Devoir surveillé – Nombres complexes

Durée : 1h

Calculatrice pas autorisée

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O;\vec u,\vec v)$.

Exercice 1 – Calculs et géométrie (7 points)

On considère les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives : $z_A = 1+i,\qquad z_B = 3-i,\qquad z_C = -1-i.$

Calculer $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$

Corrigé

On a $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}= \dfrac{2-2i}{-2-2i}$

Or $(-2-2i)\times i = -2i + 2 = 2 - 2i$ donc $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A} = i$.
En déduire une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$.

Corrigé

On a $\arg\left(\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}\right) = \arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$.

et $\arg\left(\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}\right)=\arg{z_{\overrightarrow{AB}}}-\arg{z_{\overrightarrow{AC}}}=(\vec{u},\overrightarrow{AB})-(\vec{u},\overrightarrow{AC})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})=\dfrac{\pi}{2}$ et une mesure de l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ est $-\dfrac{\pi}{2}$.
Calculer les longueurs $AB$, $AC$ et $BC$.

Corrigé

On a $AB = |z_B - z_A| = |2 - 2i| = 2\sqrt{2}$, $AC = |z_C - z_A| = |-2 - 2i| = 2\sqrt{2}$ et $BC = |z_C - z_B| = |-4| = 4$.
En déduire la nature du triangle $ABC$.

Corrigé

Le triangle $ABC$ est isocèle en $A$ car $AB = AC$ et rectangle en $A$ car l'angle $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ mesure $-\dfrac{\pi}{2}$.

$ABC$ est donc iso-rectangle en $A$.
Déterminer l'affixe de $D$ tel que le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme.

Corrigé

On a $z_D -z_C=z_A - z_B \implies z_D= z_C +z_A-z_B = -3+i$.

Exercice 2 – Transformation complexe (13 points)

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct $(O;\vec u,\vec v)$.

On désigne par $A$ le point d'affixe $i$ et par $f$ l'application du plan dans lui-même qui à tout point $M$ d'affixe $z$, distinct de $i$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :

\[z' = \dfrac{z - i}{\bar{z} + i}.\]

a. Calculer l'affixe du point $B'$, image du point $B$ d'affixe $2 - i$ par l'application $f$.

Placer les points $B$ et $B'$ sur une figure que l'on fera sur la copie.

Corrigé

On a $z_{B'} = \dfrac{2 - 2i}{2 + 2i}$.

Or $(2 + 2i)\times (-i) = 2 - 2i$ donc $z_{B'} = - i$.

b. Démontrer que l'application $f$ n'admet pas de point invariant. On rappelle qu'un point invariant est un point confondu avec son image.

Corrigé

Soit $M$ un point d'affixe $z$ invariant par $f$. On a donc :

\[z = \dfrac{z - i}{\bar{z} + i}.\]

Ce qui équivaut à $z(\bar{z} + i) = z - i$ soit $z\bar{z} + iz = z - i$.

On pose $z=x + iy$ avec $x,y \in \mathbb{R}$. On a donc :

\[x^2 + y^2 + i(x + iy) = x + iy - i.\]

En identifiant les parties réelles et imaginaires, on obtient le système :

\[\left\{\begin{array}{l} x^2 + y^2 -y-x=0 \\ y = x + 1 \end{array}\right.\]

En remplaçant $y$ par $x + 1$ dans la première équation, on obtient :

\[x^2 + (x + 1)^2 - (x + 1) -x= 0\]

soit $2x^2= 0 \implies x = 0$ et donc $y = 1$.

Le seul point invariant serait donc le point d'affixe $i$, or ce point n'appartient pas au domaine de définition de $f$.
a. Vérifier que, pour tout nombre complexe $z$, $\overline{z - i} = \overline{z} + i$.

Corrigé

On a $\overline{z - i} = \overline{z} - \overline{i} = \overline{z} + i$.

b. Démontrer que $OM' = 1$ et interpréter géométriquement ce résultat.

Corrigé

On a $OM' = |z'| = \left|\dfrac{z - i}{\bar{z} + i}\right| = \dfrac{|z - i|}{|\bar{z} + i|}$.

Or, d'après la question précédente, $|\bar{z} + i| = |\overline{z - i}| = |z - i|$.

Donc $OM' = \dfrac{|z - i|}{|z - i|} = 1$.

Géométriquement, cela signifie que l'image de tout point $M$ distinct de $A$ par l'application $f$ appartient au cercle de centre $O$ et de rayon $1$.

c. Démontrer que pour tout point $M$ distinct de $A$,

\[(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = 2(\vec u,\overrightarrow{AM}) + 2k\pi \quad \text{où $k$ est un entier relatif}.\]

Corrigé

On a $(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = \arg(z') = \arg\left(\dfrac{z - i}{\bar{z} + i}\right) = \arg(z - i) - \arg(\bar{z} + i)$.

Or, d'après la question 2.a., $\arg(\bar{z} + i) = \arg(\overline{z - i}) = -\arg(z - i) + 2k\pi$ où $k$ est un entier relatif.

Donc $(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = \arg(z - i) - (-\arg(z - i) + 2k\pi) = 2\arg(z - i) - 2k\pi$.

Or, $\arg(z - i) = (\vec u,\overrightarrow{AM})$.

Donc $(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = 2(\vec u,\overrightarrow{AM}) + 2k\pi$ où $k$ est un entier relatif.

d. En déduire une méthode de construction de l'image $M'$ d'un point quelconque $M$ distinct de $A$.
Corrigé

Pour construire l'image $M'$ d'un point $M$ distinct de $A$ :
1. Tracer le segment $AM$.
2. Mesurer l'angle $(\vec u,\overrightarrow{AM})$.
3. Calculer $2(\vec u,\overrightarrow{AM})$.
4. Placer le point $M'$ sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ tel que l'angle $(\vec u,\overrightarrow{OM'})$ mesure $2(\vec u,\overrightarrow{AM})$.
Soit $(d)$ la droite passant par le point $A$ et dont un vecteur directeur est le vecteur $\vec w$ d'affixe $e^{i\frac{\pi}{6}}$.

a. Dessiner la droite $(d)$.

b. Déterminer l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point $A$.

Corrigé

Soit $M$ un point de la droite $(d)$ distinct de $A$. On a :

\[(\vec u,\overrightarrow{AM}) = \dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad \text{où $k$ est un entier relatif}.\]

Donc, d'après la question 2.c.,

\[(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = 2\left(\dfrac{\pi}{6} + k\pi\right) + 2m\pi = \dfrac{\pi}{3} + 2(k + m)\pi \quad \text{où $m$ est un entier relatif}.\]

De plus, d'après la question 2.b., $OM' = 1$.

Ainsi, l'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point $A$ est l'ensemble des points $M'$ tels que $OM' = 1$ et $(\vec u,\overrightarrow{OM'}) = \dfrac{\pi}{3} + 2n\pi$ où $n$ est un entier relatif.

On obtient $2$ points distincts situés sur le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : les points d'affixes $e^{i\frac{\pi}{3}}$ et $e^{i\left(\frac{\pi}{3} + \pi\right)} = e^{i\frac{4\pi}{3}}$.

L'image par l'application $f$ de la droite $(d)$ privée du point $A$ est donc l'ensemble constitué de ces deux points.