NOMBRES COMPLEXES : PARTIE ALGÉBRIQUE

1. DÉFINITION

Définition

On appelle corps des nombres complexes, et on note \(\mathbb{C}\) un ensemble contenant \(\mathbb{R}\)  tel que :

• Il existe dans \(\mathbb{C}\) un élément noté  \(i\) tel que  \(i^2=-1\).

• Tout élément de \(\mathbb{C}\) s'écrit sous la forme   \(a+{bi}\)  , où   \(a\in \mathbb{R}\) et \(b\in \mathbb{R}\) .

• \(\mathbb{C}\) est muni d'une addition et d'une multiplication qui prolongent l'addition et la multiplication de \(\mathbb{R}\), et qui suivent les mêmes règles de calcul.

Un nombre complexe sera souvent représenté par la lettre \(z\).

Nombres complexes particuliers :

Soit un nombre complexe  \(z=a+{bi}\) avec \(a\in \mathbb{R}\) et \(b\in \mathbb{R}\) .

• si \(b=0\) , on a   \(z=a\), \(z\)  est un réel.  ( \(\mathbb{R}\) est contenu dans \(\mathbb{C}\) )

• si \(a=0\) , on a    \(z={bi}\) ,  on dit que \(z\) est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire).

• L'ensemble des nombres imaginaires purs est noté \(i\mathbb{R}\).

Remarques

• \(\mathbb{R}\) correspond à l'ensemble des abscisses des points sur une droite. Un nombre réel \(x\) correspond au point d'abscisse \(x\)  sur la droite.

  On peut donc toujours comparer deux nombres réels :

  si \(x\)  et \(y\)  sont des réels, on a nécessairement   \(x\leqslant y\)   ou \(y\leqslant x\) (Le point d'abscisse \(x\) se trouve, sur la droite,  avant ou après le point d'abscisse \(y\))

• \(\mathbb{C}\) , ensemble des nombres \(a+{bi}\)   avec   \(a\in \mathbb{R}\)  et   \(b\in \mathbb{R}\)   correspond à l'ensemble des points d'un plan.

  Un nombre complexe   \(a+{bi}\) avec \(a\in \mathbb{R}\)  et   \(b \in \mathbb{R}\)   correspond au point du plan de coordonnées \((a\mathrm ;b)\).

  On ne peut donc pas comparer deux nombres complexes : il n'y a pas de relation d'ordre dans \(\mathbb{C}\).

• On ne peut donc pas dire qu'un nombre complexe \(z\)  est inférieur à un nombre complexe \(z'\)  ou qu'un nombre complexe \(z\)  est positif.

Propriété

L'écriture d'un nombre complexe sous la forme \(z=a+{bi}\)  , où \(a\in \mathbb{R}\)  et   \(b\in \mathbb{R}\) , est unique.

Preuve

Considérons un nombre complexe \(z\)  s'écrivant de deux façons: \(z=a+{bi}\)    et   \(z=a'+b'i\) ,  avec \(a\) , \(b\) ,\(a'\) , \(b'\)  réels.

On a alors    \(a+{bi}=a'+b'i\)   et on en déduit \(a-a'=i(b'\text{–}b)\)

Supposons que   \(b\neq b'\)  ,  on aurait alors   \(i=\dfrac{a-a'}{b'-b}\)    ,

Ceci  n'est pas  possible  puisque  \(i\notin \mathbb{R}\)   alors  que \(\dfrac{a-a'}{b'-b}\in \mathbb{R}\)

On ne peut donc pas avoir   \(b\neq b'\) , ce qui signifie que  \(b=b'\).

Alors  \(b'-b=0\)   et comme on sait que \(a-a'=i(b'-b)\), on en déduit   \(a-a'=0\) c'est-à-dire   \(a=a'\) .

On a donc obtenu \(a=a'\) et \(b=b'\). Les deux écritures de \(z\)  sous la forme   \(a+{bi}\) et \(a'+b'i\) sont donc identiques.

Définition

Soit un nombre complexe \(z\). L'écriture \(z=a+{bi}\), où \(a\in \mathbb{R}\)  et   \(b\in \mathbb{R}\) , est appelée forme algébrique du nombre complexe \(z\).

\(a\)  est appelé  partie réelle de \(z\), et \(b\)   partie imaginaire de \(z\).   

On note  \(a =Re(z)\)  et \(b=Im(z)\).

Remarques

La partie réelle de \(z\)  est un nombre réel et la partie imaginaire de \(z\)  est aussi un nombre réel.

Propriété

Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

C'est-à-dire que si  \(a\), \(b\), \(a'\), \(b'\) sont des réels, on a \(a+{bi}=a'+b'i \Leftrightarrow\) \(a=a'\) et \(b=b'\).

Preuve

Soit \(z\)  et \(z'\)  deux nombres complexes :       \(z=a+{bi}\)     et   \(z'=a'+b'i\) ,  avec \(a\)  , \(b\)  , \(a'\)  , \(b'\) réels.

On a alors \(a=Re(z)\), \(a'= Re(z')\), \(b=Im(z)\) et \(b'=Im(z')\).

