Devoir sur les nombres complexes 2024-2025
L'usage de la calculatrice est autorisé
Exercice 1
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut u\,}~,~\overrightarrow{\,\mathstrut v\,}\right)\).
On considère le nombre complexe \(c = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) et les points \(\text{S}\) et \(\text{T}\) d'affixes respectives \(c^2\) et \(\dfrac{1}{c}\).
Affirmation 1 :
Le nombre \(c\) peut s'écrire \(c = \dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)\).
Corrigé
\(c=\dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}=\dfrac{1}{2}\left(\cos{\dfrac{\pi}{3}}+i \sin{\dfrac{\pi}{3}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2}+i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\dfrac{1}{4}\left(1 - \text{i}\sqrt{3}\right)\)
ou bien :
La partie imaginaire de \(\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\) est positive.
FAUX
Affirmation 2 :
Pour tout entier naturel \(n\), \(c^{3n}\) est un nombre réel.
Corrigé
\(c^{3n}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3n} \times \text{e}^{\text{i}\frac{3 n\pi}{3}}=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3n} \times \text{e}^{\text{i}{n\pi}}\) Or \(\text{e}^{\text{i}{n\pi}}=1\) pour \(n\) pair et \(\text{e}^{\text{i}{n\pi}}=-1\) pour \(n\) impair.
VRAI
Affirmation 3 :
Les points \(\text{O}\), \(\text{S}\) et \(\text{T}\) sont alignés.
Corrigé
D'après les propriétés sur les arguments, \(\arg(c^2)=\dfrac{2\pi}{3}\) et \(\arg\left(\dfrac{1}{c}\right)=-\dfrac{\pi}{3}\)
Comme \((\overrightarrow{OS},\overrightarrow{OT})=(\overrightarrow{OS},\overrightarrow{u})+(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OT})=(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OT})-(\overrightarrow{u},\overrightarrow{OS})=-\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{2\pi}{3}=-\pi\), les points \(\text{O}\), \(\text{S}\) et \(\text{T}\) sont alignés.
VRAI
Affirmation 4 :
Pour tout entier naturel non nul \(n\),
Corrigé
On reconnaît une propriété du module, on a \(\left|c^n \right|=\left|c \right|^n\) et, d'après l'écriture exponentielle de \(c\), on a \(\left|c \right|=\dfrac{1}{2}\)
En utilisant la formule de la somme des termes d'une suite géométrique, on obtient:
\(|c| + \left|c \right|^2 + \ldots + \left|c \right|^n=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}}=1 - \left(\dfrac{1}{2} \right)^n\)
VRAI
Exercice 2
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut u\,}~,~\overrightarrow{\,\mathstrut v\,}\right)\) d'unité 2 cm. On appelle \(f\) la fonction qui, à tout point \(M\), distinct du point O et d'affixe un nombre complexe \(z\), associe le point \(M'\) d'affixe \(z'\) tel que:
-
On considère les points \(\text{A}\) et \(\text{B}\) d'affixes respectives \(z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\) et \(z_{\text{B}} = \dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}\).
a. Déterminer la forme algébrique de l'affixe du point \(\text{A'}\) image du point \(\text{A}\) par la fonction \(f\).
Corrigé
On a \(z_{\text{A'}}=-\dfrac{1}{-1+i}=-\dfrac{-1-i}{(-1+i)(-1-i)}=\dfrac{1+i}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\)
b. Déterminer la forme exponentielle de l'affixe du point \(\text{B'}\), image du point \(\text{B}\) par la fonction \(f\).
Corrigé
\(z_{\text{B'}}=-\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}}=(-1) \times 2 \times \text{e}^{\text{-i}\frac{\pi}{3}}=\text{e}^{\text{i}\pi} \times 2 \times \text{e}^{\text{-i}\frac{\pi}{3}}=2 \times \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}\)
c. Sur la copie, placer les points \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{A'}\) et \(\text{B'}\) dans le repère orthonormé direct \(\left(\text{O}~;~\overrightarrow{\,\mathstrut u\,}~,~\overrightarrow{\,\mathstrut v\,}\right)\). Pour les points \(\text{B}\) et \(\text{B'}\), on laissera les traits de construction apparents.
Corrigé
-
Soit \(r\) un réel strictement positif et \(\theta\) un réel. On considère le complexe \(z\) défini par \(z = r\text{e}^{\text{i}\theta}\).
a. Montrer que \(z' = \dfrac{1}{r}\text{e}^{\text{i}(\pi - \theta)}\).
Corrigé
\(z'=-\dfrac{1}{r\text{e}^{\text{i}\theta}}=(-1) \times \dfrac{1}{r} \times \text{e}^{\text{-i}\theta}=\text{e}^{\text{i}\pi} \times \dfrac{1}{r} \times \text{e}^{\text{-i}\theta}=\dfrac{1}{r} \times \text{e}^{\text{i}(\pi-\theta)}\)
b. Est-il vrai que si un point \(\text{M}\), distinct de \(\text{O}\), appartient au disque de centre \(\text{O}\) et de rayon 1 sans appartenir au cercle de centre \(\text{O}\) et de rayon 1, alors son image \(\text{M'}\) par la fonction \(f\) est à l'extérieur de ce disque ? Justifier.
Corrigé
\(0<\text{OM}<1 \Leftrightarrow 0<r<1 \Rightarrow \dfrac{1}{r}>1\) (car \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) est décroissnte sur \(\mathbb{R}^{+*}\))
Le point \(\text{M'}\) d'affixe \(z'\) est donc bien à l'extérieur du disque de centre \(\text{O}\) et de rayon 1.
-
Soit le cercle \(\Gamma\) de centre \(\text{K}\) d'affixe \(z_{\text{K}} = -\dfrac{1}{2}\) et de rayon \(\dfrac{1}{2}\).
a. Montrer qu'une équation cartésienne du cercle \(\Gamma\) est \(x^2 + x + y^2 = 0\).
Corrigé
\(\text{M}(x+iy) \in \Gamma \Leftrightarrow \text{KM}=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left|z_{\overrightarrow{KM}}\right|=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow \left|z_{\overrightarrow{KM}}\right|^2=\dfrac{1}{4}\)
Or \(z_{\overrightarrow{KM}}=x-\dfrac{1}{2}+iy \Rightarrow \left|z_{\overrightarrow{KM}}\right|^2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2\)
D'où \(\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+y^2=\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow x^2-x+y^2=0\)
b. Soit \(z = x + \text{i}y\) avec \(x\) et \(y\) non tous les deux nuls.
Déterminer la forme algébrique de \(z'\) en fonction de \(x\) et \(y\).
Corrigé
\(z'=-\dfrac{1}{x+iy}=-\dfrac{x-iy}{x^2+y^2}=\dfrac{-x}{x^2+y^2}+i\dfrac{y}{x^2+y^2}\)
c. Soit \(\text{M}\) un point, distinct de \(\text{O}\), du cercle \(\Gamma\).
Montrer que l'image \(\text{M'}\) du point \(\text{M}\) par la fonction \(f\) appartient à la droite d'équation \(x = 1\).
Corrigé
\(M \in \Gamma \Leftrightarrow x^2+y^2=x\), l'écriture de \(z'\) est alors:
\(z'=\dfrac{-x}{x}+i\dfrac{y}{x}=-1+i\dfrac{y}{x}\)
La partie réelle de \(z'\) étant égale à \(-1\), cela implique que le point \(\text{M'}\) appartient à la droite d'équation \(x = 1\).