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Feuille d'exercices sur les applications matricielles

Exercice 1

On pose \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 5&4\end{array}\right)\).

On donne \(P=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ -1&5\end{array}\right)\) et \(D=\left(\begin{array}{cc}-1 & 0 \\ 0&6\end{array}\right)\)

  1. Montrer que \(A = PDP^{-1}\)

  2. Montrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}^{*}, A^n = PD^{n}P^{-1}\).

  3. En déduire \(A^n\).

Exercice 2

Dans une enceinte une population d'êtres unicellulaires ne peuvent se trouver que dans deux états A ou B. On désigne par \(a_n\) et \(b_n\) les effectifs des deux états, en milliers d'individus à l'instant \(n\). On a constaté que 95 % des unicellulaires se trouvant à l'instant \(n\) dans l'état \(A\) n'ont pas changé d'état à l'instant \(n + 1\), ainsi que 80 % de ceux se trouvant à l'instant \(n\) dans l'état \(B\). L'effectif total est de \(500~000\) individus. Cet effectif reste constant dans le temps.

  1. Déterminer le système donnant \(a_{n+1}\) et \(b_{n+1}\) en fonction de \(a_n\) et \(b_n\)

  2. Écrire une fonction \(U(a_0,n)\) en Python donnant les populations, en milliers d'individus, des états \(A\) et \(B\) en fonction de \(a_0\) et \(n\).

    Que renvoie la fonction pour (375,30), (50,30), (500,30) ?

    Conjecturer l'évolution des populations \(a_n\) et \(b_n\) sur le long terme.

  3. a. Traduire le système de la question 1. à l'aide d'une suite \((U_n)\) de matrices colonnes. En déduire \(U_n\) en fonction \(n\) et de \(U_0\) correspondant à l'état initial.

    b. On a obtenu \(\left(\begin{array}{cc}0.95 & 0.2 \\ 0.05&0.8\end{array}\right)^n=\dfrac{1}{5} \times \left(\begin{array}{cc}4+0.75^n & 4-4 \times 0.75^n \\ 1-0, 75^n&1 + 4 \times 0.75^n\end{array}\right)\) grâce à une diagonalisation.

    Exprimer \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\) et de \(a_0\). Conclure.

Exercice 3

On appelle suite de Fibonacci, la suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb{N}\) par:

\[\left\{ \begin{array}{ll} u_0=0 \\ u_{n+2}=u_{n+1}+u_n \end{array} \right.\]

On considère la matrice \(F=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 1&0\end{array}\right)\).

  1. Calculer \(F_2\) et \(F_3\). On détaillera les calculs.

  2. Démontrer par récurrence que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*: F_n=\left(\begin{array}{cc}u_{n+1} & u_n \\ u_n&u_{n-1}\end{array}\right)\)

  3. a. Soit \(n \in N^*\). En remarquant que \(F^{2n+2} = F^{n+2}F^n\), démontrer que \(u_{2n+2} = u_{n+2} \times u_{n+1} + u_{n+1} \times u_n\).

    b. En déduire que, pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(u^{2n+2} = u^2_{n+2} - u^2_n\). 4. On donne \(u_{12} = 144\).

    Démontrer en utilisant la question 3. qu'il existe un triangle rectangle dont les longueurs des côtés sont toutes des nombres entiers, l'une étant égale à 12. Donner la longueur des deux autres côtés.

Exercice 4

Chiffrement de Hill

On veut coder un bloc de deux lettres selon la procédure suivante :

  • Chaque lettre du bloc est remplacée par un entier en utilisant le tableau :
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

On obtient \(\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right)\) où \(x_1\) et \(x_2\) correspondent aux lettres du bloc.

Méthode

  • On détermine \(\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)\) tel que : \(\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}3&1\\ 5&2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x_1\\ x_2\end{array}\right)\) avec \(C =\left(\begin{array}{cc}3&1\\ 5&2\end{array}\right)\)

  • On détermine ensuite \(\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\) tel que: \(\left\{ \begin{array}{ll} z_1 \equiv y_1 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant z_1\leqslant25 \\ z_2 \equiv y_2 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant z_2\leqslant25 \end{array} \right.\)

  • On associe à \(\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\) un bloc de deux lettres.

