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# Devoir de Mathématiques sur les nombres complexes L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé. Durée : 55 min

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Exercice 1

Dans chaque cas :

• Reconnaitre un polynôme de la forme \(z^n-a^n\)
• Factoriser ce polynôme par \(z-a\):

• Résoudre \(P(z)=0\)

• \(P(z)=z^3-1\)

• \(P(z)=z^3+8i\)

Corrigé

1. \(1\) est racine évidente, on peut récrire \(P(z)=z^3-1^3=(z-1)(1+z+z^2)\)

   \(j=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(\overline{j}=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\) sont racines de \(1+z+z^2=0\)

   D'où l'ensemble \(S\) des solutions de \(P(z)=0\):

   \[S=\left\{ 1,j,\overline{j} \right\}\]

2. On a \((2i)^3=-8i \Rightarrow P(z)=z^3+8i=z^3-(2i)^3=(z-2i)(z^2+2iz-4)\)

   En calculant \(\Delta\), on trouve l'ensemble \(S\) des solutions de \(P(z)=0\):

   \[S=\left\{ 2i,-i-\sqrt{3},-i+\sqrt{3} \right\}\]

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Exercice 2

On cherche à résoudre l'équation

\[z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = 0.\]

1. Rechercher une solution imaginaire pure \(ai\) à l'équation.

2. Déterminer \(b, c \in \mathbb{R}\) tels que

   \[z^3 + (1+i)z^2 + (i-1)z - i = (z-ai)(z^2 + bz + c).\]

3. En déduire toutes les solutions de l'équation.

Corrigé

1. \((ai)^3+(1+i)(ai)^2+(1-i)ai-i=-a^3i-a^2-a^2i-ai-a-i\)

   Si \(ai\) est solution de l'équation alors on doit avoir \(a+a^2=a(1+a)=0\) et \(-a^3-a^2-a-1=0\) simultanément.

   \(a=-1\) est la seule valeur qui vérifie les deux équations et donc \(-i\) est la solution imaginaire pure de l'équation.

2. Avec une division euclidienne, on obtient \(b=1\) et \(c=-1\).

3. On résout \(z^2+z-1=0\)

   C'est une équation du second degré avec \(\Delta=5\)

   D'où l'ensemble \(S\) des solutions de l'équation \(S=\left\{ -i,\dfrac{-1-\sqrt{5}}{2},\dfrac{-1+\sqrt{5}}{2} \right\}\)

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Exercice 3

1. Après avoir écrit les nombre complexes suivants sous forme exponentielle, calculer pour chacun leurs deux "racines carrées".

   \[z_1=-\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \text{ et } z_2=-\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\]

2. En déduire les solutions de l'équation :

   \[z^4 + z^2 + 1 = 0.\]

Corrigé

1. On reconnait \(z_1=e^{i\frac{2\pi}{3}}\) et \(z_2=e^{-i\frac{2\pi}{3}}\)

   On déduit donc \(z_{11}=e^{i\frac{\pi}{3}}\) et \(z_{12}=-e^{i\frac{\pi}{3}}\) tels que \(z_{11}^2=z_{12}^2=z_1\)

   De même, \(z_{21}=e^{-i\frac{\pi}{3}}\) et \(z_{22}=-e^{-i\frac{\pi}{3}}\) tels que \(z_{21}^2=z_{22}^2=z_2\)

2. On pose \(z^2=Z\) d'où \(z^4+z^2+1=0 \Leftrightarrow Z^2+Z+1=0\)

   On reconnait une équation bien connue (vue dans l'exercice 1):

   Les solutions sont \(Z_1=\dfrac{-1+i\sqrt{3}}{2}\) et \(Z_2=\dfrac{-1-i\sqrt{3}}{2}\).

   L'ensemble \(S\) des solutions en \(z\) s'écrit alors \(S=\left\{ e^{i\frac{\pi}{3}},-e^{i\frac{\pi}{3}},e^{-i\frac{\pi}{3}}, -e^{-i\frac{\pi}{3}} \right\}\)

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Exercice 4

Soit l'équation \((E_n)\) avec \(n \in \mathbb{N}\):

\[z^n = \overline{z}\]

1. Résoudre \(E_0\) et \(E_1\).

2. Résoudre \(E_n\) pour \(n \geqslant 2\).

Corrigé

1. \(z^0=1 \Rightarrow \overline{z}=1 \Rightarrow z=1 \Rightarrow S=\left\{ 1 \right\}\)

   \(z^1=z \Rightarrow \overline{z}=z \Rightarrow z\) est un nombre réel \(S=\mathbb{R}\)

2. \(z^n = \overline{z}\)

   \(0\) et \(1\) sont deux solutions particulières de cette équation.

   Si \( z \neq 0 \) et \( z \neq 1 \)

   \(z^n = \bar{z} \Leftrightarrow \begin{cases} |z^n| = |\bar{z}| \\ \arg(z^n) = \arg(\bar{z})[2\pi] \end{cases}\)

   \(\phantom{z^n = \bar{z}} \Leftrightarrow \begin{cases} |z|^n = |z| \\ n \times \arg(z) = -\arg(z)[2\pi] \end{cases}\)

   \(\phantom{z^n = \bar{z}} \Leftrightarrow \begin{cases} |z| = 0 \text{ ou } |z| = 1 \\ (n + 1) \times \arg(z) = 0[2\pi] \end{cases}\)

   \(\phantom{z^n = \bar{z}} \Leftrightarrow \begin{cases} |z| = 1 \\ \arg(z) = 0 + \frac{2k\pi}{n + 1} \end{cases}\)

   Donc \(S = \left\{0\right\} \cup \left\{ e^{\frac{2k\pi i}{n+1}}, k \in \{0; 1; 2; \ldots; n\} \right\}\).

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