Feuille d'exercices sur les nombres complexes : Partie Géométrique

Affixes de points et de vecteurs

On se place dans un repère orthonormé \((\text O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})\) .

Exercice 1 : Calculs d'affixes

Déterminer les affixes des points suivants : \(\text A(2;0)\) , \(\text B(0;-5)\) et \(\text C(-2;3)\).
Déterminer les affixes des vecteurs suivants : \(-3\overrightarrow{u}\) ; \(5\overrightarrow{u}\) ; \(3\overrightarrow{u}-5\overrightarrow{ {v}}\).
Déterminer les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{ {\text{AB}}}\) et \(\overrightarrow{ {\text{CD}}}\) : \(\text A(2;5)\) , \(\text B(1;3)\) , \(\text C(3;0)\) et \(\text D(-3;2)\)

Exercice 2 : Vecteurs colinéaires

Soit \(\overrightarrow{t}\) d'affixe \(3-i\) , \(\text A(3 ,-1)\) et \(\text B(x ,3)\) .

Pour quelle valeur de \(x\) , \(\overrightarrow{ {t}}\) est-il colinéaire à \(\overrightarrow{ {\text{AB}}}\) ?
Soit \(\text A(3;4)\) , \(\text B(1 ,2)\) ,\(\text C(a;0)\) et \(\text D(4;-b)\) .

Pour quelles valeurs de \(a\) et \(b\) , \(\text{ABCD}\) est-il un parallélogramme ?

Exercice 3 : Lire et calculer des affixes

Lire les affixes des points A, B et C.
Lire les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{ {\text{AB}}}\) , \(\overrightarrow{ {\text{AC}}}\) et \(\overrightarrow{ {\text{CB}}}\) .
Déterminer les affixes des milieux des côtés du triangle ABC.

Exercice 4 : Affixe et parallélogramme

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) les points d'affixes \(z_{\text A}=5-i\), \(z_{\text B}=4-3i\) et \(z_{\text C}=-2+2i\) .

Déterminer l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{ {\text{AB}}}\) .
Déterminer l'affixe de D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Vérifier que ses diagonales ont le même milieu.

Exercice 5 : Affixes de vecteurs et droites

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\), \(\text{C}\) et \(\text{D}\) les points d'affixes \(z_{\text A}=4+i\), \(z_{\text B}=3-2i\) , \(z_{\text C}=-1+3i\) et \(\text z_{\text D}=1+9i\) .

Déterminer les affixes des vecteurs \(\overrightarrow{ {\text{AB}}}\) et \(\overrightarrow{ {\text{DC}}}\) .

Que peut-on dire des droites \((\text{AB})\) et \((\text{CD})\) ?

Exercice 6 : Affixes, centre de gravité et points alignés

Soit \(\text{A}\), \(\text{B}\) et \(\text{C}\) les points d'affixes \(z_{\text A}=3+2i\), \(z_{\text B}=4-3i\) et \(z_{\text C}=-2+2i\) . ) Déterminer l'affixe du centre de gravité \(\text{G}\) de \(\text{ABC}\). (Le centre de gravité \(\text{G}\) vérifie \(\overrightarrow{ {\text{GA}}}\) + \(\overrightarrow{ {\text{GB}}}\) + \(\overrightarrow{ {\text{GC}}}\) = \(\overrightarrow{ {0}}\) ) ) Déterminer l'affixe du milieu \(\text{I}\) de \(\text{[BC]}\) et montrer que les points \(\text{A}\), \(\text{I}\) et \(\text{G}\) sont alignés.

Exercice 7 : Ensembles de points

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \((\text O;\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{ {v}})\) , déterminer dans chacun des cas l'ensemble des points M d'affixe \(z=x+{iy}\)

\(3z+5i \overline z=7-2i\)
\((1-2i)z+(1+2i)\) \(\overline z\) = \(z\overline z\)
\(z^2+\overline z\in \mathbb{R}\)
\((1+ z )(i+\overline z) \in i\mathbb{R}\)
\(\dfrac{z+1-2i}{z-3+2i}\in \mathbb{R}\)
\(\dfrac{z+1-2i}{z-3+2i}\in i\mathbb{R}\)