  • Coder RE.

  • Soit \(x_1,x_2,x'_1,x'_2 \in [\![0;25]\!]\) tels que \(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\) et \(\left(\begin{array}{c}x'_1\\x'_2\end{array}\right)\) sont transformés en \(\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\).

    a. Montrer que \(\left\{ \begin{array}{ll} 3x_1+x_2 \equiv 3x'_1+x'_2 \quad (26) \\ 5x_1+2x_2 \equiv 5x'_1+2x'_2 \quad (26) \end{array}\right.\)

    b. En déduire que \(\left\{ \begin{array}{ll} x_1 \equiv x'_1 \quad (26) \\ x_2 \equiv x'_2 \quad (26) \end{array} \right.\) puis que \(\left\{ \begin{array}{ll} x_1 = x'_1\\ x_2 = x'_2 \end{array} \right.\)

  • On souhaite trouver une méthode de décodage pour le bloc DP: a. Vérifier que \(C^{-1} =\left(\begin{array}{cc}2&-1\\ -5&3\end{array}\right)\)

    b. Calculer \(\left(\begin{array}{c}y_1\\y_2\end{array}\right)=C^{-1}\left(\begin{array}{c}3\\15\end{array}\right)\)

    c. Calculer \(\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\end{array}\right)\) tels que \(\left\{ \begin{array}{ll} x_1 \equiv y_1 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant x_1\leqslant25 \\ x_2 \equiv y_2 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant x_2\leqslant25 \end{array}\right.\)

    d. Quel procédé général de décodage peut-on conjecturer ?

  • Généralisation : soit \(z_1\) et \(z_2\) associés au codage, on cherche \(x_1\) et \(x_2\).

    Soit \(y'_1\) et \(y'_2\) tels que \(\left(\begin{array}{c}y'_1\\y'_2\end{array}\right)=C^{-1}\left(\begin{array}{c}z_1\\z_2\end{array}\right)\).

    Soit \(x_1\) et \(x_2\) tels que: \(\left\{ \begin{array}{ll} x_1 \equiv y'_1 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant x_1\leqslant25 \\ x_2 \equiv y'_2 (26) \quad \text{avec} \quad 0\leqslant x_2\leqslant25 \end{array}\right.\)

    Montrer que \(\left\{ \begin{array}{ll} 3x_1+x_2 \equiv z_1 \quad (26) \\ 5x_1+2x_2 \equiv z_2 \quad (26) \end{array} \right.\) et conclure.

  • Décoder QC.

Exercice 5

Soit le repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\). On donne le point \(A(5 ; 3)\).

  1. a. Donner la matrice de la rotation \(r\) de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{4}\) dans \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\).

    b. En déduire l'image \(B\) de \(A\) par la rotation \(r\).

  2. a. Donner la matrice de la réflexion \(s\) d'axe \(y = x\) dans \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\).

    b. En déduire l'image \(C\) de \(A\) par la réflexion \(s\).

Exercice 6

Soit le repère orthonormé \((O;\vec{\imath},\vec{\jmath})\). On donne les points \(A(-4\sqrt{3} ; -2)\), \(B(7 ; -\sqrt{3})\) et \(C(2 ; 4\sqrt{3})\).

  1. Le point \(B\) est l'image de \(A\) par la rotation \(r\) de centre \(O\) et d'angle \(\Theta\). Déterminer l'angle \(\Theta\) en radian. Déduire la matrice de la rotation \(r\).

  2. Le point \(C\) est l'image de A par la réflexion \(s\) d'axe \(d\) passant par \(O\). Déterminer une équation de la droite \(d\). Déduire la matrice de la réflexion \(s\).

