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Feuille d'exercices sur les nombres complexes : Forme algébrique

Exercice 1 : Vrai ou faux

  1. Si \(z=4i-3\), alors

    a. \(Im(z)= 3i\)

    b. \(Im(z)=4\)

    c. \(\overline z=4i+3\)

    d. \(-\overline z=4i+3\)

    e. \(i\overline z=4-3i\)

    f. \(Re(\overline z)=-3\)

  2. Si \(z=-3i\) , alors \(z\)  est un imaginaire pur.

    Si \(z=-2\), alors \(\mathit{iz}\)  est un imaginaire pur.

    Si \(z=a+\mathit{ib}\) oĂą \(a \in \mathbb{R}\) , \(b \in \mathbb{R}\), alors:

    a. \(Re(z+3)\)=\(Re(z)+3\)

    b. \(Re(iz)=b\)

    c. \(Im(z^2)=b^2\)

    d. \(Im(2z)=2b\)

Exercice 2 : Forme algébrique - conjugué - parties réelles et imaginaires

Déterminer les parties réelles et imaginaires de \(3i\) ; \(-5\) ; 0 ; \(i^3\) ; \(3i-2\).

Soit \(x\in \mathbb{R}\)  et \(z=(4-2x)+i(5-x)\) .

a. Pour quelle valeur de \(x\) , \(z\)  est-il réel ?

b. Pour quelle valeur de \(x\) , \(z\)  est-il imaginaire pur ?

Déterminer la forme algébrique des nombres : \(z_1=3+5-i+2(8-5i)\) et \(z_2=3(-2+5i)(3i-1)\)

Déterminer les conjugués des nombres : \(z_3=5-4(i-3)\)     et    \(z_4=3i(2-i)\)

Déterminer la forme algébrique des inverses des nombres : \(-3\) ; \(i\) ; \(-5i\) ; \(1-2i\)

Écrire sous forme algébrique les nombres : \(\dfrac 3 i\) ;  \(\dfrac 2{2i-1}\) ;  \(\dfrac{2-i}{2+3i}\).

Exercice 3 : RĂ©els et imaginaires purs

Soit \(x \in \mathbb{R}\)  et \(y \in \mathbb{R}\) . Pour quelles valeurs de \(x\)  et \(y\)  les nombres ci-dessous sont réels ou imaginaires purs ?

\(z_1=2x-4i+7\)   et  \(z_2=3x-2i+4(x+\mathit{iy})\)

Exercice 4 : Mettre sous forme algébrique - calculatrice

Mettre les nombres complexes ci-dessous sous forme algébrique, puis vérifier avec la calculatrice

  1. \(z_1=(4-5i)^2\)

  2. \(z_2=(4-5i)(4+5i)\)

  3. \(z_3=(4+5i)^2\)

  4. \(z_4=2-i(3-4i)(1+i)\)

  5. \(z_5=(1-2i)^3\)

  6. \(z_6=i^4-i^3\)

  7. \(z_7=\overline{(1-2i)^2}\)

  8. \(z_8=\overline{1-i(2-5i)}\)

  9. \(z_9=\dfrac 1{4i-3}\)

  10. \(z_{10}=\dfrac 1{(5-i)(2-3i)}\)

Exercice 5 : Une fonction dans les complexes

Soit \(f\)  la fonction définie de \(\mathbb{C}\)  dans \(\mathbb{C}\) par \(f(z)=z^2-3iz\).

Déterminer sous forme algébrique :

  1. \(f(i)\)

  2. \(f(1-i)\)

  3. \(f\left(\dfrac 1{1+i}\right)\)

Exprimer \(\overline{f(z)}\) en fonction de  \(f\) ( \(\overline z\) )

Exercice 6 : En fonction de

Donner la forme algébrique du conjugué \(\overline z\) des complexes suivants:

  1. \(z=3-4i\)
  2. \(z=\dfrac{1}{i-1}\)
  3. \(z=\dfrac{3-i}{1+i}\)
  4. \(z=\dfrac{2i+1}{i+2}+\dfrac{1-2i}{2-i}\)

Exercice 7 : En fonction de

Écrire en fonction de \(\overline z\)  les conjugués des nombres suivants:

  1. \(\text Z_1=z-3i\)

  2. \(\text Z_2=\mathit{iz}-4\)

  3. \(\text Z_3=(z-2i)(\mathit{iz}+4)\)

  4. \(\text Z_4=\dfrac{z-2+i}{z-3-i}\)

Exercice 8 : Conjugaison

Soit \(z=\dfrac{3-2i}{5-i}\)  et \({z'}=\dfrac{3+2i}{5+i}\) Sans calcul, justifier que \(z+{z'}\)  est un réel ? Calculer \(z-{z'}\)

Exercice 9 : Conjugaison

Dans chacun des cas, calculer \(z\overline z\):

  1. \(z=1+3i\)

  2. \(z=\dfrac{1-2i}{2i+1}\)

Exercice 10 : Parties réelles et imaginaires en fonction de

Soit  \(z=a+\mathit{ib}\)  ( où \(a\in \mathbb{R}\) , \(b\in \mathbb{R}\)).

