Devoir dans la Matrix

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Un soin particulier sera apporté à la rédaction et aux justifications

Durée : 1h

Exercice 1

On considère le système linéaire suivant :

\[(S) \quad \left \{ \begin{array}{cc} 2x-3y=5 \\-3x+5y=-2 \end{array} \right. \]

1. Écrire ce système sous la forme d’une égalité matricielle \(A \times X = B\)

2. La matrice \(A\) est-elle inversible ? Si oui calculer \(A^{-1}\).

3. Résoudre le système en utilisant le calcul matriciel.

Corrigé

1. Si on pose \(A=\left(\begin{array}{cc} 2 & -3 \\ -3 & 5 \end{array}\right), X = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) \text{ et } B= \left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \end{array}\right)\), on a alors \(A \times X = B\).

2. \(\text{det}(A) = 5 \times 2 - (-3) \times (-3) = 1 \neq 0\). La matrice A est donc inversible.

   On sait que \(\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\text{det} (A)} \left(\begin{array}{cc} d & -b \\ -c & a \end{array}\right)\) soit \(A^{-1} = \left(\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right)\).

3. A étant inversible, l'équation \(A \times X = B\), en multipliant par \(A^{-1}\) à gauche devient \(X = A^{-1} \times B\).

   Ainsi \(X = A^{-1} \times B = \left(\begin{array}{cc} 5 & 3 \\ 3 & 2 \end{array}\right) \times \left(\begin{array}{c} 5 \\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} 19 \\ 11 \end{array}\right)\)

   La solution du système est donc \(S=\{(19;11)\}\)

Exercice 2

Soit \(a\) un réel non nul. On considère la matrice \(A=\left( \begin{array}{cc} 1&a \\0&1 \end{array} \right)\).

Déterminer toutes les matrices carrées d'ordre 2 qui commutent avec \(A\).

Corrigé

Soit \(M = \left(\begin{array}{cc} x & y \\ z & t \end{array}\right)\) une matrice qui commute avec A.

On a alors \(A \times M = M \times A\)

D'un côté, \(AM = \left(\begin{array}{cc} x+az & y+at \\ z & t \end{array}\right)\)

D'un autre côté \(MA = \left(\begin{array}{cc} x & y + xa \\ z & az + t \end{array}\right)\)

Par identification, on trouve :

\(\left\{\begin{array}{l} x + az = x \\ y + at = y + xa \\ z = z \\ t = az + t\end{array}\right.\)

Ainsi, on en déduit que \(\left\{\begin{array}{l} z = 0 \\ t = x\end{array}\right.\)

Et donc les matrices qui commutent avec A sont de la forme : \(M = \left(\begin{array}{cc} x & y \\ 0 & x \end{array}\right)\) où \(x\) et \(y\) sont des nombres réels.

Exercice 3

Soit M la matrice \(M=\left( \begin{array}{cc} 1&-2 \\1&4 \end{array} \right)\).

1. Calculer en détaillant \(M^2\) et trouver des entiers \(\lambda\), \(\mu\) tels que \(M^2 = \lambda M+\mu I\) (\(I\) est la matrice identité).

2. Montrer par récurrence qu'il existe 2 suites d'entiers \((a_n)\) et \((b_n)\) tels que:

   \[\forall n \in \mathbb{N},\quad M^n=a_nM+b_nI\]

   Vous donnerez également la relation qui permet de calculer \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\)

3. Montrer que les suites \(u_n = 2a_n + b_n\) et \(v_n = 3a_n + b_n\) sont géométriques.

4. En déduire les expressions explicites de \(a_n\) et \(b_n\).

5. Donner alors une expression simplifiée de la matrice \(M^n\).

Corrigé

1. \(M^2=M \times M=\left( \begin{array}{cc} 1&-2 \\1&4 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{cc} 1&-2 \\1&4 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -1&-10 \\5&14 \end{array} \right)\)

   On résout \(\left( \begin{array}{cc} -1&-10 \\5&14 \end{array} \right)=\lambda \left( \begin{array}{cc} 1&-2 \\1&4 \end{array} \right)+ \mu \left( \begin{array}{cc} 1&0 \\0&1 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} \lambda+\mu&-2\lambda \\\lambda&4\lambda+\mu \end{array} \right)\)

   \(\Rightarrow \left \{ \begin{array}{c}\lambda=5\\-2\lambda=10\\\lambda+\mu=-1\\4\lambda+\mu=14 \end{array} \right. \Rightarrow \lambda=5 \quad \text{et} \quad \mu=-6\).

