Feuille d'exercices sur les nombres complexes : Équations Polynomiales

Second degré

Exercice 1

1. Résolvez dans $\mathbb{C}$, l'équation :

   $$z^2-2z+2=0$$

   Précisez le module et un argument de chacune des solutions.

2. Déduisez-en les solutions dans $\mathbb{C}$ de l'équation :

   $$(-iz+3i+3{)}^2-2(-iz+3i+3)+2=0$$

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Exercice 2

Résolvez dans C.

1. $z^4+3z^2+2=0$;

2. $z^4-32z^2-144=0$.

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Exercice 3

Trouvez les complexes $p$ et $q$ tels que l'équation :

$$z^2+pz+q=0$$

admette pour solutions les nombres $1+2i$ et $3-5i$.

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Exercice 4

1. Justifiez que $(1+i{)}^6=-8i$.

2. On note (E) l'équation $z^2=-8i$.

   a. Déduisez du 1. une solution de (E).

   b. (E) possède une autre solution; écrivez cette solution sous forme algébrique.

3. Déduisez également du 1. une solution de l'équation $z^3=-8i$.

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Exercice 5

$\theta$ est un réel donné

1. Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation (E) : $z^2-2\sin \theta z+1=0$.

2. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct $(0;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$, $\text{A}$ et $\text{B}$ sont les points ayant pour affixes les solutions de l'équation (E).

   Quelles sont les valeurs de $\theta$ pour lesquelles le triangle $\text{OAB}$ est équilatéral ?

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Degré Supérieur

Exercice 6

On pose pour tout complexe $z$, $f(z)=z^3-2(\sqrt{3}+i)z^2+4(1+i\sqrt{3})z-8i$

1. Vérifiez que pour tout $z$:

   $$f(z)=(z-2i)(z^2-2\sqrt{3}z+4)$$

2. Résolvez dans $\mathbb{C}$ l'équation $f(z)=0$

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Exercice 7

1. Résolvez dans $\mathbb{C}$, $z^2+z+1=0$ et déduisez-en les solutions, dans $\mathbb{C}$, de $z^3-1=0$.

2. On désigne par $j$ le nombre complexe $-{\displaystyle \frac{1}{2}}+i{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$

   a. Calculez $j^2$, $j^3$, $j^{2006}$.

   b. Calculez $S=1+j+j^2+...+j^{2006}$.

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Exercice 8

On considère le polynôme $P(z)=z^4-19z^2+52z-40$ où $z$ est un nombre complexe.

1. Déterminez deux réels $a$ et $b$ tels que :

   $$P(z)=(z^2+az+b)(z^2+4z+2a)$$

2. Résolvez, dans $\mathbb{C}$, l'équation $P(z)=0$.

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Exercice 9

Pour tout nombre complexe $z$, on pose:

$$P(z)=z^4-1$$

1. Factorisez $P(z)$.

2. Déduisez-en les solutions, dans $\mathbb{C}$, de l'équation :

   $$P(z)=0$$

3. Déduisez de la question précédente les solutions, dans $\mathbb{C}$, de l'équation ${\left({\displaystyle \frac{2z+1}{z-1}}\right)}^4=1$ d'inconnue $z$.

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Exercice 10

Pour tout complexe $z$, on considère

$$f(z)=z^4-10z^3+38z^2-90z+261$$

1. $b$ est un réel.

   Exprimez en fonction de $b$ les parties réelle et imaginaire de $f(ib)$.

2. Déduisez-en que l'équation $f(z)=0$ admet deux nombres imaginaires purs comme solution.

3. Démontrez qu'il existe deux nombres réels $\alpha$ et $\beta$, que l'on déterminera, tels que, pour tout nombre complexe $z$, $f(z)=(z^2+9)(z^2+\alpha z+\beta )$.

4. Résolvez, dans $\mathbb{C}$, l'équation $f(z)=0$.

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Exercice 11

1. $f$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

   $$f(x)=x^3+5x2+5x+4.$$

   Calculez $f(-4)$ et déduisez que $-4$ est l'unique solution réelle de l'équation $f(x)=0$.

2. On pose :

   $$P(z)=2z^4+(10-i)z^3+(10-5i)z^2+(8-5i)z-4i$$

   a. L'équation $P(z)=0$ admet une solution réelle, et une seule. Trouvez-la, en utilisant la question 1.

   b. L'équation $P(z)=0$ admet une solution imaginaire pure. Trouvez-la.

   c. Déterminez deux nombres $a$ et $b$ tels que pour tout complexe $z$:

   $$P(z)=(2z-i)(z+4)(z^2+az+b).$$

   Résolvez alors l'équation $P(z)=0$.

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Exercice 12

On pose $P(z)=z^4-6z^3+23z^2-34z+26$.

1. $\alpha$ désigne un complexe quelconque. Démontrez que $P(\bar{\alpha })=\overline{P(\alpha )}$. Déduisez-en que si $P(\alpha )=0$, alors $P(\bar{\alpha })=0$.

2. Calculez $P(1+i)$.

   Indiquez deux solutions complexes de l'équation $P(z)=0$.

3. On pose $Q(z)=[z-(1+i)][z-(1-i)]$.

   a. Vérifiez que $P(z)$ est le produit du polynôme $Q(z)$ et d'un polynôme $Q_1(z)$ du second degré. Déterminez $Q_1(z)$.

   b. Résolvez l'équation $P(z)=0$ dans $\mathbb{C}$.

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Exercice 13

On pose $P(z)=z^4-3z^3+{\displaystyle \frac{9}{2}}{z}^2-3z+1$.

