Devoir d'arithmétique — Divisibilité et congruences

Durée : 1 heure

Exercice 1 (2 points)

Un entier naturel $n$ est tel que si on le divise par $5$ le reste vaut $3$ et si on le divise par $6$ le reste augmente de $1$ et le quotient diminue de $1$. Déterminer $n$.

Corrigé

Notons $q$ le quotient de la division de $n$ par 5 avec 3 pour reste.

Donc : $n = 5q + 3$

Pour la division par 6 :

Nouveau reste = $3 + 1 = 4$
Nouveau quotient = $q - 1$

Donc : $n = 6(q-1) + 4 = 6q - 6 + 4 = 6q - 2$

D'où $5q + 3 = 6q - 2$

$\Rightarrow 3 + 2 = 6q - 5q$

$\Rightarrow q = 5$

$\Rightarrow $n = 5 \times 5 + 3 = 28$

Réponse : $n = 28$

Exercice 2 (2.5 points)

On cherche les entiers $n$ tels que $n^2 + 3n + 7$ soit divisible par $n + 2$.

Déterminer le reste de la division de $n^2 + 3n + 7$ par $n + 2$.
En déduire tous les entiers $n$ solutions.

Corrigé

On factorise en fonction de $(n+2)$ :

$n^2 + 3n + 7 = n^2 + 2n + n + 7$

$= n(n+2) + n + 7$

$= n(n+2) + (n+2) - 2 + 7$

$= (n+2)(n+1) + 5$

Le reste est donc 5.

On doit avoir : $(n+2) | 5$

Les diviseurs de 5 sont : $\pm 1, \pm 5$

Donc $n + 2 \in \{-5, -1, 1, 5\}$

Ce qui donne : $n \in \{-7, -3, -1, 3\}$

Réponse : $n \in \{-7, -3, -1, 3\}$

Exercice 3 (3 points)

On note $N = 2^{2025} + 3^{2025}$.

Montrer que $N$ est divisible par $5$.
Donner le reste de la division de $N$ par $7$.

Corrigé

1. Montrer que $N$ est divisible par 5

Travaillons modulo 5 : $3 \equiv -2 \pmod{5}$

D'où : $N \equiv 2^{2025} + (-2)^{2025} \equiv 2^{2025} - 2^{2025} \equiv 0 \pmod{5}$

2. Reste de la division de $N$ par 7

Travaillons modulo 7 :

Pour $2$ :

$2^1 \equiv 2 \pmod{7}$
$2^2 \equiv 4 \pmod{7}$
$2^3 \equiv 8 \equiv 1 \pmod{7}$

Or $2025 = 3 \times 675$

Donc : $2^{2025} = (2^3)^{675} \equiv 1^{675} \equiv 1 \pmod{7}$

Pour $3$ :

$3^1 \equiv 3 \pmod{7}$
$3^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
$3^3 \equiv 27 \equiv -1 \pmod{7}$

Or $2025 = 3 \times 675$

Donc : $3^{2025} = (3^3)^{675} \equiv (-1)^{675} \equiv -1 \pmod{7}$

Ainsi : $N = 2^{2025} + 3^{2025} \equiv 1 \pmod{7} + -1 \pmod{7} \equiv 0 \pmod{7}$

Le reste de la division de $N$ par 7 est 0.

Exercice 4 (5 points)

On note $(E)$ l'ensemble des entiers naturels qui s'écrivent sous la forme $9 + a^2$.

1 - Étude de l'équation d'inconnue $a$ :

\[a^2 + 9 = 2^n\]

où $a \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 4$.

Montrer que si $a$ existe, alors il est impair.

Corrigé

Supposons que $a$ est pair, donc $a = 2k$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$.

Donc : $a^2 = 4k^2$

L'équation devient : $4k^2 + 9 = 2^n$

Le membre de gauche est impair (car $4k^2$ est pair et $9$ est impair). Le membre de droite $2^n$ est pair pour $n \geq 1$.

Contradiction. Donc $a$ doit être impair.
En raisonnant modulo 4, montrer que l'équation proposée n'a pas de solution.

Corrigé

Si $a$ est impair, alors $a = 2k + 1$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$.