Si \(z=z'\) , alors  \(a+{bi}=a'+b'i\) et comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, on en déduit que \(a=a'\) et \(b=b'\).

Donc \(z\)  et \(z'\)  ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

Réciproquement :

Si \(z\)  et \(z'\)  ont la même partie réelle et la même partie imaginaire, alors \(a=a'\)   et   \(b=b'\)

et par conséquent    \(a+{bi}=a'+b'i\)  ,  c'est-à-dire \(z=z'\)

Exemple :

Soit \(z=2+3i\) et \(z'=i-5\) .

Calculer et écrire sous forme algébrique  :

\(z+z'=-3+4i\)

\(z-z'=7+2i\)

\(2z-3z'=19+3i\)

\(z\cdot z'=-13-13i\)

\(z^2=-5+12i\)

2. CONJUGUÉ D'UN NOMBRE COMPLEXE

Définition

Soit \(z\)  un nombre complexe de forme algébrique \(a+{bi}\) .

On appelle conjugué de \(z\)  le nombre complexe noté   \(\overline z\)   tel que \(\overline z=a-{bi}\).

Exemple :

Soit \(z=3+5i\)    et \(z'=-2+3i\).

On calcule:

\(\overline z=3-5i\) et \(\overline{z'}=-2-3i\)

\(\overline z + \overline{z'}=1-8i\)

\(z+z'=1+8i \Rightarrow \overline{z+z'}=1-8i\)

\(\overline z\). \(\overline{z'}=-21+i \Rightarrow z.z'=-21-i\)

\(\overline{z.z'}=-21+i\)

Propriété

Pour tous nombres complexes \(z\)  et \(z'\), on a:

• \(\overline{\overline z}=z\)   

• \(z\cdot \overline z\) est un réel positif

• \(\overline{z+z'}=\overline z+\overline z\)'

  \(\overline{z-z'}\) = \(\overline z-\overline z\)'     ; \(\overline{ {zz}'}=\overline z\).\(\overline z\)'

• Si \(z'\neq 0\) \(\overline{\left(\dfrac1{z'}\right)}=\dfrac 1{\overline{z'}}\)   ; \(\overline{\dfrac z{z'}}=\dfrac{\overline z}{\overline {z'}}\)

• \(Re (z) = \dfrac{z+\overline z}2\)     ;     \(Im (z)=\dfrac{z-\overline{z}}{2i}\)

• \(z\in \mathbb{R}\Leftrightarrow z=\overline z\) ;   \(z\in i\mathbb{R} \Leftrightarrow z=-\overline z\)

Preuve

Soit les nombres complexes écrits sous la forme algébrique \(z=a+{bi}\)    et \(z'=a'+b'i\).

• \(\overline z=a-{bi}\) donc \(\overline{\overline z}=a+{bi}=z\)   

• \(z\cdot \overline z=(a+{bi})(a-{bi})=a^2-({bi})^2=a^2-(-b^2)=a^2+b^2\) donc   \(z\cdot \overline z\)  est un réel positif

• \(z+z'=a+{bi}+a'+b'i=(a+a')+(b+b')i\). Comme \((a+a')\) et \((b+b')\)  sont des réels, on obtient : \(\overline{z+z'}=(a+a')-(b+b')i=a-{bi}+a'-b'i=\overline z+\overline {z'}\)

• \(z-z'=a+{bi}\text{–}(a'+b'i)=(a\text{–}a')+(b\text{–}b')i\). Comme \((a\text{–}a')\)  et \((b\text{–}b')\) sont des réels, on obtient : \(\overline{z-z'}=(a\text{–}a')+(b-b')i=a-bi-a'+b'i=\overline z-\overline {z'}\) 

• \({zz'}=(a+bi)(a'+b'i)={aa'}+{ab'}i+a'{bi}+{bb'}i^2=({aa'}-{bb'})+({ab'}+a'b)i\)

Comme \(({aa'}-{bb'})\) et \(({ab'}+a'b)\)   sont des réels, on obtient  :

\(\overline{ {zz}'}=({aa'}-{bb}')-({ab}'+a'b)i\)

D'autre part \(\overline z\cdot \overline {z'}=(a-{bi})(a'-b'i)={aa}'-{ab}'i-a'{bi}+{bb}'i^2=({aa}'-{bb}')-({ab}'+a'b)i=\overline{ {zz}'}\)

• Si \(z'\neq 0\) , \(\dfrac 1{z'}=\dfrac1{a'+b'i}=\dfrac{a'-b'i}{(a'+b'i)(a'-b'i)}=\dfrac{a'-b'i}{a'^2+b'^2}=\dfrac{a'}{a'^2+b'^2}+\dfrac{-b'}{(a'^2+b'^2)}i\)

Comme    \(\dfrac{a'}{a'^2+b'^2}\) et \(\dfrac{-b'}{a'^2+b'^2}\)  sont des réels, on obtient  :

\(\overline{\dfrac 1{z'}}=\dfrac{a'}{a'^2+b'^2}+i\dfrac{b'}{a'^2+b'^2}\)

