Devoir sur les matrices

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Durée: 55 min

Exercice 1

On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{cc}\text{–}4& 6\\ 0& 2\end{array}\right)$  $B=\left(\begin{array}{cc}\text{–}1& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$

1. Calculer la matrice $C={\displaystyle \frac{1}{2}}A-3B$.

2. Soit $X$  une matrice colonne à deux lignes. Que vaut ${\displaystyle \frac{1}{2}}AX-3BX$ ?

Exercice 2

Soient les matrices $E=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ \text{–}1& 1\end{array}\right)$ et $F=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$.

1. Pour tout $x\in \mathbb{R}$, écrire la matrice $M=xE+F$.

2. Calculer $M^2$

3. Pour quels $x$  a-t-on $M^2=I_2$ ?

4. Que vaut $F^{2010}$ ?

Exercice 3

Soit $G$ la matrice $G$= $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 1& 0& 0\\ \text{–}2& 3& 0\end{array}\right)$

1. Calculer $G^2$ et $G^3$. Que vaut $G^{2010}$ ?

2. Soit $H=G-G^n$. Expliciter $H$.

3. Exprimer $H^n$ en fonction de $H$.