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Feuille d'exercices sur les bases des matrices

Exercice 1

On considère les matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\ 2&5\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 0&4\end{array}\right)\) et \(C=\left(\begin{array}{cc}2 & 0 \\ 7&-4\end{array}\right)\).

Calculer \(A+B\), \(2A-B\), \(AB\), \(BA\) puis \(3(A-2B)+2(3B+C)-(2A+C)\).

Exercice 2

Les matrices \(A\) et \(B\) sont celles de l’exercice 1.

RĂ©soudre les Ă©quations suivantes d'inconnue \(X \in M_2(\mathbb{R})\).

  1. \(A-3X = 2B\).

  2. \(3X+2B = 5X+A\).

Exercice 3

Effectuer tous les produits possibles de deux des matrices suivantes :

\(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 \\ 3&2\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 \\ 1&2\end{array}\right)\), \(C=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 4 \end{array}\right)\), \(D=\left(\begin{array}{ccc}-1 & -1 & 0 \\ 1&4&-1\\2&1&2\end{array}\right)\), \(X=\left(\begin{array}{ccc}1 \\ 2\end{array}\right)\), \(Y=\left(\begin{array}{ccc}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)\).

Exercice 4

Soit \(A=\left( \begin{array}{cc} 1&2 \\1&1 \end{array} \right)\). Calculer \(A^0\), \(A^1\), \(A^2\), \(A^3\) et \(A^4\).

Exercice 5

On considère les matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 1&3\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}-1 & 2 \\ 4&3\end{array}\right)\).

L'identité remarquable \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) est-elle vraie pour les matrices ?

Exercice 6

Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles et, pour les matrices de taille 2 qui le sont, déterminer leur inverse et vérifier votre calcul en calculant \(AA^{-1}\).

  1. \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 3&4\end{array}\right)\)

  2. \(A=\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \\ 1&0\end{array}\right)\)

  3. \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2&-4\end{array}\right)\),

  4. \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & -1 \\ -3&2\end{array}\right)\),

  5. \(A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 0&0&0 \\ 0 & 2&0&0 \\0 & 0&3&0 \\ 0&0&0&4\end{array}\right)\),

  6. \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&4 \\ 0&0&5\\ 0&0&7\end{array}\right)\),

Exercice 7

Montrer que \(A\) est inversible et déterminer son inverse en fonction des puissances de \(A\) et \(I_n\).

  1. \(A^2 + 3A - 2I_n = 0\)

  2. \(A^2 + 6A + 8I_n = 0\)

  3. \(A^{12} + I_n = 0\)

  4. \(A^3 - 4A^2 + 3I_n = 0\)

Exercice 8

Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0 \\ -1&2&0\\ 1&0&-1\end{array}\right)\)

  1. Montrez que \(A^3-A^2-A+I_3=0\) et déduisez en que \(A\) est inversible et donnez \(A^{-1}\).

  2. Vérifiez par un calcul que la matrice \(A^{-1}\) trouvée est bien l'inverse de \(A\).

Exercice 9

On considère les matrices suivantes :

\(A=\left(\begin{array}{cc}1 & -2 \\ 2&-4\end{array}\right)\), \(X=\left(\begin{array}{cc}1 \\ 3\end{array}\right)\)

Répondre par vrai ou faux en justifiant la réponse.

  1. On peut calculer \(AX\).

  2. On peut calculer \(XA\).

  3. On peut calculer \(A^3\).

  4. On peut calculer \(X^3\).

Exercice 10

On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 2 \\ 0&1\end{array}\right)\).

  1. Calculer \(A^2\), puis \(A^3\).

  2. Faire une conjecture sur l'expression de \(A^n\).

  3. Valider cette conjecture par récurrence.

Exercice 11

Soient \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\).

DĂ©velopper et simplifier :

  1. \(S = (2A)(3B)-(A+2B)^2+(A-B)(A+B)\)

  2. \(T = (A+B)(2A^2-2B)-2A^2(A+B)+(-A+B)^2\).

Exercice 12

Recopier et compléter le produit matriciel suivant :

\[\left(\begin{array}{cc}5 & 2 \\ 2&1\end{array}\right) \times \left(\begin{array}{cc}4 & ? \\ ?&1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}26 & -23 \\ 11&-9\end{array}\right)\]

Exercice 13

On donne la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0&1\end{array}\right)\).

On veut déterminer si la matrice \(A\) est inversible, et, si oui, calculer son inverse.

Si \(A\) est inversible, on pose \(A'=\left(\begin{array}{cc}x & y \\ z&t\end{array}\right)\) sa matrice inverse.

  1. Justifier que si \(A\) est inversible, alors \(A \times A'=I_2\).

  2. Calculer \(A \times A'\) en fonction de \(x\), \(y\), \(z\) et \(t\).

  3. DĂ©terminer les valeurs de \(x\), \(y\), \(z\) et \(t\) et conclure.

Exercice 14

En utilisant la calculatrice, indiquer si les matrices suivantes sont inversibles ou non.Si elles sont inversibles, donner les éléments de la matrice inverse.