Forme trigonométrique - module et arguments

Exercice 8

Soit \(z\) un nombre complexe de module \(r\) et d'argument \(\theta\) . Déterminer \(\left|-z\right|\) , \(\left|{iz}\right|\) , \(\text{arg}\left(-z\right)\) et \(\text{arg}\left({iz}\right)\)
Déterminer les longueurs AB et CD avec \(z_{\text A}=2+3i\) , \(z_{\text B}=1+4i\) , \(z_{\text C}=3i\) et \(z_{\text D}=5-2i\) .
Déterminer le module et un argument des nombres : -2 ; 5 ; \(3i\) ; \(-2i\) ; \(-1-i\) ; \(\sqrt 3+i\) ; \(\sqrt 3-3i\)

Exercice 9 : Lecture graphique

Lire le module et un argument des affixes des points de la figure :

Exercice 10 : Représenter graphiquement

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \((\text O;\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{ {v}})\) , représenter les points M d'affixe \(z\) tels que :

\(\text{arg}\left(z\right)=\dfrac{\pi } 3\)
\(\text{arg}\left(z\right)=\dfrac{-2\pi } 3\)
\(\left\{\begin{matrix}\text{arg}\left(z\right)=\dfrac{\pi } 4 \\ \left|z\right|=3 \end{matrix}\right.\)

Exercice 11 : S'aider de la représentation graphique

Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \((\text O;\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{ {v}})\) , représenter, puis déterminer le module et un argument des nombres : \(z_1=-1+i\) , \(z_2=-1-i\) , \(z_3=-4\) , \(z_4=3i\)

Exercice 12

Soit \(z=\cos \left(\dfrac{7\pi } 8 \right)+i\sin \left(\dfrac{7\pi } 8\right)\) .

Donner le module et un argument de \(z\) .
En déduire le module et un argument de: \(z_1=2z\) , \(z_2={iz}\) , \(z_3=-3z\) ,\(z_4=-3{iz}\) , \(z_5=\overline z\)

La notation exponentielle

Exercice 13 : Mettre sous forme exponentielle

Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes :

\(z_1=-\sqrt 3+i\) , \(z_2=-2-2i\) , \(z_3=-\dfrac 1 2(\sqrt 3+i)\) , \(z_4=3-i\sqrt 3\) , \(z_5=4+4i\)

En déduire les formes exponentielles de \(z_1z_2\) , de \(z_3z_4z_5\) et de \(\dfrac{z_2}{z_3}\) .

Exercice 14 : Mettre sous forme algébrique

Mettre sous forme algébrique les nombres complexes :

\(z_1=4\text e^{\frac{i\pi} 2}\) , \(z_2=\text e^{i\pi }\) , \(z_3=2\text e^{i\frac{3\pi } 4}\)

Exercice 15 : Mettre sous forme exponentielle

Les questions sont indépendantes.

On pose \(z=3-i\sqrt 3\)

a. Déterminer l'écriture exponentielle de \(z\) .

b. En déduire les écritures exponentielles de : \(z_1=3z\) , \(z_2={iz}\) , \(\text z_3=-2z\) , \(z_4=-4{iz}\)
Soit \(z=r\text e^{i\theta }\) (où \(r>0\) ). Déterminer l'écriture exponentielle de \(-z\) , \({iz}\) , \(-{iz}\) , \(\overline z\) et \(-i\overline z\) .
Soit \(a\in \mathbb{R}\) . Déterminer l'écriture exponentielle des nombres suivants :

\(\cos a-i\text{sin}a\) , \(\sin a+i\cos a\) et \(-\sin a+i\cos a\)

Exercice 16 : Valeurs exactes

\(\cos \left(\dfrac{\pi }{12}\right)\) et de \(\sin \left(\dfrac{\pi}{12}\right)\)

Soit \(z_1=\dfrac{\sqrt 6-i\sqrt 2} 2\) et \(z_2=1+i\).

Déterminer les formes exponentielles de \(z_1\) et de \(z_2\)
En déduire celle de \(\text Z=z_1z_2\)
Déterminer la forme algébrique de \(Z\)
En déduire la valeur exacte de \(\cos \left(\dfrac{\pi }{12}\right)\) et de \(\sin \left(\dfrac{\pi }{12}\right)\)

Exercice 17 : Simplification d'écriture

Simplifier l'écriture du nombre suivant :

\[b=(\text e^{i\theta }-\text e^{-i\theta })^2-(\text e^{i\theta }+\text e^{-i\theta })^2\]

Exercice 18 : Retrouver des formules de trigonométrie

En utilisant la forme exponentielle, exprimer les expressions suivantes en fonction de \(\cos x\) et de \(\sin x\) .

\(\cos \left(\dfrac{\pi } 2+x\right)\) , \(\sin \left(\dfrac{\pi } 2-x\right)\) , \(\cos \left(2x-\dfrac{\pi } 2\right)\)

Exercice 19 : Un calcul pas si compliqué

Déterminer le module et un argument de \(\left(\dfrac{3+i\sqrt 3}{2-2i}\right)^4\) .

