Feuille d'exercices de première : Trigonométrie
Le radian - Arcs de cercle
Ex 1 : Conversion
Compléter le tableau suivant :
| Mesure en degré | 90 | 210 | 15 | 120 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Mesure en radian | \(\dfrac{2\pi}{5}\) | \(\dfrac{5\pi}{6}\) | \(\dfrac{45\pi}{2}\) |
Ex 2 : Longueurs d'arcs de cercle
Calculer les longueurs d'arcs de cercle dans les cas suivants :
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Un arc de cercle de diamètre 5 cm et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) rad.
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Un arc de cercle d'angle 210° et de rayon unitaire.
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Un arc de cercle de rayon 20 cm et d'angle \(\dfrac{2\pi}{5}\) rad.
-
Un arc de cercle de rayon unitaire et d'angle 150°.
Ex 3 : Angle au centre
Sur un cercle de rayon R, déterminer la mesure en degré des angles des arcs de cercle de longueur L dans chacun des cas suivants :
-
\(R = 5\) et \(L = \pi\)
-
\(R = 0,5\) et \(L = \dfrac{\pi}{6}\)
-
\(R = 10\) et \(L = \dfrac{20\pi}{3}\)
Ex 4 : Cadran d'horloge
Un cadran d'horloge dispose de deux aiguilles. Celle des minutes mesure 12 cm et celle des heures 6 cm.
Calculer la distance parcourue par l'extrémité de la grande aiguille depuis midi lorsqu'il est :
-
12h05
-
12h25
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13h15
-
16h32
L'enroulement de la droite numérique
Ex 5 : QCM
Dans chaque question, déterminer la (ou les) bonne(s) réponses.
1. Le sens trigonométrique est :
a) le sens des aiguilles d'une montre
b) le sens direct
c) le sens inverse des aiguilles d'une montre
d) le sens indirect
2. Le cercle trigonométrique est tel que :
a) son rayon vaut \(\pi\)
b) son diamètre vaut 2
c) son périmètre vaut 360°
d) son périmètre vaut \(2\pi\)
3. Si un segment est enroulé dans le sens trigonométrique autour du cercle trigonométrique les longueurs associées seront :
a) positives
b) négatives
c) de signe quelconque
4. Après enroulement sur le cercle trigonométrique, deux points \(x\) et \(y\) de la droite numérique :
a) espacés de \(3\pi\) ne sont pas situés sur le même point du cercle
b) espacés de 360° ne sont pas situés sur le même point du cercle
c) sont situés sur le même point du cercle que s'ils sont espacés d'un multiple de \(2\pi\)
d) espacés de 0° sont situés sur le même point du cercle
Ex 6 : Vrai ou faux
Soit le plan muni d'un repère (O,I,J) et du cercle trigonométrique.
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Après enroulement sur le cercle trigonométrique, tous les points de la droite numérique correspondant aux réels du type \(k \times 2\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) coïncident avec le point I.
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Après enroulement sur le cercle trigonométrique, tous les points de la droite numérique correspondant aux réels du type \(\pi + k \times 2\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) coïncident avec le point I.
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Après enroulement sur le cercle trigonométrique, aucun point de la droite numérique ne peut correspondre au point O.
-
Après enroulement sur le cercle trigonométrique dans le sens direct, tous les points de la droite numérique correspondant aux réels du type \(\dfrac{\pi}{2} + k \times 2\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\) coïncident avec le point J.
Ex 7 : Se repérer sur le cercle trigonométrique
Placer sur le cercle trigonométrique les points ci-dessous correspondants, après enroulement autour du cercle trigonométrique, aux abscisses suivantes de la droite numérique :
| Points | A | B | C | D | E | F | G | H |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Abscisses | 0 | \(\dfrac{2\pi}{3}\) | \(-\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(-2000\pi\) | \(\dfrac{7\pi}{3}\) | \(\dfrac{-5\pi}{4}\) | \(11\pi\) |
Ex 8 : Même point-image ?
Indiquer, en justifiant la réponse, si les deux réels de chaque couple ont le même point-image sur le cercle trigonométrique.
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\(\dfrac{18\pi}{5}\) et \(\dfrac{3\pi}{5}\)
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\(\dfrac{-7\pi}{3}\) et \(\dfrac{7\pi}{3}\)
-
\(\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{-19\pi}{6}\)
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\(\dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{15\pi}{4}\)
Sinus et cosinus d'un nombre réel
Ex 9 : Vrai ou faux
Soit le plan muni d'un repère (O,I,J) et du cercle trigonométrique.
Soit M le point du cercle trigonométrique correspondant à \(x\) après enroulement de la droite numérique.
-
L'abscisse du point M est \(\sin x\).
-
L'ordonnée du point M est \(\sin x\).
-
La longueur du segment [OM] est \(2\pi\).