1. Démontrez que si le complexe $\alpha$ est solution de l'équation $P(z)=0$, il en est de même de $\bar{\alpha }$ et de ${\displaystyle \frac{1}{\alpha }}$.

2. Calculez $P(1+i)$.

   Déduisez-en la résolution de l'équation $P(z)=0$.

3. Écrivez $P(z)$ sous forme d'un produit de deux polynômes du second degré, à coefficients réels.

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Exercice 14

On considère trois nombres complexes $u$, $v$ et $w$ et le polynôme $P$ défini sur $\mathbb{C}$ par :

$$P(z)=(z-u)(z-v)(z-w).$$

1. Développer le polynôme $P$ et l'écrire sous la forme $a{z}^3+b{z}^2+cz+d$ en exprimant les coefficients complexes $a$, $b$, $c$ et $d$ en fonction de $u$, $v$ et $w$.

2. À l'aide des expressions obtenues précédemment, déterminer les nombres $u$, $v$ et $w$ tels que :

   $$\{\begin{array}{r}u+v+w=1\\ u\times v+u\times w+v\times w=1\\ u\times v\times w=1\end{array}$$

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Exercice 15

Résoudre dans $\mathbb{C}$ les équations suivantes:

1. $z^2-8z+22={\displaystyle \frac{20}{z}}$.

2. ${\displaystyle \frac{1}{z}}+{\displaystyle \frac{1}{z^2}}+{\displaystyle \frac{1}{z^3}}=3$

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Exercice 16

On considère l'équation polynomiale (E) suivante: $z^4+5z^3-4z^2+5z+1=0$.

1. $0$ est-il solution de (E)?

2. Soit $z$ un nombre complexe non nul. On pose $Z=z+{\displaystyle \frac{1}{z}}$.

   Démontrer que $z$ est solution de (E) si et seulement si $Z$ est solution de l'équation $Z^2+5Z-6=0$.

3. Résoudre alors (E).

4. Soit $k$ un réel non nul et (E) l'équation : $z^4+a{z}^3+b{z}^2+kaz+k^2=0$.

   a. Montrer que $0$ n'est pas solution de (E).

   b. Montrer que (E) équivaut à : $z^2+az+b+{\displaystyle \frac{ka}{z}}+{\displaystyle \frac{k^2}{z^2}}=0$.

5. a. On pose : $Z=z+{\displaystyle \frac{k}{z}}$. Calculer $Z^2$ et en déduire une équation du second degré dont $Z$ est solution.

   b. Résoudre l'équation : $z^4-3z^3-4z^2-6z+4=0$.

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Exercice 17

Soit $P$ un polynôme dont tous les coefficients sont des nombres entiers.

1. Démontrer que toute racine entière de $P$ est un diviseur de $P(0)$.

2. Que peut-on dire des racines entières de $P$ lorsque $P(0)$ est un nombre premier ?

3. Déterminer toutes les racines entières de $P(z)=z^3+6z^2+10z+3$.

4. En déduire toutes les racines de $P$ dans $\mathbb{C}$.

5. On considère le polynôme $P$ défini dans $\mathbb{C}$ par : $P(z)=z^8+3z^7+2z^5+3z^3+2z^2+6$.

   $P$ a-t-il une racine entière ?

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Exercice 18

On souhaite résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation (E) :

$$z^4+7+24i=0$$

1. Vérifier que le complexe $z_0=2-i$ est une solution de (E).

2. En déduire que l'équation (E) est équivalente à l'équation $z^4=z_0^4$.

3. Résoudre alors l'équation.

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Exercice 19

1. Calculer $(1+i{)}^3$.

2. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3=-2(1-i)$.

   Donner le module et un argument de chaque solution.

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Exercice 20

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation : ${\left({\displaystyle \frac{2z+1}{z-1}}\right)}^4=1$.

2. Démontrer que les points images dans le plan complexe de ces solutions sont sur un même cercle que l'on précisera.

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Exercice 21

1. Démontrer que pour tout nombre complexe $z$,

   $$z^7-1=(z-1)(1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+z^6)$$

2. Soit $\omega$ une racine $7$-ième de $1$, différente de $1$.

   Démontrer que les racines dans $\mathbb{C}$ de l'équation $z^7-1=0$, sont $1$, $\omega$, ${\omega }^2$, ${\omega }^3$, ${\omega }^4$, ${\omega }^5$, ${\omega }^6$

3. Utiliser le 1., pour justifier que la somme de racines $7$-ièmes de l'unité est nulle.

4. Utiliser ce qui précède pour résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation:

   $${\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^6+{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^5+{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^4+{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^3+{\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)}^2+\left({\displaystyle \frac{1}{z}}\right)+1=0$$

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Exercice 22

1. a. Calculer le module et un argument du nombre complexe $4\sqrt{2}(-1+i)$.

   b. Soit $z=r{e}^{i\theta }$

   Exprimer le module et un argument de $z$.

   En déduire l'écriture exponentielle des solutions de l'équation $z^3=4\sqrt{2}(-1+i)$.

2. En utilisant les racines cubiques de $1$, écrire les solutions de l'équation $z^3=4\sqrt{2}(-1+i)$ sous forme algébrique.

3. Déduire des deux questions précédentes les valeurs de $\cos \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$ et $\sin \left({\displaystyle \frac{11\pi }{12}}\right)$.

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Exercice 23

1. Soient $z_1,z_2,z_3$ trois nombres complexes distincts ayant le même cube. Exprimer $z_2$ et $z_3$ en fonction de $z_1$.

2. Donner, sous forme polaire, les solutions dans $\mathbb{C}$ de :

   $$z^6+(7-i)z^3-8-8i=0$$

   Indication : poser $Z=z^3$ ; calculer $(9+i{)}^2$

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