Nombres complexes et géométrie

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \((\text O;\overrightarrow{u} ,\overrightarrow{ {v}})\) .

Exercice 20 : Ensembles de points

Dans chacun des cas, déterminer géométriquement l'ensemble des points \(\text{M}\) dont l'affixe \(z\) vérifie :

\(\left|z-3-2i\right|=5\)
\(\left|z-2-i\right|=\left|z+5-i\right|\)
\(\left|z+i\right|=\left|z-1\right|\)

Exercice 21 : Ensemble de points , arguments et angles orientés de vecteurs

Pour cet exercice on utilisera la propriété suivante :

Si \(\overrightarrow{t_1}\) et \(\overrightarrow{t_2}\) sont deux vecteurs d'affixes \(z_1\) et \(z_2\) non nulles, alors \((\overrightarrow{ {t_1}},\overrightarrow{ {t_2}})=\text{arg}\left(\dfrac{z_2}{z_1}\right)\) \(\left[2\pi \right]\)

Soit A,B,C et D les points d'affixes \(z_{\text A}=1\) , \(z_{\text B}=i\) , \(z_{\text C}=-1\) et \(z_{\text D}=-i\).

Déterminer l'ensemble des points d'affixe \(z\) tel que \(\dfrac{z+i}{z+1}\) soit un imaginaire pur.
Déterminer l'ensemble des points d'affixe \(z\) tel que \(\text{arg}\left(z-i\right)=-\dfrac{\pi } 2+2k\pi\) ( où \(k\in \mathbb{Z}\) )

Exercice 22 : Vecteurs orthogonaux, points alignés

Soit \(\text M\) et \({\text M'}\) d'affixes \(z=x+iy\) et \(z'=x'+iy'\) où \(x\) , \(y\) , \({x'}\) et \({y'}\) sont des nombres réels. Montrer que :

\(\overrightarrow{\text{OM}}\) et \(\overrightarrow{\text{OM'}}\) sont orthogonaux si, et seulement si , Re( \({z'}\overline z\) )=0
\(\text O\) , \(\text M\) et \({\text M'}\) sont alignés si, et seulement si Im( \({z'}\overline{z})=0\)

Fonctions dans les complexes

Exercice 23

Soit I le point d'affixe \(2i\) et \(f\) la fonction qui à tout point M d'affixe \(z\) , associe le point M' d'affixe \({z'}\) tel que \({z'}={iz}\).

a. Déterminer l'affixe du point \(A'\) , l'image par \(f\) du point \(A\) d'affixe \(1+\sqrt 2+i\).

b. Montrer que \(A\), \(I\) et \(A'\) sont alignés.
a. Montrer que les points \(M\) du plan tels que \(M\), \(I\) et \({\text M'}\) soient alignés sont sur le cercle \(\Gamma\) de centre \(\Omega\) d'affixe \(1+i\) et de rayon \(\sqrt 2\) .

b. Montrer que \(\text A\in \Gamma\).

c. Déterminer l'ensemble \(\Gamma'\) décrit par le point \(M'\) lorsque le point \(M\) décrit \(\Gamma\).
Soit \(\text B\) le point d'affixe \(2+2i\) et \({\text B'}\) son image par \(f\) .

a. Montrer que \((\text{AB}) \perp (A'B')\)

b. Soit C le point d'intersection des droites \((\text{AB})\) et \((A'B')\) . Déterminer la nature du quadrilatère \(OACA'\) .

Exercice 24

Soit les points A et B d'affixes respectives 2 et \(-2\) et \(f\) la fonction qui à tout point M (différent de A) d'affixe \(z\) , associe le point M' d'affixe \({z'}\) tel que \({z'}=\dfrac{\overline z(z-2)}{\overline z-2}\) .

a. Déterminer l'affixe du point \({\text P'}\) image par \(f\) du point \(\text P\) d'affixe \(1+i\) .

b. Montrer que \((AP)\) // \((BP')\) .

c. Montrer que \((AP)\perp (PP')\) .
Déterminer l'ensemble des points invariants par \(f\) .

