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Feuille d'exercices sur les nombres complexes : Équations Polynomiales

Second degré

Exercice 1

  1. Résolvez dans \(\mathbb{C}\), l'équation :

    \[z^2-2z+2 = 0\]

    Précisez le module et un argument de chacune des solutions.

  2. Déduisez-en les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation :

    \[(- iz + 3i+3)^2-2(-iz+3i+3) + 2 =0\]

Exercice 2

Résolvez dans C.

  1. \(z^4 + 3z^2 + 2 = 0\);

  2. \(z^4-32z^2-144 = 0\).

Exercice 3

Trouvez les complexes \(p\) et \(q\) tels que l'équation :

\[z^2 + pz + q = 0\]

admette pour solutions les nombres \(1+2i\) et \(3-5i\).

Exercice 4

  1. Justifiez que \((1 + i)^6=-8i\).

  2. On note (E) l'équation \(z^2=-8i\).

    a. Déduisez du 1. une solution de (E).

    b. (E) possède une autre solution; écrivez cette solution sous forme algébrique.

  3. Déduisez également du 1. une solution de l'équation \(z^3 = -8i\).

Exercice 5

\(\theta\) est un réel donné

  1. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l'équation (E) : \(z^2-2 \sin{\theta}z+ 1 = 0\).

  2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \((0 ; \vec{u}, \vec{v})\), \(\text{A}\) et \(\text{B}\) sont les points ayant pour affixes les solutions de l'équation (E).

    Quelles sont les valeurs de \(\theta\) pour lesquelles le triangle \(\text{OAB}\) est équilatéral ?

Degré Supérieur

Exercice 6

On pose pour tout complexe \(z\), \(f(z) = z^3-2(\sqrt{3}+i)z^2+4(1+i\sqrt{3})z-8i\)

  1. Vérifiez que pour tout \(z\):

    \[f(z) = (z- 2i)(z^2-2\sqrt{3}z+4)\]

  2. Résolvez dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(f(z) =0\)

Exercice 7

  1. Résolvez dans \(\mathbb{C}\), \(z^2 + z + 1 = 0\) et déduisez-en les solutions, dans \(\mathbb{C}\), de \(z^3-1 = 0\).

  2. On désigne par \(j\) le nombre complexe \(-\dfrac{1}{2}+i\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

    a. Calculez \(j^{2}\), \(j^{3}\), \(j^{2006}\).

    b. Calculez \(S = 1 + j + j^2 + ... + j^{2006}\).

Exercice 8

On considère le polynôme \(P(z)=z^4-19z^2+52z-40\) où \(z\) est un nombre complexe.

  1. Déterminez deux réels \(a\) et \(b\) tels que :

    \[P(z)=(z^2+az+b)(z^2+4z+2a)\]

  2. Résolvez, dans \(\mathbb{C}\), l'équation \(P(z) = 0\).

Exercice 9

Pour tout nombre complexe \(z\), on pose:

\[P(z) = z^4-1\]

  1. Factorisez \(P(z)\).

  2. Déduisez-en les solutions, dans \(\mathbb{C}\), de l'équation :

    \[P (z) = 0\]

  3. Déduisez de la question précédente les solutions, dans \(\mathbb{C}\), de l'équation \(\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1\) d'inconnue \(z\).

Exercice 10

Pour tout complexe \(z\), on considère

\[f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261\]

  1. \(b\) est un réel.

    Exprimez en fonction de \(b\) les parties réelle et imaginaire de \(f(ib)\).

  2. Déduisez-en que l'équation \(f(z)=0\) admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

  3. Démontrez qu'il existe deux nombres réels \(\alpha\) et \(\beta\), que l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe \(z\), \(f(z)=(z^2+9)(z^2+\alpha{z}+ \beta)\).

  4. Résolvez, dans \(\mathbb{C}\), l'équation \(f(z)=0\).

Exercice 11

  1. \(f\) est la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :

    \[f(x)=x^3+5x2+5x+4.\]

    Calculez \(f(-4)\) et déduisez que \(-4\) est l'unique solution réelle de l'équation \(f(x) = 0\).

  2. On pose :

    \[P(z)=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z^2+(8-5i)z-4i\]

    a. L'équation \(P(z) = 0\) admet une solution réelle, et une seule. Trouvez-la, en utilisant la question 1.

    b. L'équation \(P(z) = 0\) admet une solution imaginaire pure. Trouvez-la.

    c. Déterminez deux nombres \(a\) et \(b\) tels que pour tout complexe \(z\):

    \[P(z)=(2z-i)(z+4) (z^2+az+b).\]

    Résolvez alors l'équation \(P(z)=0\).

Exercice 12

On pose \(P(z)=z^4-6z^3 + 23z^2-34z+26\).

  1. \(\alpha\) désigne un complexe quelconque. Démontrez que \(P(\overline{\alpha}) = \overline{P(\alpha)}\). Déduisez-en que si \(P(\alpha) = 0\), alors \(P(\overline{\alpha}) = 0\).

  2. Calculez \(P(1+i)\).

    Indiquez deux solutions complexes de l'équation \(P(z) = 0\).

  3. On pose \(Q(z)=[z-(1+i)][z-(1-i)]\).

    a. Vérifiez que \(P(z)\) est le produit du polynôme \(Q(z)\) et d'un polynôme \(Q_1(z)\) du second degré. Déterminez \(Q_1(z)\).

    b. Résolvez l'équation \(P(z)=0\) dans \(\mathbb{C}\).