Donc : $a^2 = (2k+1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 4(k^2 + k) + 1$

Ainsi : $a^2 \equiv 1 \pmod{4}$

L'équation donne : $a^2 + 9 = 2^n$

Modulo 4 : $a^2 + 9 \equiv 1 + 9 \equiv 10 \equiv 2 \pmod{4}$

Or pour $n \geq 4$ : $2^n = 2^4 \times 2^{n-4} = 16 \times 2^{n-4} \equiv 0 \pmod{4}$

On a donc : $2 \equiv 0 \pmod{4}$

Contradiction. L'équation n'a pas de solution.

2 - Étude de l’équation d’inconnue $a$ :

\[a^2 + 9 = 3^n\]

où $a \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 3$.

Montrer que si $n \geqslant 3$, $3^n$ est congru à $1$ ou à $3$ modulo $4$.
Corrigé

1. Montrer que si $n \geq 3$, $3^n \equiv 1$ ou $3 \pmod{4}$

On a : $3^n \equiv (-1)^n \pmod{4}$ et $3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{4}$

Donc :
- Si $n$ est impair : $3^n \equiv -1 \pmod{4} \equiv 3 \pmod{4}$
- Si $n$ est pair : $3^n \equiv 1 \pmod{4}$
Donc $3^n \equiv 1$ ou $3 \pmod{4}$ pour $n \geq 3$.
Montrer que si $a$ existe, il est pair et en déduire que nécessairement $n$ est pair.

Corrigé

Si $a$ est impair alors $a^2$ impair et $3^n-9$ est pair (différence de deux impairs).

Contradiction. Ce cas est impossible.

Conclusion : $a$ est pair

Si a est pair, $a = 2k$ pour un certain $k \in \mathbb{N}$ et $a^2 = 4k^2$.

D'où $a^2+9 \equiv 1 \pmod{4}$ or $3^n \equiv 1$ \pmod{4}$ uniquement si $n$ est pair.

Conclusion : $n$ est pair.
On pose $n = 2p$ où $p$ est un entier naturel, $p \geqslant 2$. Déduire d’une factorisation de $3^n - a^2$, que l'équation proposée n'a pas de solution.
Corrigé

On pose $n = 2p$ où $p \geq 2$.

L'équation devient : $a^2 + 9 = 3^{2p} = (3^p)^2$

Donc : $(3^p)^2 - a^2 = 9$

Factorisation : $(3^p - a)(3^p + a) = 9$

Comme $a$ est pair et positif, et $3^p$ est impair, on a $3^p - a$ et $3^p + a$ sont tous deux impairs.

Les diviseurs positifs de 9 sont : $1, 3, 9$.

Les couples $(d_1, d_2)$ avec $d_1 \times d_2 = 9$ et $d_1, d_2$ impairs sont :
- $(1, 9)$
- $(3, 3)$
- $(9, 1)$
Cas $(1, 9)$ : $\(\begin{cases} 3^p - a = 1 \\ 3^p + a = 9 \end{cases}$\)

Addition : $2 \times 3^p = 10 \Rightarrow 3^p = 5$

Impossible car $3^p$ est une puissance de 3.

Cas $(3, 3)$ : $\(\begin{cases} 3^p - a = 3 \\ 3^p + a = 3 \end{cases}$\)

Addition : $2 \times 3^p = 6 \Rightarrow 3^p = 3 \Rightarrow p = 1$

Mais $p \geq 2$ (car $n \geq 3$ et $n = 2p$, donc $p \geq 2$). Contradiction.

Cas $(9, 1)$ : $\(\begin{cases} 3^p - a = 9 \\ 3^p + a = 1 \end{cases}$\)

Addition : $2 \times 3^p = 10 \Rightarrow 3^p = 5$

Impossible.

Conclusion : L'équation n'a pas de solution.

Devoir d'arithmétique — Divisibilité et congruences

Exercice 1 (2 points)

Exercice 2 (2.5 points)

Exercice 3 (3 points)

Exercice 4 (5 points)

1 - Étude de l'équation d'inconnue \(a\) :

2 - Étude de l’équation d’inconnue \(a\) :