Exercice 7

Soit \(a \in \mathbb{R}\). Soit l'ensemble \(E\) des matrices \(M_a\) telles que : \(M_a = \left(\begin{array}{cc}\cos{a} & -\sin{a} \\ \sin{a}&\cos{a}\end{array}\right)\)

  1. Comment interpréter l'ensemble \(E\) de manière géométrique ?

  2. a. Montrer que l'ensemble E est stable pour la multiplication, c'est à dire que pour tout \(a,b \in \mathbb{R}\), le produit \(M_aM_b \in E\).

    b. Comme interpréter le produit \(M_aM_b\) géométriquement ?

  3. Montrer que toute matrice de \(E\) est inversible.

    Calculer son inverse et l'interpréter géométriquement.

Exercice 8

Trois chaînes de télévision A, B, C se partagent la diffusion de la coupe du monde de football. D'un match au suivant, elle évolue de la façon suivante :

  • 10 % des téléspectateurs de A passent sur B et 10 % sur C ;

  • 20 % des téléspectateurs de B passent sur A et 10 % sur C ;

  • 30 % des téléspectateurs de C passent sur A et 10 % sur B.

  • Représenter cette évolution par un graphe.

    Pourquoi s'agit-il d'un graphe probabiliste ?

  • Déterminez la matrice de d'adjacence \(M\). (Dans l'ordre A, B, C)

Exercice 9

  1. Un élève doit répondre à une série de questions.

    À chaque fois, il peut être aidé. S'il est aidé une fois, il recommence la fois d'après avec une probabilité de \(\dfrac{1}{3}\); s'il n'est pas aidé, il continue avec une probabilité de \(\dfrac{1}{2}\).

    a. Pourquoi peut-on adopter le modèle de Markov ? S'agit-il d'une chaîne de Markov homogène ? Pourquoi ?

    b. Donner la liste des états et les probabilités conditionnelles associées.

    c. Représenter cette situation par un graphe.

  2. Sarah révise une leçon tous les jours, de manière aléatoire mais sans jamais reprendre une leçon déjà révisée. Peut-on adopter un modèle de Markov ? Pourquoi ?

Exercice 10

Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}0.2 & 0.3&0.5 \\ 0.4&0.2&0.4\\0.1&0.7&0.2\end{array}\right)\)

  1. Pourquoi la matrice \(A\) est stochastique ?

  2. On admet que la matrice \(A\) est la matrice de transition d'une chaîne de Markov homogène liée aux états {1, 2, 3}.

    a. Que signifie le terme "homogène" pour une chaîne de Markov ?

    b. Représenter le graphe associé à cette chaîne de Markov.

    c. Donner les probabilités suivantes :

    \(p_{X_n=1}(X_{n+1} = 3)\) , \(p_{X_n=3}(X_{n+1} = 1)\) , \(p_{Xn=2}(X_{n+1} = 2)\)

Exercice 11

Représenter le graphe des matrices de transition \(T\) des chaînes de Markov homogènes suivantes. On prendra comme espace des états : {A, B, C, . . . }.

1. \(T=\left(\begin{array}{ccc}0 & 1 & 0 \\ 0.6&0&0.4\\0 & 1 & 0 \end{array}\right)\) 2. \(T=\left(\begin{array}{ccc}0.6 & 0.4&0 \\ 0.55&0.2&0.25\\0&0.9&0.1\end{array}\right)\) 3. \(T=\left(\begin{array}{cccc}0.5 & 0&0.5&0 \\ 0.1&0.2&0.4&0.3\\0&1&0&0\\0.2&0.3&0.5&0\end{array}\right)\)

Exercice 12

On considère que la météo varie entre deux états beau et mauvais temps. Après un jour de beau temps, on a une chance sur deux que le temps change le jour suivant et le mauvais temps a trois fois plus de chance de durer d'un jour au jour suivant.

  1. Pourquoi peut-on dire que la situation peut être modélisée par une chaîne de Markov ?

  2. Donner sa matrice de transition.

Exercice 13

Dans une ville il peut venter, neiger ou grêler. Le vent et la grêle ne restent jamais deux jours de suite. S'il vente un jour donné, le lendemain il neige ou il grêle de manière équiprobable. S'il neige, il y a une chance sur trois qu'il vente le jour d'après et une chance sur deux qu'il continue à neiger le lendemain. Après un jour de grêle, il y a deux fois plus de chance d'avoir de la neige que du vent.