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L'ordonnée du point M est comprise entre -1 et 1.
-
L'abscisse du point M est positive.
Ex 10 : Vrai ou faux
Soit \(x\) un réel quelconque.
-
\(\cos x + \sin x = 1\)
-
\(-1\leqslant\sin x\leqslant1\)
-
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
-
\(\cos(-x) = \sin x\)
-
\(0 \leqslant \cos x \leqslant 1\)
-
\(\cos x \leqslant \sin x\)
-
\(\sin(x + 2k\pi) = \sin x\), \(k \in \mathbb{R}\)
-
\(\sin (-x) = -\sin (x)\)
Ex 11 : Valeurs exactes de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\)
Soit le plan muni d'un repère \((O,I,J)\) et du cercle trigonométrique. M est un point du cercle trigonométrique associé au réel \(\dfrac{\pi}{4}\).
\(H\) et \(K\) sont les projetés orthogonaux de \(M\) respectivement sur \((OI)\) et \((OJ)\).
-
Quelle est la nature du triangle \(OMH\) ?
-
En déduire la valeur exacte de \(\cos(\dfrac{\pi}{4})\), puis celle de \(\sin(\dfrac{\pi}{4})\)
Ex 12 : Valeurs exactes de \(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\) et \(\sin \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\)
Soit le plan muni d'un repère (O,I,J) et du cercle trigonométrique. M est un point du cercle trigonométrique associé au réel \(\dfrac{\pi}{3}\).
H et K sont les projetés orthogonaux de M respectivement sur \((OI)\) et \((OJ)\).
-
Quelle est la nature du triangle \(OMI\) ?
-
Que peut-on alors dire de la hauteur \((MH)\) du triangle \(OMI\) ?
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En déduire la longueur OH, puis la valeur exacte de \(\cos \left( \dfrac{\pi}{3} \right)\).
-
Calculer la valeur exacte de \(\sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)\).
Ex 13 : Signe du cosinus ou du sinus
Donner le signe du sinus ou du cosinus dans chacun des cas suivants :
a) \(\sin x\) et \(x \in [0;\pi]\)
b) \(\cos x\) et \(x \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\)
c) \(\sin x\) et \(x \in [-\pi;0]\)
d) \(\cos x\) et \(x \in [\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}]\)
Ex 14 : Un peu de logique
-
Si \(\cos x = \dfrac{1}{2}\), alors \(x = \dfrac{\pi}{3}\)
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Si \(x = \dfrac{\pi}{4}\), alors \(\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
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Si \(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) ou \(\sin x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\), alors \(x = \dfrac{2\pi}{3}\)
-
Si \(\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\sin x = \dfrac{1}{2}\), alors \(x = \dfrac{5\pi}{6}\)
-
Si \(\cos(2x) = \cos(2y)\), alors \(\cos x = \cos y\)
Ex 15 : Formules à connaître et surtout à retrouver
1. a) Compléter les pointillés avec : \(\pi + x\), \(\pi - x\) et \(-x\)
b) En utilisant les propriétés des symétries, en déduire :
$\cos(\pi + x) = $ ...
$\cos(\pi - x) = $ ...
$\sin(\pi + x) = $ ...
$\sin(\pi - x) = $ ...
2. a) Compléter les pointillés avec : \(\dfrac{\pi}{2} - x\) et \(\dfrac{\pi}{2} + x\)
b) En utilisant les propriétés des symétries, en déduire :
$\cos(\dfrac{\pi}{2} - x) = $ ...
$\cos(\dfrac{\pi}{2} + x) = $ ...
$\sin(\dfrac{\pi}{2} - x) = $ ...
$\sin(\dfrac{\pi}{2} + x) = $ ...
