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Devoir sur les matrices

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Durée: 55 min

Exercice 1

On considère les matrices \(A= \left(\begin{matrix}\text{–}4&6\\0&2\end{matrix}\right)\)  \(B=\left(\begin{matrix}\text{–}1&1\\0&0\end{matrix}\right)\)

  1. Calculer la matrice \(C=\dfrac 1 2A-3B\).

  2. Soit \(X\)  une matrice colonne à deux lignes. Que vaut \(\dfrac 1 2AX-3BX\) ?

Exercice 2

Soient les matrices \(E=\left(\begin{matrix}1&1\\\text{–}1&1\end{matrix}\right)\) et \(F=\left(\begin{matrix}0&1\\1&0\end{matrix}\right)\).

  1. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), Ă©crire la matrice \(M=xE+F\).

  2. Calculer \(M^2\)

  3. Pour quels \(x\)  a-t-on \(M^2=I_2\) ?

  4. Que vaut \(F^{2010}\) ?

Exercice 3

Soit \(G\) la matrice \(G\)= \(\left(\begin{matrix}0&0&0\\1&0&0\\\text{–}2&3&0\end{matrix}\right)\)

  1. Calculer \(G^2\) et \(G^3\). Que vaut \(G^{2010}\) ?

  2. Soit \(H=G-G^n\). Expliciter \(H\).

  3. Exprimer \(H^n\) en fonction de \(H\).