Exercice 13

On pose \(P(z)= z^4 - 3z^3+\dfrac{9}{2}z^2-3z+1\).

  1. Démontrez que si le complexe \(\alpha\) est solution de l'équation \(P(z) = 0\), il en est de même de \(\overline{\alpha}\) et de \(\dfrac{1}{\alpha}\).

  2. Calculez \(P(1+i)\).

    Déduisez-en la résolution de l'équation \(P(z) = 0\).

  3. Écrivez \(P(z)\) sous forme d'un produit de deux polynômes du second degré, à coefficients réels.

Exercice 14

On considère trois nombres complexes \(u\), \(v\) et \(w\) et le polynôme \(P\) défini sur \(\mathbb{C}\) par :

\[P(z)=(z-u)(z-v)(z-w).\]

  1. Développer le polynôme \(P\) et l'écrire sous la forme \(az^3+bz^2+cz+d\) en exprimant les coefficients complexes \(a\), \(b\), \(c\) et \(d\) en fonction de \(u\), \(v\) et \(w\).

  2. À l'aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres \(u\), \(v\) et \(w\) tels que :

    \[\left \{\begin{array}{rcl}u+v+w=1 \\u\times v + u \times w + v \times w=1\\u \times v \times w=1\end{array}\right.\]

Exercice 15

Résoudre dans \(\mathbb{C}\) les équations suivantes:

  1. \(z^2-8z+22=\dfrac{20}{z}\).

  2. \(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}=3\)

Exercice 16

On considère l'équation polynomiale (E) suivante: \(z^4+5z^3-4z^2+5z+1=0\).

  1. \(0\) est-il solution de (E)?

  2. Soit \(z\) un nombre complexe non nul. On pose \(Z=z+\dfrac{1}{z}\).

    Démontrer que \(z\) est solution de (E) si et seulement si \(Z\) est solution de l'équation \(Z^2+5Z-6=0\).

  3. Résoudre alors (E).

  4. Soit \(k\) un réel non nul et (E) l'équation : \(z^4+az^3+bz^2+kaz+k^2= 0\).

    a. Montrer que \(0\) n'est pas solution de (E).

    b. Montrer que (E) équivaut à : \(z^2+az+b+\dfrac{ka}{z}+\dfrac{k^2}{z^2}=0\).

  5. a. On pose : \(Z=z+\dfrac{k}{z}\). Calculer \(Z^2\) et en déduire une équation du second degré dont \(Z\) est solution.

    b. Résoudre l'équation : \(z^4-3z^3-4z^2-6z+4=0\).

Exercice 17

Soit \(P\) un polynôme dont tous les coefficients sont des nombres entiers.

  1. Démontrer que toute racine entière de \(P\) est un diviseur de \(P(0)\).

  2. Que peut-on dire des racines entières de \(P\) lorsque \(P(0)\) est un nombre premier ?

  3. Déterminer toutes les racines entières de \(P(z)=z^3+6z^2+10z+3\).

  4. En déduire toutes les racines de \(P\) dans \(\mathbb{C}\).

  5. On considère le polynôme \(P\) défini dans \(\mathbb{C}\) par : \(P(z) = z^8+3z^7+2z^5+3z^3+2z^2+6\).

    \(P\) a-t-il une racine entière ?

Exercice 18

On souhaite résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation (E) :

\[z^4+7+24i=0\]

  1. Vérifier que le complexe \(z_0=2-i\) est une solution de (E).

  2. En déduire que l'équation (E) est équivalente à l'équation \(z^4=z_0^4\).

  3. Résoudre alors l'équation.

Exercice 19

  1. Calculer \((1+i)^3\).

  2. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^3=-2(1-i)\).

    Donner le module et un argument de chaque solution.

Exercice 20

  1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation : \(\left(\dfrac{2z+1}{z-1}\right)^4=1\).

  2. Démontrer que les points images dans le plan complexe de ces solutions sont sur un même cercle que l'on précisera.

Exercice 21

  1. Démontrer que pour tout nombre complexe \(z\),

    \[z^7-1=(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)\]

  2. Soit \(\omega\) une racine \(7\)-ième de \(1\), différente de \(1\).

    Démontrer que les racines dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^7-1=0\), sont \(1\), \(\omega\), \(\omega^2\), \(\omega^3\), \(\omega^4\), \(\omega^5\), \(\omega^6\)

  3. Utiliser le 1., pour justifier que la somme de racines \(7\)-ièmes de l'unité est nulle.

  4. Utiliser ce qui précède pour résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation:

    \[\left(\dfrac{1}{z}\right)^6+\left(\dfrac{1}{z}\right)^5+\left(\dfrac{1}{z}\right)^4+\left(\dfrac{1}{z}\right)^3+\left(\dfrac{1}{z}\right)^2+\left(\dfrac{1}{z}\right)+1=0\]

Exercice 22

  1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe \(4\sqrt{2}(-1+i)\).

    b. Soit \(z = re^{i{\theta}}\)

    Exprimer le module et un argument de \(z\).

    En déduire l'écriture exponentielle des solutions de l'équation \(z^3=4\sqrt{2}(-1+i)\).

  2. En utilisant les racines cubiques de \(1\), écrire les solutions de l'équation \(z^3=4\sqrt{2}(-1+i)\) sous forme algébrique.

  3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de \(\cos \left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\) et \(\sin \left(\dfrac{11\pi}{12}\right)\).