Ex 16 : Calculs
Calculer les sinus et les cosinus des réels suivants :
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\(\dfrac{5\pi}{6}\)
-
\(-\dfrac{11\pi}{2}\)
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\(-\dfrac{7\pi}{3}\)
-
\(\dfrac{9\pi}{4}\)
-
\(-\dfrac{\pi}{6}\)
-
\(\dfrac{1947\pi}{2}\)
Ex 17 : Calculs
Calculer la valeur du produit \(\cos x \times \sin y\) dans les cas suivants :
-
\(x = 0\) et \(y = \pi\)
-
\(x = \dfrac{\pi}{3}\) et \(y = \dfrac{\pi}{3}\)
-
\(x = 0\) et \(y = -\dfrac{\pi}{4}\)
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\(x = \pi\) et \(y = -\dfrac{\pi}{2}\)
-
\(x = 527\) et \(y = 240\pi\)
-
\(x = \dfrac{17\pi}{2}\) et \(y = 17\)
Ex 18 : Simplifications
Simplifier les expressions suivantes :
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\(A = \cos(\pi - x) + 2\cos x - 3\cos(x + \pi)\)
-
\(B = \sin(x + 5\pi) + 3\sin(x + 7\pi) - \sin(-x)\)
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\(C = \cos(-x) - 2\sin(\dfrac{\pi}{2} - x) + \sin(\dfrac{5\pi}{2} + x)\)
-
\(D = \sin(x - \dfrac{3\pi}{2}) - 2\sin(\dfrac{\pi}{2} - x) + \cos(5\pi + x)\)
-
\(E = \sin(\dfrac{\pi}{7}) + \sin(\dfrac{4\pi}{7}) + \sin(\dfrac{10\pi}{7}) + \sin(\dfrac{13\pi}{7})\)
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\(F = \cos^2\dfrac{\pi}{8} + \cos^2\dfrac{3\pi}{8} + \cos^2\dfrac{5\pi}{8} + \cos^2\dfrac{7\pi}{8}\)
Ex 19 : Déterminer les réels correspondant à une valeur remarquable de sinus ou de cosinus
Déterminer les solutions réelles des équations suivantes :
-
\(\sin x = 0\)
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\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
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\(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
-
\(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
-
\(2\cos x = 1\)
-
\(\cos x + \sin x = 7\)
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\(\cos x + 3 = 2\)
-
\(4\sin x = -2\)
Ex 20 : Déterminer un réel connaissant son sinus ou son cosinus
Déterminer une valeur approchée à \(10^{-3}\) près d'un réel \(x\) vérifiant :
-
\(\cos x = \dfrac{1}{4}\)
-
\(\sin x = \dfrac{\sqrt{5}}{2}\)
-
\(3\sin x = 1\)
-
\(\cos^2 x = 1 - \sqrt{2}\)
-
\(\sin(x - \pi) = \dfrac{\pi}{3}\)
-
\(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
Ex 21 : Sinus correspondant à un cosinus et inversement
Connaissant la valeur de \(\cos x\) ou de \(\sin x\) sur un intervalle donné, déterminer la valeur du sinus ou du cosinus correspondant :
-
\(\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(x \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\)
-
\(\cos x = -\dfrac{1}{2}\) et \(x \in ]0;\pi]\)
-
\(\cos x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) et \(x \in [\pi;2\pi]\)
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\(\sin x = \dfrac{1}{2}\) et \(x \in [-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}]\)
Ex 22 : Système d'équations
Déterminer les solutions réelles des systèmes d'équations suivants :
-
\(\begin{cases} \cos x = 0 \\ \sin x = 1 \end{cases}\)
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\(\begin{cases} \sin x = \dfrac{1}{2} \\ \cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}\)
Ex 23 : Trigonométrie et géométrie
Soit le plan muni d'un repère (O,I,J) et du cercle trigonométrique.
Soit M, N, P et Q les points dont les coordonnées sont données ci-dessous. \(\alpha\) et \(\beta\) sont deux réels. Pour chaque point, déterminer s'ils sont situés à l'intérieur du cercle trigonométrique, sur le cercle, ou à l'extérieur du cercle.
\(M(\sin\alpha;\cos\alpha)\)
\(N(-0,5\cos\alpha;0,5\sin\alpha)\)
\(P(\cos\alpha - \sin\alpha;\sin\alpha + \cos\alpha)\)
\(Q(\cos\alpha \times \cos\beta - \sin\alpha \times \sin\beta;\sin\alpha \times \cos\beta + \cos\alpha \times \sin\beta)\)
Ex 24 : Équation produit
Soit \(x \in \mathbb{R}\).
-
En remarquant que \((\cos x - \sin x)^2 \geq 0\), en déduire que : \(\cos x \times \sin x\leqslant\dfrac{1}{2}\)
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De la même façon, en développant \((\cos x + \sin x)^2\), montrer que : \(-\cos x \times \sin x\leqslant\dfrac{1}{2}\)
-
En déduire que pour tout réel \(x\), on a : \(-\dfrac{1}{2}\leqslant\cos x \times \sin x\leqslant\dfrac{1}{2}\)
L'équation \(\cos x \times \sin x = 1\) a-t-elle une solution ?
Ex 25 : Inéquation
Dans chacun des cas suivants, dessiner en rouge sur un cercle trigonométrique, l'ensemble de tous les points associés à \(\alpha\), puis utiliser la représentation pour résoudre l'inéquation proposée dans l'intervalle donné.
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\(\cos(\alpha) < \dfrac{1}{2}\) et \(\alpha \in ]-\pi;\pi]\)
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\(\cos(\alpha) < \dfrac{1}{2}\) et \(\alpha \in [0;2\pi[\)
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\(\sin(\alpha) < -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\alpha \in ]-\pi;\pi]\)
-
\(\sin(\alpha) < -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) et \(\alpha \in [0;2\pi[\)