Devoir de Mathématiques sur les nombres complexes.

L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, dont au moins une est correcte. Il faut entourer la (ou les) réponse(s) correcte(s) pour chaque question. Aucune justification n'est demandée.

Attention, toute réponse incorrecte et entourée sera pénalisée de 0,25 points.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \(({\text{O};\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}})\).

Soit \(a\) un nombre réel, alors la forme exponentielle du nombre complexe \(\sin(a) - i \cos (a)\) est:

a) \(e^{i(a+\pi)}\) b) \(e^{-ia}\)

c) \(e^{i(a+\frac{\pi}{2})}\) d) \(e^{i(a-\frac{\pi}{2})}\)
Dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation \({ { {z - \bar{z}} + 2} - 4}{\text{i} = 0}\) admet:

a) une unique solution b) aucune solution

c) une infinité de solutions d) deux solutions
Soit \(z\) le nombre complexe d'affixe \({({1 + \text{i}})}^{4}\). L'écriture exponentielle de \(z\) est:

a) \(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\pi}\) b) \(4\text{e}^{\text{i}\pi}\)

c) \(\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\) d) \(4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\)
L'ensemble des points \(\text{M}\) du plan d'affixe \({z = {x + \text{i}}}y\) tels que \({\mid { {z - 1} + \text{i}} \mid} = {\mid {\sqrt{3} - \text{i}} \mid}\) est:

a) La médiatrice du segment \([\text{AB}]\) avec \(\text{A}(1-i)\) et \(\text{B}(-\sqrt{3}+i)\)

b) Le cercle de centre \(\text{A}(-1+i)\) et de rayon \(\sqrt{2}\)

c) le cercle de diamètre \(\lbrack\text{CD}\rbrack\) avec \(\text{C}(-1-i)\) et \(\text{D}(3-i)\)

d) Le cercle de centre \(\text{A}(1-i)\) et de rayon \(2\)
Le nombre complexe \((\sqrt{3} + i)^n\) est un imaginaire pur :

a) Pour tous les entiers \(n\) non nuls

b) Pour tous les entiers \(n\) pairs

c) Pour tous les \(n \equiv 3 [6]\)

d) Pour \(n = 33\)
Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) trois points du plan complexe d'affixes respectives:

\(\text{Z}_{\text{A}} = { {- 1} - \text{i}}\) ; \({\text{Z}_{\text{B}} = {2 - 2}}\text{i}\) et \({\text{Z}_{\text{C}} = {1 + 5}}\text{i}\). On pose \(\text{Z} = \frac{\text{Z}_{\text{C}} - \text{Z}_{\text{A}}}{\text{Z}_{\text{B}} - \text{Z}_{\text{A}}}\).

a) \(\text{Z}\) est un nombre réel.

b) Le triangle \(\text{ABC}\) est isocèle en \(\text{A}\).

c) Le triangle \(\text{ABC}\) est rectangle en \(\text{A}\).

d) Le point \(\text{M}\) d'affixe \(\text{Z}\) appartient à la médiatrice du segment \(\lbrack\text{BC}\rbrack\).
Pour tout entier \(n\), on pose \(z = { {({ {1 + \text{i}}\sqrt{3}})}^{n} - {({ {1 - \text{i}}\sqrt{3}})}^{n}}\) alors:

a) \(z\) est réel

b) \(z\) est imaginaire pur

c) \(z = 2^{n}\)

d) Si \(n\) est un multiple de 3, alors \(z\) est nul.
\(\text{A}{(1)}\), \(\text{B}{({- 1})}\), \(\text{M}{(z)}\) et \(\text{M}'{({z'})}\) avec \(z{' = \frac{z - 1}{1 - \bar{z}}}\).

On note \(f\) l'application \(\text{M} \mapsto \text{M}'\). \(\text{O}\) est le centre du repère.

a) Le point \(\text{Q}{({2 - \text{i}})}\) est un antécédent de \(\text{Q}'{(\text{i})}\) par \(f\).

b) Le point \(\text{Q}{({2 - \text{i}})}\) est le seul antécédent de \(\text{Q}'{(\text{i})}\) par \(f\).

c) Tous les points de la droite d'équation \(x = 1\) et distincts de \(\text{A}\) ont la même image par \(f\).

d) \(\text{M'}\) appartient au cercle de centre \(\text{O}\) et de rayon \(1\).
Soit \(z=\dfrac{(1-i)^{10}}{(1+i\sqrt{3})^4}\), alors:

a) \(\mid z \mid=2\)

b) \(\mid z \mid=\dfrac{1}{2}\)

c) \(\arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{6} \; [2\pi]\)

d) \(\arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{6} \; [2\pi]\)