Le radian - Arcs de cercle - Trigonométrie
1. Repérage sur le cercle
Définition : Le cercle trigonométrique \(C\) est le cercle de centre O, de rayon 1, avec un sens de rotation direct (sens trigonométrique) qui est le sens contraire des aiguilles d'une montre.
\(C\) est le cercle trigonométrique de centre O et de rayon [OI]. On trace la tangente (d) en I au cercle C et on munit cette droite du repère (I, A) avec IA = OI = OJ = 1 : elle représente la droite des réels. On « enroule cette droite des réels » autour du cercle C : la demi-droite [IA) s'enroule dans le sens direct, la demi-droite [IA') dans le sens indirect.
Définition : À tout nombre réel \(x\) on fait correspondre le point N d'abscisse \(x\) dans le repère (I, A) de (d). En enroulant la droite des réels sur le cercle trigonométrique, le point N d'abscisse \(x\) sur la droite des réels vient se superposer sur un unique point M du cercle trigonométrique appelé image de N sur le cercle trigonométrique.
Remarque : La longueur de l'arc de cercle IM est égale à la partie numérique de \(x\) pour \(x \in [0; 2\pi[\) (distance toujours positive).
Définition : On appelle mesure en radian de l'angle la partie numérique du nombre \(x\) précédent.
Exemples :
-
Le point P d'abscisse \(\pi\) vient se superposer à K ; on dira que K est l'image de \(\pi\) sur le cercle trigonométrique. La longueur de l'arc de cercle IK est égale à \(\pi\). La mesure de l'angle est égale à \(\pi\) radians.
-
Le point L est l'image du réel \(-\dfrac{\pi}{2}\) sur le cercle trigonométrique : on a enroulé la droite dans le sens indirect car le réel repérant B' est négatif. La longueur du « petit » arc de cercle IL est égale à \(\dfrac{\pi}{2}\). La mesure de l'angle est égale à \(\dfrac{\pi}{2}\) radians.
Remarque : Par le procédé d'enroulement, on associe à tout réel \(x\) un unique point M. Mais tout point M du cercle trigonométrique est associé à une infinité de réels.
Exemple : Le point J est l'image des réels \(\dfrac{\pi}{2}\); \(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi\); \(\dfrac{\pi}{2} + 4\pi\); \(\dfrac{\pi}{2} + 6\pi\)... Ou encore \(\dfrac{\pi}{2} - 2\pi\); \(\dfrac{\pi}{2} - 4\pi\)
Propriété : Les mesures en degrés et en radians sont proportionnelles.
| Degrés | 360° | 180° | 90° | 60° | 45° | 30° | 0° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(2\pi\) | \(\pi\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | 0 |
2. Mesure principale d'un angle
Propriété (admise) : Soit \(x\) une mesure en radians d'un angle.
L'angle a une et une seule mesure dans l'intervalle \(]-\pi;\pi]\).
Cette mesure est appelée mesure principale de l'angle.
Exemples : Déterminer la mesure principale des angles suivants
- \(\dfrac{25\pi}{6} = 4\pi + \dfrac{\pi}{6}\)
La mesure principale est \(\dfrac{\pi}{6}\)
- \(\dfrac{143\pi}{6} = \dfrac{138\pi}{6} + \dfrac{5\pi}{6} = 23\pi + \dfrac{5\pi}{6} = 22\pi + \pi + \dfrac{5\pi}{6} = 22\pi + \dfrac{11\pi}{6}\)
Or \(\dfrac{11\pi}{6} > \pi\), donc \(\dfrac{11\pi}{6} - 2\pi = \dfrac{11\pi}{6} - \dfrac{12\pi}{6} = -\dfrac{\pi}{6}\)
La mesure principale est \(-\dfrac{\pi}{6}\)
- Pour \(21\pi\) : \(21\pi=20\pi+\pi=10 \times 2\pi+\pi\) donc \(\pi\) est la mesure principale de \(21\pi\)
Remarque : La valeur absolue de la mesure principale est la mesure en radians de l'angle géométrique correspondant.