Déterminer en fonction de \(a\)  et \(b\)  les parties réelles et imaginaires de :

  1. \(\text Z_1=z^2-2z\)

  2. \(\text Z_2=\dfrac{z-i}{z+1}\)

  3. \(\text Z_3=\dfrac{z-2+i}{z+1-i}\)

Exercice 11 : Conjugué

  1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), on a \(\overline{z^n}=\overline{z}^n\).

  2. En déduire que pour tout entier naturel \(n\) et pour tout nombre complexe \(z\), \(z^n+\overline{z}^n\) est un nombre réel.

  3. démontrer que pour tout entier naturel \(n\), le nombre complexe \((2-i)^{2n}+(3+4i)^n\) est un nombre réel.

Exercice 12 : Équations du premier degré et équations de second degré élémentaires

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)  les équations ci-dessous:

  1. \((2+4i)z+3-i=5z-i\)

  2. \((2-i)z+3-i=3\overline z-i\)

  3. \(\dfrac i{z+2i}=4\)

  4. \(z^2=-9\)

  5. \((z-2i)^2=-4\)

  6. \(z^2-\overline z=2\)

  7. \(\dfrac{z-1}{\mathit{iz}+1}=-i\)

  8. \(\dfrac{z-3+i}{z+2-i}=-2i\)

Exercice 13 : Équations du second degré

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)  les équations ci-dessous.

  1. \(z^2-2z+2=0\)

  2. \(2z^2-2z+3=0\)

  3. \(2z^2-2z-3=0\)

  4. \(z+\dfrac 1 z=1\)

  5. \(z+\dfrac 1 z=\sqrt 3\)

  6. \(\dfrac{z-1}{z+2}=z\)

Exercice 14 : Système d'équation

Résoudre dans \(\mathbb{C}\)  le système d'équations \(\left\{\begin{matrix}3z_1+z_2=2-5i\\z_1-z_2=2+i \end{matrix}\right.\).

Exercice 15: En arithmétique

L’ensemble \(\mathbb{Z}[i]\) est l'ensemble des entiers de Gauss c’est à dire les nombres complexes qui peuvent s'écrire sous la forme : \(a + ib\) avec \(a\), \(b \in \mathbb{Z}\).

Montrer que l’ensemble \(\mathbb{Z}[i]\) est stable pour l'addition et le produit, c’est à dire que la somme et le produit de deux entiers de Gauss sont des entiers de Gauss.

Exercice 16 : Second degré

Trouver les complexes \(p\) et \(q\) tels que l'Ă©quation : \(z^2 + pz + q = 0\) admette pour solutions les nombres: \(1+2i\) et \(3-5i\)

Exercice 17 : résolution

RĂ©soudre dans \(\mathbb{C}\), l'Ă©quation : \(z^2 + 2\overline z + 1 = 0\)

Exercice 18

Pour tout complexe \(z\neq2\), on pose: \(z' = \dfrac{iz}{z-2}\). Prouver que: \(z'\) imaginaire pur \(\Leftrightarrow\) \(z\) réel.

Exercice 19 : Somme et produit de complexes

  1. Calculer \(i^n\) en distinguant plusieurs cas selon les valeurs de l'entier naturel \(n\).

  2. En déduire selon les valeurs de \(n\), la valeur de:

    a. la somme \(1+i+i^2+...+i^n\).

    b. le produit \(1 \times i \times i^2 \times...\times i^n\).

Exercice 20 : Nombre imaginaire pur et nombre réel

Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) convenablement choisi, on note \(z'=\dfrac{2\overline{z}}{\overline{z}+i}\). \(z'\) est un nombre réel si et seulement si :

  1. \(z\) est imaginaire pur différent de \(i\).

  2. \(z\) est imaginaire pur.

  3. \(z\) est réel différent de 1.

  4. \(z\) est réel.

Exercice 21 : Équation et trigonométrie

Pour tout nombre réel \(\Theta \in [0;\pi]\), on considère l'équation \(z^2-2\cos(\Theta)z+1=0\)

  1. Déterminer les valeurs de \(\Theta\) pour lesquelles l'équation admet une solution réelle.

  2. Dans les autres cas, exprimer les solutions complexes en fonction de \(\Theta\).

Exercice 22 : Racines carrées d'un nombre complexe

Dans cet exercice, nous allons nous intéresser à la notion de racine carrée d'un nombre complexe.

  1. Déterminer un nombre complexe dont le carré est égal à :

    a. \(25\)

    b. \(-1\)

    c. \(-4\)

  2. On veut déterminer un nombre complexe \(z\) dont le carré est égal à \(5+12i\). Résoudre l'équation.