NOMBRES COMPLEXES : Équations
1. Équations polynomiales du second degré
On a déjà vu la propriété suivante dans le premier cours sur les nombres complexes:
Propriété
L'équation \({az}^2+{bz}+c=0\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels (avec \(a\neq 0\)) admet dans \(\mathbb{C}\) deux solutions (éventuellement confondues).
Soit \(\Delta =b^2-4{ac}\) le discriminant de l'équation. \(\Delta\) est un nombre réel.
-
si \(\Delta \geqslant 0\) , les deux solutions sont réelles : \(z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)
-
si \(\Delta <0\) , les deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre : \(z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}\).
Le trinôme \({az}^2+{bz}+c\) peut alors se factoriser sous la forme \(a(z-z_1)(z-z_2)\).
Définition
Soit \(a\) un nombre réel. Les solutions dans \(\mathbb{C}\) de l'équation \(z^2=a\) sont appelées racines carrées de \(a\) dans \(\mathbb{C}\).
Propriété
Soit \(a\) un nombre réel.
-
Si \(a=0\), alors \(a\) admet exactement 1 racine carrée dans \(\mathbb{C}\) : le nombre \(0\).
-
Si \(a>0\), alors \(a\) admet exactement 2 racines carrées dans \(\mathbb{C}\) : les réels \(\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\).
-
Si \(a<0\), alors \(a\) admet exactement 2 racines carrées dans \(\mathbb{C}\) : les imaginaires purs \(i\sqrt{-a}\) et \(-i\sqrt{-a}\).
Exemple : Les racines carrées dans \(\mathbb{C}\) de -3 sont \(i\sqrt{3}\) et \(-i\sqrt{3}\).
2. Propriétés des polynômes
Définition
on dit qu'un polynôme \(P\) est factorisable (ou divisible) par \(z-a\) s'il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P(z)=(z-a)Q(z)\).
Propriété
Soit \(z\) et \(a\) deux nombres complexes, et \(n\) un entier naturel non nul.
Le polynôme \(z^n-a^n\) est factorisable alors sous la forme
Preuve
Il suffit de développer le membre de droite.
Propriété
\(P(z)\) est factorisable par \(z-a\) si et seulement si \(P(a)=0\).
Preuve
Si \(P(z)\) est factorisable par \(z-a\), alors il existe un polynôme \(Q\) tel que \(P(z)=(z-a)Q(z)\) d'où \(P(a)=0\).
Réciproquement, si \(P(a)=0\) avec \(P\) défini par \(P(z)=\sum\limits_{k=0}^{n}{c_kz^k}=c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_nz^n\), on a alors:
\(P(a)=c_0+c_1a+...+c_na^n=\sum\limits_{k=0}^n{c_ka^k}=0\)
On peut alors écrire: \(P(z)-P(a)=c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_nz^n-(c_0+c_1a+...+c_na^n)=\sum\limits_{k=0}^n{c_kz^k}-\sum_{k=0}^n{c_ka^k}\)
Soit \(P(z)-P(a)=c_1(z-a)+c_2(z^2-a^2)+...+c_k(z^k-a^k)=\sum\limits_{k=0}^n{c_k}(z^k-a^k)\)
Or, d'après la propriété précédente, on a \(z^k-a^k\) factorisable par \(z-a\) pour tout \(k\) entier naturel non nul.
Il existe donc un polynôme \(Q\) tel que \(P(z)=P(z)-P(a)=(z-a)Q(z)\). \(P(z)\) est donc factorisable.
Propriété
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Un polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines.
Preuve
La démonstration se fait par récurrence sur le degré du polynôme. On reformule la propriété de la façon suivante :
"L'équation \(P(z)=0\) où \(P\) est une fonction polynômiale de degré \(n\) a un nombre de solutions inférieur ou égal à \(n\)".
Initialisation:
L'équation \(\alpha{z}+\beta = 0\) admet, si \(\alpha \neq 0\) une solution: \(z=-\dfrac{\beta}{\alpha}\)
Hérédité :
On suppose la propriété vraie au rang \(p\) et on démontre qu'elle est vraie au rang \(p+1\) c'est-à-dire que "L'équation \(P(z) = 0\) où P est une fonction polynômiale de degré \(p+1\) a un nombre de solutions inférieur ou égal à \(p+1\)".
