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Feuille d'exercices sur la divisibilité, la division euclidienne et les congruences

Divisibilité, division euclidienne

Exercice 1 : cas triviaux

Démontrer que l'ensemble des multiples de \(5\) est le même que celui des multiples de \(-5\).

Quel est l'ensemble des diviseurs de \(0\) ? Des multiples de \(0\) ?

Quel est l'ensemble des diviseurs de \(1\) ? Des multiples de \(1\) ?

Quel est l'ensemble des entiers dont \(0\) est un diviseur ?

Exercice 2 : réciprocité

Démontrer que si \(a\) divise \(b\) et que \(b\) divise \(a\) alors \(a = b\) ou \(a = -b\).

Exercice 3 : démonstrations du cours

Démontrer:

Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des entiers relatifs.

  • Si \(a\) divise \(b\) et \(b\) divise \(c\), alors \(a\) divise \(c\).

  • Si \(a\) divise \(b\), alors pour tout entier relatif \(k\), \(ka\) divise \(kb\).

  • Si \(a\) divise \(b\) et \(c\) alors pour tous entiers relatifs \(u\) et \(v\), \(a\) divise \(bu+cv\).

Exercice 4

En décomposant \(111 111\) démontrer que \(111\) divise \(111 111\). De même démontrer que \(111\) divise \(222111\).

Exercice 5

En étudiant \(S=1+7+7^2+7^3+\ldots +7^{n-1}\)  démontrer que \(7^n+23\)  est divisible par \(6\).

Exercice 6

Déterminer les entiers \(n\) pour que les rationnels suivants soient des entiers relatifs :

a. \(\dfrac{2n+8}{n-2}\)              b. \(\dfrac{-6n+3}{n+5}\)

Exercice 7

Déterminer les entiers \(a\) et \(b\) tels que \(a^2-4b^2=20\).

Exercice 8 : Retour au primaire

Sachant que \(38367=152\times 251+215\), effectuer, sans calculatrice et sans la poser, la division euclidienne de \(38367\) par \(251\) puis par \(152\).

Exercice 9 : Restes

Soit \(n\)  un entier naturel non nul. Quel est le reste de la division euclidienne de \((n+2)^2\)  par \(n+4\)  puis celui de \(7n+16\) par \(2n+3\) ?

Exercice 10 : Parité

Démontrer que pour tout entier naturel impair \(n\), \(n^2-1\) est divisible par \(8\).

Exercice 11 : Unicité

Effectuer la division euclidienne de \(526\) par \(12\). En déduire l'existence d'un unique couple \((q;r)\) tel que \(q{\in}\mathbb{Z}\), \(r{\in}\mathbb{N}\), \(r<12\)  et \(-526=12q+r\).

Exercice 12 : division euclidienne sur \(\mathbb{Z}\)

Effectuer les divisions euclidiennes de \(124\) par \(25\), puis de \(-124\) par \(25\), de \(124\) par \(-25\) et enfin de \(-124\) par \(-25\).

Exercice 13 : parité

Soit \(n\)  un nombre entier défini par \(n=a(a+3)\). Démontrer que \(n\) est pair.

Exercice 14 : de beaux restes

Soit \(x\)  un entier relatif tel que le reste de la division euclidienne de \(x\)  par \(7\) est \(2\). Quels sont les restes des divisions euclidiennes de \(x^2\)  et \(x^3\)  par \(7\) ?

Exercice 15

On note \(k \in \mathbb{N}\), \(a = 6k + 5\) et \(b = 8k + 3\).

Montrer qu'il n'existe que deux diviseurs positifs communs à \(a\) et \(b\).

Exercice 16

Démontrer que pour tout \(a\in\mathbb{Z} ,\ N=a(a^2-1)\) est un multiple de \(6\).

Exercice 17

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que \(n-3\) divise \(2n + 1\)

Exercice 18

Déterminer l'ensemble des entiers naturels \(n\) tels que \(n + 1\) divise \(n^2 - n + 3\).

Exercice 19

Déterminer l'ensemble des entiers relatifs \(n\) tels que la fraction \(\dfrac{3n + 8}{n+4}\) peut se simplifier sous la forme d'un entier relatif.

Exercice 20

Trouver tous les couples d'entiers relatifs \((x; y)\) tels que \(x^2 - y^2 = 13\).

Exercice 21

  1. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(3n^4 + 5n + 1\) est impair.

  2. En déduire que \(3n^4 + 5n + 1\) n'est pas divisible par \(n(n + 1)\).

Exercice 22

Démontrer que pour tout entier relatif \(n\) l'entier \(n^3 - n\) est divisible par \(3\).

Exercice 23

Démontrer que tout entier naturel de la forme \(\overline{xyyx}\) est un multiple de \(11\).

Exercice 24

Démontrer que pour tous les entiers naturels \(a\) et \(b\), le nombre \((a + b)^7 - (a^7 + b^7)\) est un multiple de 7.

