{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Suites et limites : exercices avec Python\n",
    "\n",
    "Notebook extrait de la fiche *Exercices : Limites de Suites*. Il regroupe les exercices qui utilisent Python (exercices 1-15 à 1-21).\n",
    "\n",
    "Les `...` sont à remplacer par le code attendu."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-15 : Suite arithmético-géométrique\n",
    "\n",
    "On considère la suite arithmético-géométrique $(u_n)$ définie par\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "u_{n+1} = 0.5\\,u_n + 1.5 \\\\\n",
    "u_0 = 1\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "1. Représenter graphiquement les 4 premiers termes de la suite $(u_n)$ (sur papier ou avec Python).\n",
    "2. Conjecturer la limite de la suite $(u_n)$.\n",
    "3. Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def u(n):\n",
    "    u = ...\n",
    "    for i in range(..., ...):\n",
    "        u = ...\n",
    "    return ..."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "4. En utilisant la fonction Python ci-dessus, retrouver le résultat conjecturé à la question 2."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Vos tests ici"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-16 : Suite arithmético-géométrique\n",
    "\n",
    "Soit la suite $u$ définie sur $\\mathbb{N}$ par\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "u_0 = 5 \\\\\n",
    "u_{n+1} = \\dfrac{1}{2} u_n + 3\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "1. a. Calculer $u_1$ et $u_2$.\n",
    "\n",
    "    b. La suite $u$ est-elle arithmétique ? Géométrique ? Justifier.\n",
    "\n",
    "2. À l'aide de l'outil de votre choix (calculatrice, Python, tableur) :\n",
    "\n",
    "    a. Déterminer une valeur approchée de $u_{15}$ à $10^{-6}$ près.\n",
    "\n",
    "    b. Que remarque-t-on lorsque l'on soustrait $6$ à chaque terme de la suite $u$ ?\n",
    "\n",
    "3. Soit $(v_n)$ la suite définie sur $\\mathbb{N}$ par $v_n = u_n - 6$.\n",
    "\n",
    "    a. Démontrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.\n",
    "\n",
    "    b. Exprimer $v_n$, puis $u_n$ en fonction de $n$.\n",
    "\n",
    "    c. Retrouver alors $u_{15}$.\n",
    "\n",
    "4. Calculer $S = \\sum\\limits_{i=0}^{20} v_i$ et $T = \\sum\\limits_{i=0}^{20} u_i$.\n",
    "\n",
    "5. Compléter la fonction Python suivante pour qu'elle renvoie le terme de rang $n$ de la suite $(u_n)$ :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def u(n):\n",
    "    u = ...\n",
    "    for i in range(..., ..., ...):\n",
    "        u = ...\n",
    "    return ..."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "6. En utilisant la fonction Python ci-dessus, retrouver le résultat conjecturé à la question 2."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Vos tests ici"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-17 : Suite homographique\n",
    "\n",
    "**Remarque :** une suite homographique est une suite vérifiant une relation de récurrence du type\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "u_{n+1} = \\dfrac{a u_n + b}{c u_n + d} \\quad \\text{avec} \\quad c \\neq 0 \\quad \\text{et} \\quad ad - bc \\neq 0\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "Soit $(u_n)$ la suite définie sur $\\mathbb{N}$ par\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "\\left\\{\n",
    "\\begin{array}{l}\n",
    "u_0 = 1 \\\\\n",
    "u_{n+1} = \\dfrac{u_n}{1 + u_n}\n",
    "\\end{array}\n",
    "\\right.\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "1. Conjecturer le sens de variation et la limite de $(u_n)$.\n",
    "\n",
    "2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n = \\dfrac{1}{u_n}$.\n",
    "\n",
    "    a. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithmétique.\n",
    "\n",
    "    b. En déduire une expression de $v_n$, puis de $u_n$ en fonction de $n$.\n",
    "\n",
    "    c. Justifier les conjectures de la question 1.\n",
    "\n",
    "3. a. Compléter la fonction Python ci-dessous permettant de déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n < 10^{-p}$ :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def seuil(p):\n",
    "    u = ...\n",
    "    n = ...\n",
    "    while u >= 10**(-p):\n",
    "        u = ...\n",
    "        n = n + 1\n",
    "    return n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "b. Utiliser cette fonction pour déterminer le plus petit indice $n$ tel que $u_n < 0{,}01$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Vos tests ici"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-19 : Avec des listes\n",
    "\n",
    "On considère les deux algorithmes suivants. Déterminer le rôle de chacun d'eux.\n",
    "\n",
    "**Algorithme A :**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "n = int(input(\"n=\"))\n",
    "u = []\n",
    "for i in range(0, n+1):\n",
    "    u.append(2*i**2 - 3*i + 1)\n",
    "print(u)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "**Algorithme B :**"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "n = int(input(\"n=\"))\n",
    "u0 = float(input(\"u0=\"))\n",
    "u = [u0]\n",
    "for i in range(1, n+1):\n",
    "    u.append(2*u[i-1]**2 - 3*u[i-1] + 1)\n",
    "print(u)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "*Votre réponse :* "
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-20 : Somme de termes consécutifs\n",
    "\n",
    "1. Soit $(u_n)$ la suite arithmétique de raison $3{,}1$ et de premier terme $u_0 = 2{,}7$.\n",
    "\n",
    "    Pour calculer $S_n = u_0 + u_1 + \\ldots + u_n$, on utilise la fonction incomplète écrite en Python ci-dessous :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def somme1(n):\n",
    "    U = 2.7\n",
    "    S = ...\n",
    "    for i in range(1, ...):\n",
    "        U = U + 3.1\n",
    "        S = ...\n",
    "    return ..."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "a. Compléter cette fonction.\n",
    "\n",
    "b. Que saisir dans la cellule suivante pour obtenir la somme $S_{21}$ ?"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Votre appel ici"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "2. On considère la fonction écrite en Python ci-dessous :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def somme2(u0, r, M):\n",
    "    T = 0\n",
    "    U = u0\n",
    "    while U <= M:\n",
    "        T = T + U\n",
    "        U = U + r\n",
    "    return T"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "À l'aide de ce programme, que saisir pour obtenir la somme $T = 10 + 13 + 16 + \\ldots + 145$ ? Déterminer cette somme."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Votre appel ici"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Exercice 1-21 : Algorithme de seuil – proportion de filles\n",
    "\n",
    "Un concours scientifique est organisé depuis 2021. Les filles ne représentaient alors qu'un quart des participants.\n",
    "\n",
    "Entre 2021 et 2025, on a constaté une augmentation moyenne annuelle de la proportion des filles participant à ce concours de 12 %.\n",
    "\n",
    "On extrapole que la proportion de filles va continuer de progresser ainsi pendant 10 ans.\n",
    "\n",
    "1. a. Quelle était la proportion de filles en 2022 ?\n",
    "\n",
    "    b. Pour tout entier naturel $n$, on note $p_n$ la proportion de filles de l'année $2021 + n$.\n",
    "\n",
    "    Pour $n < 10$, exprimer $p_{n+1}$ en fonction de $p_n$.\n",
    "\n",
    "    c. En déduire la nature de la suite $(p_n)$.\n",
    "\n",
    "2. On considère la fonction `Proporfilles` écrite en Python ci-dessous :"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def Proporfilles(t):\n",
    "    p = 0.25\n",
    "    n = 0\n",
    "    while p < t:\n",
    "        p = 1.12 * p\n",
    "        n = n + 1\n",
    "    return n + 2021"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Quelle est la valeur de `Proporfilles(0.5)` ? Interpréter ce résultat."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": null,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "# Votre appel ici"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.13.5"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 5
}