On cherche maintenant à généraliser les propriétés 1b) et 1c) pour obtenir une construction de l'image \(M'\) d'un point \(M\) quelconque du plan.
a. Montrer que pour tout nombre complexe \(z\), ( \(z\) -2)( \(\overline z\) -2) \(\in\) \(\mathbb{R}\) .

b. En déduire que pour tout nombre complexe distinct de 2, \(\dfrac{ {z'}+2}{z-2}\in \mathbb{R}\) .

c. Montrer que \((\text{AM})\) // \(({\text{BM}'})\) .
Soit \(M\) un point quelconque tel que \(\text M \notin (AB)\) . Généraliser le résultat de la question 1c)
Soit \(M\) un point distinct de \(A\). déduire des questions précédentes une construction du point \({\text M'}\) image de \(M\) par \(f\) . Réaliser une figure pour le point \(Q\) d'affixe \(3-2i\) .

Exercice 25

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \(\left(O; \vec{u}, \vec{v}\right)\).

Partie A - Restitution organisée de connaissances

Soient \(A\), \(B\) deux points du plan d'affixes respectives \(a\) et \(b\).

On rappelle que :

\(\left(\vec{u}, \overrightarrow{AB}\right) = \arg(b - a) + 2k\pi\) où \(k \in \mathbb{Z}\).
L'image du point \(B\) par la rotation de centre \(A\) et d'angle \(\theta\) est le point \(C\) défini par :

\(AC = AB\) et si \(A \neq B\), \(\left(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}\right) = \theta + 2k\pi\) où \(k \in \mathbb{Z}\).

Exprimer l'affixe \(c\) du point \(C\) en fonction de \(a\), \(b\) et \(\theta\).

Partie B

1. Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(2z^2 - 6z + 9 = 0\).

Dans la suite de l'exercice, on désigne par \(P\), \(Q\) et \(R\) les points d'affixes respectives :

\[z_P = \dfrac{3}{2}(1 + i), \quad z_Q = \dfrac{3}{2}(1 - i) \quad \text{et} \quad z_R = -2i\sqrt{3}.\]

2. Placer les points \(P\), \(Q\) et \(R\) sur une figure que l'on complètera au cours de l'exercice.

3. On note \(S\) le symétrique du point \(R\) par rapport au point \(Q\).

Vérifier que l'affixe \(z_S\) du point \(S\) est \(3 + i\left(2\sqrt{3} - 3\right)\).

4. Soit \(r\) la rotation de centre \(O\) et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\).

Déterminer les affixes \(z_A\) et \(z_C\) des points \(A\) et \(C\), images respectives des points \(R\) et \(S\) par la rotation \(r\).

5. On désigne par \(B\) et \(D\) les images respectives des points \(S\) et \(R\) par la translation de vecteur \(3\vec{v}\).

Calculer les affixes \(z_B\) et \(z_D\) des points \(B\) et \(D\).

6. a. Démontrer que \(\dfrac{z_C - z_P}{z_B - z_P} = i\).

b. En déduire la nature du quadrilatère \(ABCD\).

Exercice 26

Le plan est rapporté au repère orthonormal \((O; \vec{u}, \vec{v})\). Unité graphique : 3 cm

À tout point \(M\) d'affixe \(z\) du plan, on associe le point \(M'\) d'affixe \(z'\) par l'application \(f\) qui admet pour écriture complexe :

\[z' = \dfrac{(3 + 4i)z + 5\bar{z}}{6}.\]

a. On considère les points \(A, B, C\) d'affixes respectives \(z_A = 1+2i\), \(z_B = 1\) et \(z_C = 3i\).

Déterminer les affixes des points \(A', B', C'\) images respectives de \(A, B, C\) par \(f\).

Placer les points \(A, B, C, A', B', C'\).

b. On pose \(z = x + iy\) (avec \(x\) et \(y\) réels).

Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de \(z'\) en fonction de \(x\) et \(y\).

c. Montrer que l'ensemble des points \(M\) invariants par \(f\) est la droite \((D)\) d'équation \(y = \dfrac{1}{2}x\).

Tracer \((D)\). Quelle remarque peut-on faire ?

d. Soit \(M\) un point quelconque du plan et \(M'\) son image par \(f\). Montrer que \(M'\) appartient à la droite \((D)\).

e.

Montrer que, pour tout nombre complexe z :

\[z' - z_{z_A} = \dfrac{z + \bar{z}}{6} + i \dfrac{z - \bar{z}}{3}.\]

En déduire que le nombre \(\dfrac{z' - z}{z_A}\) est réel.
En déduire que, si \(M' \neq M\), les droites \((OA)\) et \((MM')\) sont parallèles.

f. Un point quelconque \(N\) étant donné, comment construire son image \(N'\) ? (on étudiera deux cas suivant que \(N\) appartient ou non à \((D)\)).

Effectuer la construction sur la figure.