Exercice 25

Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 1.

  1. Démontrer que \(9^{n+1} - 2^{n+1} = 11(9^n - 2^n) - 18(9^{n-1} - 2^{n-1})\).

  2. Démontrer, par récurrence sur \(n\), que \(3^{2n} - 2^n\) est divisible par \(7\).

Exercice 26

On considère la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par : \(u_n = (3n - 1)^2 - 2 + (-2)^n\).

  1. Démontrer que pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1} + 2u_n\) est un multiple de \(27\).

  2. Démontrer que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n\) est un multiple de \(27\).

Exercice 27

Soit \(n = \overline{cdu}\) un entier de trois chiffres divisible par \(107\).

Démontrer que l'entier \(x = 7d^2 + (7c-u)^2\) est aussi un multiple de \(107\).

Exercice 28

Démontrer que tous les termes de la suite définie pour \(n \geq 0\) par \(u_n = n(n + 1)(2n + 1)(3n^2 + 3n - 1)\) sont des multiples de \(30\).

On pourra calculer \(u_{n+1} - u_n\).

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Congruences

Exercice 29 : Vrai ou Faux

Indiquer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant:

  • Si \(a \times b \equiv 0 \pod 6\) alors \(a \equiv 0 \pod 6\) ou \(b \equiv 0 \pod 6\).

  • Si \(2x \equiv 4 \pod {12}\) alors \(x \equiv 2 \pod {12}\).

  • Si \(2x \equiv 4 \pod {12}\) alors \(x \equiv 2 \pod {6}\).

  • Si \(7-x \equiv 5 \pod {3}\) alors \(x \equiv 2 \pod {3}\).

  • Pour tout entier \(x\), \(x^5 \equiv x \pod 4\).

Exercice 30 : Tableau de congruence

  1. Déterminer suivant les valeurs de l'entier relatif \(n\), le reste de la division de \(n^2\) par \(7\).

  2. En déduire alors les solutions de l'équation \(x^2 \equiv 2 \pod{7}\) dans \(\mathbb{Z}\).

Exercice 31

Trouver les restes de la division euclidienne par 7 des nombres : \(351^{12} \times 85^{15}\) et \(16^{12} - 23^{12}\).

Exercice 32

Vérifier que \(2^4 \equiv -1 \pod{17}\) et \(62 \equiv 2 \pod{17}\).

Quel est le reste de la division par \(17\) des nombres \(1532^{20}\) et \(346^{12}\) ?

Exercice 33

Vérifier que \(999\) est divisible par \(27\), puis que \(10^{3n} \equiv 1 \pod{27}\), avec \(n \in \mathbb{N}\).

Quel est alors le reste dans la division de \(10^{100} + 100^{10}\) par \(27\) ?

Exercice 34

Démontrer que pour tout entier naturel \(k\), on a : \(5^{4k} - 1\) divisible par \(13\).

Exercice 35

Démontrer que pour tout entier naturel \(n\), \(5^{2n} - 14^n\) est divisible par \(11\).

Exercice 36

  1. Quels sont les restes possibles de la division de \(3^n\) par \(11\) ?

  2. En déduire les entiers \(n\) pour lesquels \(3^n + 7\) est divisible par \(11\).

Exercice 37

Déterminer les entiers n tels que \(2^n - 1\) est divisible par \(9\).

Exercice 38

Démontrer que pour tout entier \(n\), \(n^2\) est congru soit à \(0\), soit à \(1\), soit à \(4\), modulo \(8\).

Résoudre alors dans \(\mathbb{Z}\) l'équation :

\[(n + 3)^2 - 1 \equiv 0 \pod{8}\]

Exercice 39

Déterminer les restes de la division euclidienne de \(5^n\) par \(11\) suivant les valeurs de \(n\). On donnera les résultats sous forme d'un tableau.

Exercice 40

  1. Compléter cette table des restes dans la congruence modulo \(4\).

    \(x \equiv {}\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\)
    \(x^2 \equiv {}\)

  2. Prouver que l'équation \(7x^2 - 4y^2 = 1\), d'inconnues \(x\) et \(y\) entiers relatifs, n'a pas de solution.

  3. Résoudre dans \(\mathbb{Z}\) l'équation \((x + 3)^2 \equiv 1 \pod 4\).

Exercice 41

  1. Déterminer l'ensemble \(E_1\), des entiers relatifs \(x\) tels que le nombre \(n = x^2 + x - 2\) est divisible par \(7\).

  2. Déterminer l'ensemble \(E_2\) des entiers relatifs \(x\) tels que le nombre \(n=x^2+x-2\) est divisible par \(3\).

  3. \(k\) est un entier relatif.

    Vérifier que si, \(x=1+21k\) ou \(x=-2+21k\), alors \(n=x^2+x-2\) est divisible par \(42\).