  1. \(A=\left(\begin{array}{cc}3 & 5 \\ 2&1\end{array}\right)\)

  2. \(B=\left(\begin{array}{cc}-3 & -7 \\ \dfrac{3}{7}&1\end{array}\right)\)

  3. \(C=\left(\begin{array}{cc}4 & 12 \\ 3&9\end{array}\right)\)

  4. \(D=\left(\begin{array}{cc}5 & 1 \\ 0&1\end{array}\right)\)

Exercice 15

  1. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(M_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB = 0\). Montrer que ni \(A\), ni \(B\) n’est inversible.

  2. Soit \(C\) une matrice telle que \(C^2 + C = 0\), \(C\) est-elle inversible ?

Exercice 16

Soit \(M = (m_{i,j})_{1 \leqslant i,j \leqslant n} \in M_3(\mathbb{R})\) avec \(m_{i,j} = \left\{ \begin{array}{lll} 0 \text{ si } i+j \text{ est pair.} \\ 1 \text{ si } i+j \text{ est impair.}\\ \end{array} \right .\)

  1. Écrire la matrice \(M\).

  2. Calculer \(M^2\), \(M^3\), \(M^4\).

  3. Conjecturer la forme de \(M^n\) puis démontrer le résultat par récurrence.

Exercice 17

Déterminez les matrices triangulaires supérieures \(T\) telles que \(T^2 = I_2\).

Exercice 18

Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}5 & 2 & 1 \\ 0&5&2\\0&0&5\end{array}\right)\)

  1. Déterminer la matrice \(B\) et le réel \(a\) tels que \(A = aI_3 + B\).

  2. Calculer \(B^3\).

  3. En déduire la forme générale de \(A^n\) en fonction de \(I_3\), \(B\) et \(B^2\).

Reprendre la même démarche pour déterminer les puissances de \(A=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & 0 \\ -1&2&0\\3&1&2\end{array}\right)\).

Exercice 19

Soit \(A, B \in M_n(\mathbb{R})\) telles que \(AB = A+B\). Montrez que \(A\) et \(B\) commutent.

Exercice 20

On considère le système \((S)\) suivant.

\[\left\{ \begin{array}{lll} 2x + y =15 \\ -x + 4y = -7\\ \end{array} \right .\]

  1. Déterminer les matrices \(A\), \(X\) et \(B\) telles que le système \((S)\) soit équivalent à l’égalité matricielle \(AX = B\).

  2. Montrer en utilisant la calculatrice que \(A\) est inversible et déterminer \(A^{-1}\).

  3. Justifier que \(AX = B \Leftrightarrow X = A^{-1}B\). En déduire l'ensemble des solutions du système.

Exercice 21

Résoudre, en utilisant la calculatrice, les systèmes suivants:

\((S_1)\) \(\left\{ \begin{array}{lll} -3x + 5 =-2 \\ -x + \dfrac{1}{2}y = -3\\ \end{array} \right .\)

\((S_2)\) \(\left\{ \begin{array}{lll} \dfrac{3}{4}x + y =5 \\ -x + 5y = -\dfrac{7}{2}\\ \end{array} \right .\)

\((S_3)\) \(\left\{ \begin{array}{lll} -605x + 259y =-11058 \\ 302x + 424y = -3886\\ \end{array} \right .\)

Exercice 22

On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{cc}-4 & 6 \\ -3&5\end{array}\right)\)

  1. VĂ©rifier que \(A^2=A+2I_2\)

  2. En déduire une expression de \(A^3\) et une expression de \(A^4\) sous la forme \(\alpha A +\beta I_2\), où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels.

  3. On considère les suites \((r_n)\) et \((s_n)\) définies par \(r_0=0\), \(s_0=1\) et, pour tout entier naturel \(n\):

    \[\left\{ \begin{array}{lll} r_{n+1} =r_n+s_n \\ s_{n+1}= 2r_n\\ \end{array} \right .\]

    DĂ©montrer que, pour tout entier naturel \(n\):

    \[A^n=r_nA+s_nI_2\]

  4. (a) Démontrer que la suite \((k_n)\) définie par \(k_n=r_n-s_n\) est géométrique de raison -1.

    (b) En déduire, en fonction de \(n\), une expression explicite de \(k_n\) en fonction de \(n\).

  5. On admet que la suite \((t_n)\), définie par \(t_n=r_n+\dfrac{(-1)^n}{3}\) est géométrique de raison 2. En déduire une expression explicite de \(t_n\) en fonction de \(n\).

  6. En déduire des expressions explicites de \(r_n\) et \(s_n\).

  7. En déduire une expression des coefficients de la matrice \(A^n\).