Devoir sur les Matrices

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Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications

Durée : 1h

Exercice 1

On considère la matrice \(A=\left( \begin{array}{ccc} -3&4&2 \\-2&3&1\\2&-2&0 \end{array} \right)\).

1. a. Soit \(A^2=\left( \begin{array}{ccc} a&-4&-2 \\2&-1&b\\-2&2&2 \end{array} \right)\). Calculer \(a\) et \(b\) en détaillant votre calcul.

   b. Calculer \(A^2 + A - 2I_3\).

   c. En déduire que la matrice \(A\) est inversible puis déterminer la matrice \(A^{-1}\).

2. On considère le système suivant :

   \[\left \{ \begin{array}{cc} -3x + 4y + 2z = -2 \\-2x + 3y + z = 1\\2x - 2y = -4 \end{array} \right.\]

   Résoudre ce système à l'aide du calcul matriciel.

Correction

1. a. \(a= - 3 \times (-3) + 4 \times (-2) + 2 \times 2 = 5\) et \(b = -2 \times 2 + 3 \times 1 + 1 \times 0 = -1\)

b. \(A^2=\left( \begin{array}{ccc} 5&-4&-2 \\2&-1&-1\\-2&2&2 \end{array} \right)\) donc on trouve facilement que \(A^2 + A - 2I_3 = 0_3\).

c. D'après la question précédente, \(A^2 + A = 2I_3\) donc \(A \times \dfrac{1}{2} (A + I_3) = I_3\).

On en déduit que \(A\) est inversible et \(A^{-1} = \dfrac{1}{2} (A + I_3)\) et \(A^{-1}=\left( \begin{array}{ccc} -1&2&1 \\-1&2&\dfrac{1}{2}\\1&-1&\dfrac{1}{2} \end{array} \right)\)

1. Le système équivaut à l'equation \(A X = B\) où \(X = \left( \begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array} \right)\) et \(B = \left( \begin{array}{c} -2\\ 1\\ -4 \end{array} \right)\).

\(A\) est inversible donc cette équation a une solution qui est \(X = A^{-1} \times B\).

Ainsi, \(X = \left( \begin{array}{c} 0\\ 2\\ -5 \end{array} \right)\)

Exercice 2

On considère la matrice \(M=\left( \begin{array}{cc} 2&1 \\0&2 \end{array} \right)\).

1. Déterminer la matrice \(J\) telle que \(M = 2I_2 + J\).

2. Démontrer par un raisonnement par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\), \(M^n = 2^nI_2+n2^{n-1}J\)

Correction

1. On trouve \(J=\left( \begin{array}{cc} 0&1 \\0&0 \end{array} \right)\).

2. Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), on note \((H_n)\) la propriété : \(M^n = 2^nI_2+n2^{n-1}J\)

3. \(M^0 = I_2 = 2^0 I_2+0 \times 2^{n-1}J = I_2\) donc la propriété est initalisée.

4. On suppose la propriété vraie pour un certain \(n\) fixé.

\(M^{n+1}= M \times M^n = M \times ( 2^nI_2+n2^{n-1}J ) =2^n M+n2^{n-1} M \times J = 2^n (2I_2+J)+n2^{n-1}(2J+J^2)\)

Or \(J^2=O_2\)

D'où on trouve bien que \(M^{n+1}=2^{n+1}I_2+(n+1)2^nJ\). La propriété est héréditaire donc vraie pour tout entier \(n\).

Exercice 3 : Triangularisation d’une matrice

On considère la matrice \(A=\left( \begin{array}{cc} -1&-1 \\4&3 \end{array} \right)\).

1. Pour \(x\) un nombre réel, on pose \(P(x)=det (A-xI_2)\) (appelé polynôme caractéristique de la matrice \(A\)). Résoudre \(P(x)=0\) dans \(\mathbb{R}\). La matrice \((A-I_2)\) est-elle inversible ?

2. On pose \(P=\left( \begin{array}{cc} -1&0 \\2&1 \end{array} \right)\)

   a. Montrer que \(P\) est inversible et déterminer \(P^{-1}\).

   b. Calculer \(T=P^{-1}AP\).

3. Emettre une conjecture sur une expression de \(T^n\) pour tout \(n\) entier naturel non nul. Puis démontrer cette conjecture.

4. En déduire \(A^n\) pour \(n\) entier naturel non nul.

On considère la matrice \(A=\left( \begin{array}{cc} -1&-1 \\4&3 \end{array} \right)\).

Correction

1. On a \(A-xI_2=\left( \begin{array}{cc} -1-x&-1 \\4&3-x \end{array}\right)\) donc on en déduit que \(P(x)=det (A-xI_2) = x^2-2x+1=(x-1)^2\)

   \(P(x)=0\) a donc une unique solution : \(x=1\).

   \(det(A-I_2)=0\) donc \(A-I_2\) n'est pas inversible.

2. On pose \(P=\left( \begin{array}{cc} -1&0 \\2&1 \end{array} \right)\)

   a. \(det P =-1\neq0\) donc \(P\) est inversible et \(P^{-1} =\left( \begin{array}{cc} -1&0 \\2&1 \end{array} \right)=P\) .

   b. \(T=P^{-1}AP=\left( \begin{array}{cc} 1&1 \\0&1 \end{array} \right)\).

3. \(T^n=\left( \begin{array}{cc} 1&n \\0&1 \end{array} \right)\) qu'on démontre par récurrence.

4. On trouve \(A^n=PT^nP^{-1}=\left( \begin{array}{cc} -2n+1&-n \\4n&2n+1 \end{array} \right)\) pour \(n\) entier naturel non nul.