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Exemple de petit devoir de mathématiques : Suites et Limites

Durée : 30 minutes

Nom : ............................ Prénom : ............................

Exercice 1 : Vrai ou Faux (2 points)

Pour chacune des affirmations suivantes, répondre par Vrai ou Faux. Aucune justification n'est demandée.

  1. Si une suite \((u_n)\) est majorée par 0, alors elle est positive.
  2. Une suite qui est bornée admet forcément une limite finie.
  3. Si une suite \((u_n)\) admet pour limite \(+\infty\), alors elle est minorée.
  4. Si \(u_n = \dfrac{1}{n+1}\), alors la suite \((u_n)\) est décroissante.

Exercice 2 : Calculs des premiers termes (3 points)

  1. On considère une suite \((u_n)\) définie par la phrase suivante : "Chaque terme est égal au triple du terme précédent, auquel on ajoute 1." Donner la relation de récurrence définissant \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).

  2. Soit la suite \((v_n)\) définie pour tout entier \(n \geqslant 0\) par la formule explicite : \(v_n = 2n^2 + 1\). Calculer \(v_0\), \(v_1\) et \(v_2\).

Exercice 3 : Représentation graphique d'une suite définie par récurrence (3 points)

On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et pour tout entier naturel \(n\) :

$$ u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2} $$

On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction \(f(x) = \sqrt{x + 2}\) ainsi que la droite d'équation \(y = x\).

  1. Placer le point \(u_0\) sur l'axe des abscisses.
  2. En utilisant la méthode de construction par escalier, placer sur le graphique les termes \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sur l'axe des abscisses.
  3. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation de la suite \((u_n)\) ?
\begin{tikzpicture}[scale=1.2]
  % grille
  \draw[gray!20, very thin] (-0.5,-0.5) grid[step=0.5] (4,3.5);
  \draw[gray!40, very thin] (-0.5,-0.5) grid[step=1] (4,3.5);

  % axes
  \draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (-0.5,0) -- (4.5,0) node[below right]{$x$};
  \draw[-{Latex[length=2.5mm]}, thick] (0,-0.5) -- (0,4) node[above left]{$y$};

  % graduations
  \foreach \x in {1,2,3,4}
    \draw (\x,-0.05) -- (\x,0.05) node[below=2pt,pos=0]{\x};
  \foreach \y in {1,2,3}
    \draw (-0.05,\y) -- (0.05,\y) node[left=2pt,pos=0]{\y};
  \node[below left] at (0,0) {$0$};

  % courbe f(x) = sqrt(x+2)
  \draw[domain=-0.5:4, smooth, variable=\x, blue, thick] plot ({\x}, {sqrt(\x+2)}) node[right]{$\mathcal{C}_f$};

  % droite y = x
  \draw[dashed, gray] (-0.5,-0.5) -- (3.5,3.5) node[right]{$y=x$};
\end{tikzpicture}

Exercice 4 : Limites de suites (3 points)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes, si elle existe. Justifier vos réponses.

  1. \(u_n = 3n^2 - 5\)

  2. \(v_n = \dfrac{5}{n} + 4\)

  3. \(w_n = \dfrac{2 + \dfrac{1}{n}}{3 - \dfrac{1}{n^2}}\)