  1. Justifier la modélisation de la météo dans cette ville par une chaînede Markov.

  2. Représenter le graphe puis donner la matrice \(T\) de transition de cette chaîne de Markov associée aux états V, N et G.

  3. Quelle est la probabilité, qu'après deux jours de neige, le vent souffle ?

  4. Quelle est la distribution invariante de cette chaîne de Markov ?

Exercice 14

Un garagiste contrôle tous les mois l'état d'une pièce de moteur. Elle peut se trouver dans les états suivants : fonctionnelle (F), usée (U) ou défaillante (D).

On considère que la situation peut se modéliser avec une chaîne de Markov dont la matrice de transition est donnée dans l'ordre F, U, D par

\[T=\left(\begin{array}{ccc}0.9 & 0.1&0 \\ 0&0.6&0.4\\0&0&1\end{array}\right)\]

  1. Expliquer les coefficients de la dernière ligne de la matrice \(T\)

  2. Dresser le graphe correspondant à cette chaîne.

  3. Au début des contrôles, la pièce vient d'être changée pour une pièce neuve.

    Quelle est la probabilité pour qu'au bout de 6 mois, la pièce soit défaillante ?

Exercice 15

Un atome d'hydrogène peut se trouver dans deux états différents, l'état stable (S) et l'état excité (E). À chaque nanoseconde, la probabilité qu'un atome passe de l'état stable à l'état excité est \(0.01\). Mais l'on ne connaît pas en revanche, la probabilité de changement de l'état excité à l'état stable. On note \(a\) cette probabilité supposée constante.

Soit la chaîne de Markov \((X_n)\) décrivant les états de l'atome.

  1. Donner, en fonction de \(a\),la matrice de transition \((X_n)\) associée aux états \(S\) et \(E\).

  2. Après un temps très long, dans le milieu, la proportion d'atomes excités se stabilise autour de 2%. Déterminer la valeur de \(a\).

Exercice 16

Dans un village imaginaire isolé, une nouvelle maladie contagieuse mais non mortelle a fait son apparition. Les scientifiques ont découvert qu'un individu pouvait être dans l'un des trois états suivants :

  • \(S\) : « l'individu est sain, c'est-à-dire non malade et non infecté »,
  • \(I\) : « l'individu est porteur sain, c'est-à-dire non malade mais infecté »,
  • \(M\) : « l'individu est malade et infecté ».

Partie A

Les scientifiques estiment qu'un seul individu est à l'origine de la maladie sur les 100 personnes que compte la population et que, d'une semaine à la suivante, un individu change d'état suivant le processus suivant :

  • parmi les individus sains S, \(\dfrac{1}{3}\) deviennent I et \(\dfrac{1}{3}\) deviennent \(M\),

  • parmi les individus porteurs sains, la proportion de ceux qui deviennent malades est égale à \(\dfrac{1}{2}\).

  • Ceux qui sont malades le restent.

On note \(P_n = \begin{pmatrix} s_n & i_n & m_n \end{pmatrix}\) la matrice ligne donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines des états \(S\), \(I\) et \(M\).

On a alors \(P_0 = \begin{pmatrix} 0.99 & 0 &0.01 \end{pmatrix}\)

  1. Justifier que l'état probabiliste \(P_n\) obéit à une chaîne de Markov.

  2. Représenter le graphe de cette chaîne de Markov associée aux états \(S\), \(I\), \(M\).

  3. Déterminer la matrice de transition \(A\)

  4. Exprimer \(P_n\) en fonction de \(P_0\) et \(A\).

  5. Déterminer l'état probabiliste au bout de quatre semaines ( arrondir à \(10^{-2}\)). Quelle est la probabilité qu'un individu soit sain au bout de quatre semaines ?