   D'où \(M^2=5M-6I\)

2. Soit \(\text{P}_{n}\) : \(«\; {M^n = a_nM+b_nI}\;»\)

   Initialisation:

   \(M^0=0 \times M+1 \times I\)

   Hérédité:

   Supposons que \(\text{P}_{n}\) soit vraie pour un rang \(n\) donné, montrons qu'alors \(\text{P}_{n + 1}\) est vraie.

   \(M^n = a_nM+b_nI\)

   \(\Rightarrow M^n \times M=(a_nM+b_nI)M=a_nM^2+b_nM\)

   \(\Rightarrow M^{n+1}=a_n(5M-6I)+b_nM\)

   \(\Rightarrow M^{n+1}=(5a_n+b_n)M-6a_nI\)

   On pose \(a_{n+1}=5a_n+b_n\) et \(b_{n+1}=-6a_n\)

   \(\Rightarrow M^{n+1}=a_{n+1}M+b_{n+1}I\)

   \(\Rightarrow \text{P}_{n + 1}\) est vraie.

   Conclusion:

   Par récurrence sur \(n\) , il existe dont bien deux suites \((a_n)\) et \((b_n)\) définies sur \(\mathbb{N}\) telles que \(M^n = a_nM+b_nI\) pour tout \(n\in \mathbb{N}\).

   Ces deux suites sont définies par

   \(a_0=0\), \(b_0=1\) car \(M^0=0 \times M+1 \times I\) et \(\left \{ \begin{array}{c} a_{n+1}=5a_n+b_n \\ b_{n+1}=-6a_n \end{array} \right.\).

3. Démonstrons que \((u_n)\) et \((v_n)\) sont géométriques.

   \(u_n=2a_n+b_n\)

   \(\Leftrightarrow u_{n+1}=2a_{n+1}+b_{n+1}\)

   \(\Leftrightarrow u_{n+1}=2(5a_n+b_n)-6a_n\)

   \(\Leftrightarrow u_{n+1}=4a_n+2b_n\)

   \(\Leftrightarrow u_{n+1}=2(2a_n+b_n)\)

   \(\Leftrightarrow u_{n+1}=2u_n\)

   \((u_n)\) est donc géométrique de raison \(2\) et de premier terme \(u_0=2a_0+b_0=1\).

   De même:

   \(v_n=3a_n+b_n\)

   \(\Leftrightarrow v_{n+1}=3a_{n+1}+b_{n+1}\)

   \(\Leftrightarrow v_{n+1}=3(5a_n+b_n)-6a_n\)

   \(\Leftrightarrow v_{n+1}=9a_n+3b_n\)

   \(\Leftrightarrow v_{n+1}=3(3a_n+b_n)\)

   \(\Leftrightarrow v_{n+1}=3v_n\)

   \((v_n)\) est donc géométrique de raison \(3\) et de premier terme \(v_0=3a_0+b_0=1\).

4. D'après ce qui précède, on peut écrire \(u_n=2^n\) et \(v_n=3^n\). D'où:

   \[\left \{ \begin{array}{c} 2a_n+b_n=2^n \\ 3a_n+b_n=3^n \end{array} \right.\]

   \(\Leftrightarrow \begin{array}{c} L_2-L_1 \\ 3L_1-2L_2 \end{array} \left \{ \begin{array}{c} a_n=3^n-2^n \\ b_n=3 \times 2^n-2 \times 3^n=6(2^{n-1}-3^{n-1}) \end{array} \right.\)

5. Expression de la matrice \(M^n\)

   On remplace \(a_n\) et \(b_n\) par leurs expressions dans \(M^n=a_nM+b_nI\).

   On obtient \(M^n=\left( \begin{array}{cc} 2^{n+1}-3^n&2^{n+1}-2 \times 3^n \\3^n-2^n&2 \times 3^n-2^n \end{array} \right)\)