D'autre part    \(\overline z'=a'\text{–}b'i\), donc\(\dfrac 1{\overline{z'}}=\dfrac1{a'-b'i}=\dfrac{a'+b'i}{(a'-b'i)(a'+b'i)}=\dfrac{a'+b'i}{a'^2+b'^2}=\dfrac{a'}{a'^2+b'^2}+\dfrac{b'}{a'^2+b'^2}i=\overline{\dfrac 1{z'}}\)

• Si \(z'\neq 0\), \(\overline{\left(\dfrac z{z'}\right)}=\overline{z\times \left(\dfrac 1{z'}\right)}=\overline z\times \overline{\dfrac 1{\overline{z'}}}=\overline{z} \times \dfrac 1{z'}=\dfrac{\overline{z}}{\overline {z'}}\)

• \(\dfrac{z+\overline z}2=\dfrac{a+{bi}+a-{bi}} 2=\dfrac{2a} 2=a=Re(z)\) ; \(\dfrac{z-\overline z}{2i}=\dfrac{a+{bi}-(a-{bi})}{2i}=\dfrac{2{bi}}{2i}=b=Im(z)\)

• \(z=\overline z \Leftrightarrow a+{bi}=a-{bi}\)    \(\Leftrightarrow\) \(a+{bi}-a+{bi}=0\)    \(\Leftrightarrow\)  \(2{bi}=0\) \(\Leftrightarrow\)   \(b=0\) \(\Leftrightarrow\)    \(Im (z) = 0\)   \(\Leftrightarrow\)  \(z \in \mathbb{R}\)  

• \(z=-\overline z \Leftrightarrow a+{bi}=-a+{bi}\) \(\Leftrightarrow\)   \(2a=0 \Leftrightarrow a=0 \Leftrightarrow\) \(Re(z) = 0\) \(\Leftrightarrow\) \(z\in i\mathbb{R}\) 

Remarques

La propriété \(z\cdot \overline z\in \mathbb{R}^+\) sera utile pour trouver les formes algébriques d'inverses et de quotients.

Exemple : \(\dfrac{1+i}{2-i}=\dfrac{(1+i)(2+i)}{(2-i)(2+i)}=\dfrac{2+i+2i-1}{4-i^2}=\dfrac{1+3i}{4+1}=\dfrac 1 5+\dfrac 3 5i\)

3. ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

Propriété

L'équation \({az}^2+{bz}+c=0\), où \(a\), \(b\)  et \(c\)  sont des réels  (avec \(a\neq 0\))  admet dans \(\mathbb{C}\)  deux solutions (éventuellement confondues).

Soit \(\Delta =b^2-4{ac}\)   le discriminant de l'équation.   \(\Delta\)  est un nombre réel.

• si \(\Delta \geqslant 0\) , les deux solutions sont réelles  :   \(z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\)

• si \(\Delta <0\) , les deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre : \(z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}\).

Le trinôme \({az}^2+{bz}+c\) peut alors se factoriser sous la forme \(a(z-z_1)(z-z_2)\).

Preuve

On considère l'équation \({az}^2+{bz}+c=0\) , où \(a\) , \(b\)  et \(c\)  sont des réels  (avec \(a\neq 0\))

On peut écrire   \({az}^2+{bz}+c=a\left(z^2+\dfrac b az+\dfrac c a\right)\) \(\Leftrightarrow {az}^2+{bz}+c=a\left(\left(z+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{b^2}{4a^2}+\dfrac c a\right)\) \(\Leftrightarrow {az}^2+{bz}+c=a\left(\left(z+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{b^2-4{ac}}{4a^2}\right)\) \(\Leftrightarrow {az}^2+{bz}+c=a\left(\left(z+\dfrac b{2a}\right)^2-\dfrac{\Delta }{4a^2}\right)\)

• si \(\Delta >0\), l'équation a deux solutions réelles, et deux seulement .      Comme \(\mathbb{R}\subset \mathbb{C}\)  , l'équation a donc deux solutions complexes et deux seulement  qui sont : \(z_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}\) 

• si \(\Delta =0\), l'équation a une solution réelle \(z=-\dfrac b{2a}\)

La démonstration fait apparaître la factorisation du trinôme sous la forme \(az^2+bz+c=a\left(z^2+\dfrac{b}{a}\right)z+\dfrac{c}{a}\)

• si \(\Delta <0\) ,  \(-\Delta >0\)   et on peut écrire  :    \(-\Delta =\sqrt{(-\Delta )}^2\) ,   donc \(\Delta =-\sqrt{(-\Delta )}^2=i^2\sqrt{(-\Delta)}^2=(i\sqrt{(-\Delta )})^2\)

  on obtient alors :

  \(az^2+{bz}+c=a((z+\dfrac b{2a})^2-\dfrac{(i\sqrt{(-\Delta )})^2}{4a^2})\) \(\Leftrightarrow az^2+{bz}+c=a(z-\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a})(z-\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a})\)

  On en déduit que l'équation \({az}^2+{bz}+c=0\)  a deux solutions complexes  qui sont:

  \(z_1=\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}\) et \(z_2=\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}\) 

  Ces deux solutions sont des nombres complexes non réels, conjugués l'un de l'autre.