3. Trigonométrie
a) Repère orthonormé direct
Définition : Un repère orthonormal (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)) est dit direct lorsque le sens de rotation de \(\vec{i}\) vers \(\vec{j}\) est le sens trigonométrique (sens contraire des aiguilles d'une montre).
b) Sinus et cosinus d'un nombre réel
Définition : Soit \(x \in \mathbb{R}\) et M un point du cercle trigonométrique repéré par \(x\). Le cosinus et le sinus de \(x\) sont respectivement l'abscisse et l'ordonnée de M dans le repère orthonormé direct (O, \(\vec{i}\), \(\vec{j}\)).
On les note \(\cos x\) et \(\sin x\) respectivement.
Remarque : Si \(x\) et \(x + 2k\pi\) (avec \(k\) entier relatif) sont associés au même point M sur le cercle trigonométrique, d'où \(\cos(x + 2k\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2k\pi) = \sin x\).
c) Premières propriétés
Propriétés : Pour tout \(x\) réel
-
\(-1\leqslant\cos x\leqslant1\)
-
\(-1\leqslant\sin x\leqslant1\)
-
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
d) Tableau de valeurs remarquables
| réel \(x\) | 0 | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | 1 | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{1}{2}\) | 0 |
| \(\sin x\) | 0 | \(\dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) | 1 |
e) Cosinus et sinus d'angles associés
Propriété : Pour tout réel \(x\) :
-
\(\sin(-x) = -\sin x\) et \(\cos(-x) = \cos x\)
-
\(\sin(\pi + x) = -\sin x\) et \(\cos(\pi + x) = -\cos x\)
-
\(\sin(\pi - x) = \sin x\) et \(\cos(\pi - x) = -\cos x\)
-
\(\sin(x + \dfrac{\pi}{2}) = \cos x\) et \(\cos(x + \dfrac{\pi}{2}) = -\sin x\)
-
\(\sin(\dfrac{\pi}{2} - x) = \cos x\) et \(\cos(\dfrac{\pi}{2} - x) = \sin x\)
Démonstration :
-
Angles opposés : \(x\) et \(-x\) sont symétriques par rapport à l'axe (O\(\vec{i}\))
-
Angles supplémentaires : \(x\) et \(\pi + x\) sont symétriques par rapport à O. Pour \(\pi - x\), il suffit de prendre \(-x\) puis ajouter \(\pi\)
Remarque : Il faut savoir retrouver toutes les égalités à partir du cercle trigonométrique.
Exemple : Calculer \(\sin \dfrac{7\pi}{6}\) et \(\cos \dfrac{13\pi}{6}\) et \(\cos \dfrac{79\pi}{6}\)
\(\sin \dfrac{7\pi}{6} = \sin(\pi + \dfrac{\pi}{6}) = -\sin \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}\)
\(\cos \dfrac{13\pi}{6} = \cos(2\pi + \dfrac{\pi}{6}) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos \dfrac{79\pi}{6} = \cos(13 \times 2\pi + \dfrac{\pi}{6}) = \cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
f) Équations trigonométriques
Propriétés :
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L'équation \(\cos x = \cos a\) a pour solutions les nombres réels \(x = a + 2k\pi\) et \(x = -a + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
-
L'équation \(\sin x = \sin a\) a pour solutions les nombres réels \(x = a + 2k\pi\) et \(x = \pi - a + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
Exemples :
- Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(\cos x = \cos \dfrac{2\pi}{3}\)
\(\cos x = \cos \dfrac{2\pi}{3} \Longleftrightarrow x = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
Les solutions de l'équation dans \(\mathbb{R}\) sont \(\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) et \(-\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)).
- Résoudre dans \(]-\pi; +\pi[\) l'équation \(\sin x = \dfrac{1}{2}\)
On sait que \(\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}\). D'où \(\sin x = \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow \sin x = \sin \dfrac{\pi}{6} \Longleftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
\(\Longleftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \dfrac{5\pi}{6} + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\))
Les solutions de l'équation dans \(]-\pi; +\pi[\) sont \(\dfrac{\pi}{6}\) et \(\dfrac{5\pi}{6}\).