : Prenons \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

    On a \(A \neq O_2\), mais \(A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2\)

Exercice 2 (3 points)

On considère la matrice : \(A=\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\)

  1. DĂ©terminer les matrices \(A^2\) et \(A^3\)

    Corrigé
    \[A^2 = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\]
    \[A^2 = \begin{pmatrix} 4 - 3 & -2 + 1 \\ 6 - 3 & -3 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\]

    Calcul de \(A^3\) :

    \[A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\]
    \[A^3 = \begin{pmatrix} -2 + 3 & 1 - 1 \\ -6 + 6 & 3 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2\]

  2. En déduire l'expression de \(A^{50}\)

    Corrigé

    Puisque \(A^3 = I_2\), on a : \(A^{3k} = I_2\) pour tout entier \(k\).

    Or \(50 = 3 \times 16 + 2\), donc :

    \[A^{50} = A^{3 \times 16 + 2} = (A^3)^{16} \times A^2 = I_2^{16} \times A^2 = A^2\]

    Donc \(A^{50} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix}\)

Exercice 3 (2 points)

Soit \(A\) et \(B\) deux matrices inversibles.

DĂ©montrer que \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)

Corrigé

Pour montrer que \(B^{-1}A^{-1}\) est l'inverse de \(AB\), il suffit de vérifier que :

\[(AB) \times (B^{-1}A^{-1}) = I\]

Calculons :

\[(AB) \times (B^{-1}A^{-1}) = A \times (B \times B^{-1}) \times A^{-1}\]

par associativité du produit matriciel.

\[= A \times I \times A^{-1} = A \times A^{-1} = I\]

De même, on peut vérifier que \((B^{-1}A^{-1}) \times (AB) = I\).

Donc \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\).

Exercice 4 (3 points)

Soit la matrice \(A_x=\begin{pmatrix} x^2 & 2 \\ 4+x & 1 \end{pmatrix}\) avec \(x \in \mathbb{R}\).

  1. DĂ©terminer la ou les valeurs de \(x\) telles que \(A_x\) n'est pas inversible.

    Corrigé

    Une matrice \(2 \times 2\) n'est pas inversible si et seulement si son déterminant est nul.

    \[\det(A_x) = x^2 \times 1 - 2 \times (4 + x) = x^2 - 8 - 2x = x^2 - 2x - 8\]

    RĂ©solvons \(x^2 - 2x - 8 = 0\) :

    \[\Delta = 4 + 32 = 36\]
    \[x = \frac{2 \pm 6}{2}\]

    Donc \(x = 4\) ou \(x = -2\).

    \(A_x\) n'est pas inversible pour \(x = -2\) ou \(x = 4\).

  2. Donner \(A_x^{-1}\), lorsque cette matrice existe.

    Corrigé

    Pour \(x \neq -2\) et \(x \neq 4\), la matrice inverse est donnée par :

    \[A_x^{-1} = \dfrac{1}{\det(A_x)} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -(4+x) & x^2 \end{pmatrix}\]
    \[A_x^{-1} = \dfrac{1}{x^2 - 2x - 8} \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -4-x & x^2 \end{pmatrix}\]

Exercice 5 (3 points)

On pose \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\)

1. Calculer \(A^2\).

Corrigé
\[A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\]
\[A^2 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix}\]

2. Calculer \(A^2 - A - 2I_3\).

Corrigé
\[A^2 - A - 2I_3 = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} 3-1-2 & -1+1-0 & 1-1-0 \\ -1+1-0 & 3-1-2 & 1-1-0 \\ 1-1-0 & 1-1-0 & 3-1-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

3. En déduire une matrice \(B\) vérifiant \(A \times B = I_3\).

Corrigé

De \(A^2 - A - 2I_3 = O_3\), on obtient :

\[A^2 - A = 2I_3\]
\[A(A - I_3) = 2I_3\]
\[A \times \dfrac{A - I_3}{2} = I_3\]

Donc \(B = \dfrac{1}{2}(A - I_3)\) est l'inverse de \(A\).

\[B = \dfrac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 0 & 1/2 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{pmatrix}\]

Exercice 6 (3 points)

On considère la matrice \(A\) définie par : \(A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\)

et la suite un définie par \(u_0 = 0\) ; \(u_{n+1} = u_n + 2^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

Établir que pour tout entier naturel \(n\) non-nul, on a l'égalité :

\[A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}\]
Corrigé

Initialisation (\(n = 1\)) :

\(u_1 = u_0 + 2^0 = 0 + 1 = 1\)

\[A^1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^1 \end{pmatrix}\]

La propriété est vraie au rang 1.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang \(n \geq 1\), c'est-à-dire :

\[A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}\]

Calculons \(A^{n+1} = A^n \times A\) :

\[A^{n+1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^n \end{pmatrix}\]
\[A^{n+1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_n+2^n \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}\]

Or \(u_{n+1} = u_n + 2^n\), donc :

\[A^{n+1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & u_{n+1} \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{n+1} \end{pmatrix}\]

Conclusion : La propriété est vraie pour tout \(n \geq 1\) par récurrence.

**Remarque : ** La propriété est vraie, aussi, pour \(n=0\), on peut donc faire l'initialisation pour cette valeur.