Pour cela on procède par disjonction de cas.
-
Si \(P\) n'a pas de racine, alors la conclusion est évidente puisque \(P(z)=0\) a forcément un nombre de solutions inférieur ou égal à \(p+1\),
-
Si \(P\) admet au moins une racine que l'on notera \(a\), alors \(P\) est factorisable par \((z-a)\) et s'écrit \(P(z)=(z-a)Q(z)\) où \(Q\) est un polynôme de degré \(p\). On en déduit que l'équation \(P(z) = 0\) est équivalente à \(z-a=0\) ou \(Q(z) = 0\).
D'après l'hypothèse de récurrence, comme \(Q\) est de degré \(p\), \(Q(z)=0\) admet un nombre de solutions inférieur ou égal à \(p\). Avec \(z-a=0\), on a une solution de plus. \(P(z)=0\) admettra donc, au plus, \(p+1\) solutions.
Conclusion:
La propriété est initialisée et héréditaire, on a donc démontré par récurrence sur \(p\) qu'elle était vraie \(\forall p \in \mathbb{N}^*\)
Propriété
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(P\) un polynôme de la forme \(P(z)=\sum\limits_{k=0}^n{c_kz^k}=c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_nz^n\) .
Si \(z_0\) est racine de \(P\) alors \(\overline{z_0}\) est aussi racine de \(P\)
Preuve
On a montré dans le premier cours sur les nombres complexes, que le conjugué du produit était le produit des conjugués et que le conjugué d'une somme était la somme des conjugués.
Par conséquent:
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow \overline{P(z_0)}=0\)
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow \overline{c_0+c_1z_0+c_2z_0^2+...+c_nz_0^n}=0\)
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow \overline{c_0}+\overline{c_1z_0}+\overline{c_2z_0^2}+...+\overline{c_nz_0^n}=0\)
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow \overline{c_0}+\overline{c_1} \times \overline{z_0}+\overline{c_2} \times {\overline{z_0}}^2+...+\overline{c_n} \times {\overline{z_0}}^n=0\)
Or le conjugué d'un nombre réel est égal à lui-même donc:
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow c_0+c_1 \times \overline{z_0}+c_2 \times {\overline{z_0}}^2+...+c_n \times {\overline{z_0}}^n=0\)
\(P(z_0)=0 \Leftrightarrow P(\overline{z_0})=0\)
Formule de Viète
Soit \(n\) un entier naturel non nul et \(P\) un polynôme de la forme \(P(z)=\sum\limits_{k=0}^n{c_kz^k}=c_0+c_1z+c_2z^2+...+c_nz^n\) .
La formule de Viète nous dit que la somme des racines complexes du polynôme \(P\) est égale à \(-\dfrac{c_{n-1}}{c_n}\).
Preuve
D'après ce qui précède tout polynôme de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles et exactement \(n\) racines complexes.
Ainsi, tout polynôme de degré \(n\) peut se factoriser sous la forme :
où \(z_1\), \(z_2\), \(...\), \(z_n\) représentent les \(n\) racines complexes du polynôme.
En développant partiellement la forme factorisée, on obtient:
Par identification avec la forme développée:
les coefficients des \(z^{n−1}\) doivent être égaux, et donc:
ce qui donne:
On peut même affirmer en observant le coefficient de \(z^0\) que:
soit:
3. Racines n-ième
Définition
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
On appelle racine \(n\)-ième de l'unité tout complexe \(z\) tel que \(z^n=1\).
Propriété
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
L'équation \(z^n=1\) admet exactement \(n\) racines n-ième de l'unité. Ce sont les nombres complexes de la forme \(e^{\frac{2k\pi}{n}}\) où \(k\) est un entier entre \(0\) et \(n-1\).
L'ensemble des racines \(n\)-ièmes de l'unité se note \(U_n\)
Preuve
On détermine les modules et les arguments des solutions.
Propriété
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Les images des éléments de \(U_n\) appartiennent toutes au cercle unité.
Elles forment un polygone régulier à \(n\) côtés (pour \(n \geqslant 3\)).
Preuve
Cela se voit !