Partie B

La maladie n'évolue en réalité pas selon le modèle précédent puisqu'au bout de 4 semaines de recherche, les scientifiques découvrent un vaccin qui permet d'enrayer l'endémie et traitent immédiatement l'ensemble de la population. L'évolution hebdomadaire de la maladie après vaccination est donnée par la matrice de transition :

\[B=\begin{pmatrix}\displaystyle \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{3} \\[0.3cm] \displaystyle \dfrac{5}{12} & \dfrac{1}{4}&\dfrac{1}{3}\\[0.3cm] \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{2}&\dfrac{1}{3}\end{pmatrix}\]

On note \(Q_n\) donnant l'état probabiliste au bout de \(n\) semaines après la mise en place de ces nouvelles mesures de vaccination.

\(Q_n = \begin{pmatrix}S_n & I_n&M_n\end{pmatrix}\) donne les états S, I, M la \(n\)-ième semaine après la vaccination.

Avec \(Q_0 = P_4\).

  1. Exprimer \(Q_n\) en fonction de \(Q_0\) et \(B\).

  2. a. Déterminer \(k \in \mathbb{R}\) tel que \(B^2 = kJ\) où \(J\) est la matrice carrée d'ordre \(3\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

    b. Montrer par récurrence que : \(\forall n \geqslant 2, B^n = B^2\).

    c. En déduire \(Q_n\) pour tout \(n \geqslant 2\).

    d. Interpréter ce résultat en terme d'évolution de la maladie. Peut-on espérer éradiquer la maladie grâce au vaccin ?

Exercice 17 : Ehrenfest à trois boules

On dispose de deux urnes A et B. Initialement l'urne A contient trois boules numérotées 1, 2, 3. L'urne B est vide.

À chaque instant, on tire au hasard un nombre entre 1 et 3 et on change la boule portant le numéro choisi d'urne.

On s'intéresse au nombre de boules contenu dans l'urne A à l'instant \(n\), que l'on consigne dans une variable aléatoire \((X_n)\).

  1. a. Quels sont les états possibles pour \((X_n)\)?

    b. Justifier que \((X_n)\) est une chaîne de Markov homogène.

    c. Donner la répartition initiale \(\pi_0\) associée ?

    d. Représenter le graphe de cette chaîne de Markov.

    e. En déduire la matrice de transition \(T\)

  2. Démontrer que la répartition stable \(\pi\) correspond à la loi binomiale \(B\left(3, \dfrac{1}{2}\right)\).

  3. On note \(p_n\), la probabilité qu'il y ait trois boules dans l'urne \(A\) à l'instant \(n\).

    a. Démontrer que si \(n\) est impair, \(p_n = 0\).

    b. Expliquer le graphe probabiliste ci-dessous, qui décrit l'évolution du nombre de boules dans \(A\) entre l'étape \(2k\) et l'étape \(2k + 2\) \((k \in \mathbb{N})\).

    Graphe

    c. En déduire que pour \(k \in \mathbb{N}\) : \(p_{2k+2}=\dfrac{1}{3}p_k+\dfrac{2}{9}(1-p_n)\)

    d. On pose \(u_k = p_{2k}\) et \(v_k = u_k-\dfrac{1}{4}\).

    Montrer que la suite (v_k) est géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.

    En déduire \(v_k\) en fonction de \(k\) puis \(p_{2k}\) en fonction de \(k\)

    e. Déterminer \(\lim\limits_{k \to +\infty}p_{2k}\). Peut-on déterminer \(\lim\limits_{n \to +\infty}p_n\) ?

    f. Comment expliquer le résultat de la répartition stable de la question 2. ?

  4. On appelle \(D\) la variable aléatoire qui indique le nombre d'étapes jusqu'au premier retour à l'état initial (trois boules dans A). a. Démontrer que, si \(n\) est impair, alors \(P(D = n) = 0\).

    b. Déterminer \(P(D = 2)\) et \(P(D = 4)\).

    c. Quelle est la probabilité de revenir au moins une fois à l'état initial en moins de cinq étapes ?